時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整系統(tǒng)的Noether理論

祖啟航， 朱建青*， 宋傳靜

(1.蘇州科技大學 數理學院， 江蘇 蘇州 215009； 2.南京理工大學 理學院， 江蘇 南京 210094)

時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整系統(tǒng)的Noether理論

祖啟航1， 朱建青1*， 宋傳靜2

(1.蘇州科技大學 數理學院， 江蘇 蘇州 215009； 2.南京理工大學 理學院， 江蘇 南京 210094)

研究了時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的Noether理論.首先，基于Hamilton原理，建立了時間尺度上非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的Hamilton方程; 其次，根據時間尺度上Hamilton作用量在無限小變換下的廣義準不變量，得到了時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的Noether等式和守恒量;最后，舉例說明結果的應用．

時間尺度； 相空間； 非完整系統(tǒng)； Noether等式； 守恒量

1988年德國學者Hilger在他的博士論文[1]中提出測度鏈上的微積分理論，其主要思想就是把連續(xù)和離散進行統(tǒng)一[2-3].時間尺度作為測度鏈的一種特殊形式，非常具有代表性.目前，時間尺度在動態(tài)方程、變分原理、最優(yōu)控制和經濟等相關領域都得到了廣泛的應用[4-11]．

近年來，國內外學者對時間尺度上力學系統(tǒng)的變分問題及其對稱性與守恒量進行了研究.Bohner研究了時間尺度上Lagrange方程表達形式及變分問題[12]，Barosiewicz等研究了時間尺度上Lagrange系統(tǒng)的Noether理論[13]，Cai等研究了時間尺度上非保守和非完整力學系統(tǒng)的Noether理論[14]，Song和Zhang建立了時間尺度上Birkhoff方程，給出了Birkhoff系統(tǒng)的Noether等式與守恒量[15].本文基于時間尺度上Hamilton原理，建立了時間尺度上非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的Hamilton方程.根據Hamilton作用量在無限小變換下的準不變量，得到了系統(tǒng)的Noether定理．

1時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的運動方程

時間尺度上的微積分理論可參閱文獻[6]．

(1)

(2)

時間尺度上Lagrange函數為

L=L(t，qσ(t)，qΔ(t))，

(3)

則有時間尺度上Lagrange非完整力學系統(tǒng)的微分方程[14]

(4)

(5)

對約束條件(1)求Δ導數，并將方程(4)顯示形式表示出來[7]

(6)

(7)

(8)

其中，

(9)

引進時間尺度上廣義動量和Hamilton函數[9]

(10)

(11)

于是在正則變量p，qσ下，(1)、(2)和(9)式變?yōu)?/p>

(12)

(13)

(14)

時間尺度上非保守力學系統(tǒng)的Hamilton原理為

(15)

(16)

(17)

(18)

對(11)式兩邊關于廣義動量求偏導數，得到

(19)

將(19)式代入(18)式，根據Dubois-Reymond定理[12]，可得

(20)

對(20)式求Δ導數，可得

(21)

方程(19)和(21)稱為時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的運動方程.由(14)式，方程(19)和(21)可進一步表示為

(22)

稱方程(22)為與時間尺度上相空間中非完整系統(tǒng)(12)，(19)和(21)相應時間尺度上相空間中完整系統(tǒng)的運動方程．

2時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的Noether定理

首先，考慮只含有qs，ps變分的情況.相空間中Hamilton作用量表示為

(23)

定義1稱作用量(23)式在變換

(24)

下為廣義準對稱不變量，當且僅當對任意區(qū)間[ta，tb]?[t1，t2],有

(25)

(26)

證明由定義1，方程(25)在任意區(qū)間[ta，tb]?[t1，t2]上均成立，則(25)式等價于

(27)

對(27)式兩邊同時關于ε求偏導數并令ε=0，則可以得到(26)式．

定理2如果作用量I是定義1下的廣義準對稱不變量，那么系統(tǒng)的守恒量為

C=psξs+G=const.

(28)

證明由(22)和(26)式，可得

(29)

于是得到(28)式.

下面將討論含時間t的無限小變換下的廣義準對稱不變量．

(30)

σ*°α=α°σ.

定義2如果作用量I是變換(30)式下的廣義準對稱不變量，當且僅當對任意的區(qū)間[ta，tb]?[t1，t2].

(31)

定理3如果作用量I是變換(30)式下的廣義準對稱不變量，那么

(32)

證明由定義2，可得

(33)

由于區(qū)間[ta，tb]是[t1，t2]的任意子區(qū)間，所以有

(34)

對(34)式兩邊同時關于ε求偏導數并令ε=0，則可得等式(32)．

(32)式就稱為時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整力學系統(tǒng)的Noether等式．

定理4如果作用量I是定義2下的廣義準對稱不變量，那么系統(tǒng)的守恒量為

(35)

證明令

(36)

根據等式(33)有

(37)

(38)

(39)

(40)

又因為

(41)

(42)

其中，?1H表示對函數H中第一個變量求偏導數.將(41)、(42)式代入(40)式，則可得(35)式．

定理4稱為時間尺度上相空間中非Chetaev型非完整系統(tǒng)的廣義Noether定理，根據這個定理可由已知的廣義準對稱不變量得到系統(tǒng)的守恒量．

3算例

(43)

所受的非完整約束為

(44)

該約束為非Chetaev型的，虛位移滿足

(45)

根據(10)式和(11)式，有廣義動量和Hamilton函數

(46)

將Hamilton函數代入(21)式，則有

(47)

由(44)，(46)和(47)式，求得

(48)

于是有

(49)

根據(32)式和(2)式，可得

(50)

(51)

對(50)和(51)式進行求解

ξ0=0，ξ1=1，ξ2=1，G=t，η1=η2=0，

(52)

所以根據定理4，可得到守恒量

C=p1+p2+t.

(53)

4結論

致謝：作者對張毅教授的悉心指導深表感謝!

[1]HILGERS.Einmaβkettenkalkulmitanwendungaufzentrumsmannigfaltigkeiten[D].Wurzburg:Universit?tWurzburg， 1988．

[2]HILGERS.Analysisonmeasurechains-aunifiedapproachtocontinuousanddiscretecalculus[J].ResultsMath， 1990， 18(1-2):18-56．

[3]HILGERS.Differentialanddifferencecalculus-unified[J].NonlinearAnal， 1997， 30(5):2683-2694．

[4]AGARWALRP，BOHNERM.Basiccalculusontimescalesandsomeofitsapplications[J].ResultsMath， 1999， 35(1-2):3-22．

[5]AGARWALRP，BOHNERM，PETERSONA.Inequalitiesontimescales:asurvey[J].JMathInequAppl， 2001， 4(4):535-557．

[6]BOHNERM，PETERSONA.Dynamicequationsontimescales，AnIntroductionwithapplications[M].Boston:Birkh?user， 2001．

[7]BOHNERM，GUSEINOVGSH.Partialdifferentiationontimescales[J].DynSystAppl， 2004， 13(3): 351-379．

[8]ATICIFM，BILESDC，LEBEDINSKYA.Anapplicationoftimescalestoeconomics[J].MathComputModel， 2006， 43(7-8): 718-726．

[9]AHLBRANDDTCD，BOHNERM，RIEDNHOURJ.Hamiltoniansystemsontimescales[J].JMathApplAnal， 2000， 250(2): 561-578．

[10]HILSCHERR，ZEIDANV.Weakmaximumprincipleandaccessoryproblemforcontrolproblemsontimescales[J].NonlinearAnal， 2009， 70(9):3209-3226．

[12]BOHNERM.Calculusofvariationsontimescales[J].DynSystAppl， 2004， 13(12):339-349．

[13]BARTOSIEWICZZ，TORRESDFM.Noethertheoremontimescales[J].JMathAnalAppl， 2007， 342(2): 1220-1226．

[14]CAIPP，FUJL，GUOYX.Noethersymmetriesofthenonconservativeandnonholonomicsystemontimescales[J].SciChina:PhysMechAstron， 2013， 56(5):1017-1028．

[15]SONGCJ，ZHANGY.NoethertheoremforBirkhoffiansystemsontimescales[J].JMathPhys， 2015， 56(10): 102701(1-7)．

Noether theorem for nonholonomic systems ofnon-Chetaev’s type in phase space on time scales

ZU Qihang1， ZHU Jianqing1， SONG Chuanjing2

(1.College of Mathematics and Physics， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou， Jiangsu 215009；2.College of Science， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094)

The Noether theorem for nonholonomic systems of non-Chetaev’s type in phase space is studied. Firstly， based on the principle of Hamilton， the Hamilton equations for nonholonomic mechanical system of non-Chetaev’s type on the time scale are established. Secondly， based on the generalized quasi invariance of the Hamilton action on time scale， the Noether identity and the conserved quantity of nonholonomic mechanical system of non-Chetaev’s type in the phase space on time scale are obtained. Finally， an example is presented to illustrate the application of the results．

time scale; phase space; nonholonomic systems; Noether identity； conserved quantity

2016-09-02.

國家自然科學基金項目(11572212)；蘇州科技大學研究生科研創(chuàng)新計劃項目(SKCX15_061).

1000-1190(2017)01-0023-05

O316

A

*通訊聯系人.E-mail:zjq@mail.usts.edu.cn.