圓錐曲線上的一個(gè)性質(zhì)的探究

新疆大學(xué)附屬中學(xué) 常曉兵

圓錐曲線上的一個(gè)性質(zhì)的探究

新疆大學(xué)附屬中學(xué) 常曉兵

在高中選修 2-1 第二章 2.2.1《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》中，有這樣一道例題：如圖 1，設(shè)點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）。直線PA，PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是求點(diǎn)P的軌跡方程。

圖1

圖2

探究二：如果我們將左右兩個(gè)端點(diǎn)換成上下兩個(gè)端點(diǎn)，上述探究結(jié)論是否成立？

在探究一中將 A（-a，0），B（a，0）兩點(diǎn)換成 C（0，-b），D（0，b）。P（x，y）為橢圓上異于 C，D 兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)（如圖 3），試證

通過探究，當(dāng)左、右端點(diǎn)換成上、下端點(diǎn)時(shí)，結(jié)論仍然成立。

探究三：從探究一和二中可以看出 A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)分別是橢圓在x軸與y軸上的端點(diǎn)。

圖3

A，B 關(guān) 于 中 心 對(duì) 稱，C，D 關(guān) 于 中心 對(duì) 稱。 猜 測(cè) 若取 兩 個(gè) 點(diǎn)是橢圓上任意直徑的兩個(gè)端點(diǎn)（如圖4）。證明

將⑥⑦代入⑤中，得：可知結(jié)論成立。

探究四：由于該結(jié)論在橢圓中驗(yàn)證成立，那么在雙曲線中該結(jié)論是否也成立呢？于是，我們繼續(xù)探究。

圖4

圖5

由雙曲線方程知：

通過以上探究，可知對(duì)于橢圓、雙曲線都符合這個(gè)結(jié)論，對(duì)于圓是否也成立呢？

如圖 6，設(shè)過圓 O 圓心的直線交圓于 P1、P2兩點(diǎn)，顯然即可以歸納為：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率的乘積為定值的點(diǎn)的軌跡可以是：圓、橢圓、雙曲線。

圖6