一元二次不等式恒成立問題探究

江西省贛州市興國縣第三中學 劉松柏

一元二次不等式恒成立問題探究

江西省贛州市興國縣第三中學 劉松柏

一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系。在解決具體的數(shù)學問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。我們首先看一元二次不等式恒成立的條件：

（1） 不 等 式 ax2+bx+c＞0 對 任 意 實 數(shù) x 恒 成 立或

（2）不等式 ax2+bx+c＜0 對 任意實數(shù) x 恒成立或次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍。歸納起來常見的命題角度有：

（1）形如 f（x）≥ 0（x ∈ R）確定參數(shù)的范圍；

（2）形如 f（x）≥ 0（x ∈ [a，b]）確定參數(shù)范圍；

（3）形如 f（x）≥ 0（參數(shù) m ∈ [a，b]）確定 x 的范圍。

角度一：形如 f（x）≥ 0（x ∈ R）確定參數(shù)的范圍

例 1 已知不等式 mx2-2x-m+1 ＜ 0，是否存在實數(shù) m 對所有的實數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

解：不等式 mx2-2x-m+1 ＜ 0 恒成立，

即函數(shù) f（x）=mx2-2x-m+1 的圖象全部在 x 軸下方。

當 m ≠ 0 時，函數(shù) f（x）=mx2-2x-m+1 為二次函數(shù)，

需滿足開口向下且方程 mx2-2x-m+1=0 無解，

此不等式組的解集為空集，即m無解。

綜上可知，不存在這樣的實數(shù)m。

例 2 設(shè)函數(shù) f（x）=mx2-mx-1（m ≠ 0），若對于 x ∈ [1,3]，f（x）＜ -m+5 恒成立，求 m 的取值范圍。

解：要使 f（x）＜ -m+5 在 [1,3] 上恒成立，

則 mx2-mx+m-6 ＜ 0，即在 x ∈ [1,3]上恒成立。

有以下兩種方法：

當 m ＞ 0 時，g（x）在 [1,3]上是增函數(shù)，所以 g（x）max=g（3）＝ 7m-6 ＜ 0。

所以 m ＜ 6。所以 m ＜ 0。

法二：因為

角度三：形如 f（x）≥ 0（參數(shù) m ∈ [a，b]）確定 x 的范圍

例 3 對任意 m ∈ [-1,1]，函數(shù) f（x）＝ x2+（m-4）x+4-2m 的值恒大于零，求 x的取值范圍。

解：由 f（x）=x2+（m-4）x+4-2m

=（x-2）m+x2-4x+4，

令 g（m）=（x-2）m+x2-4x+4。

由題意知在 [-1,1]上，g（m）的值恒大于零，

解得 x＜1 或 x＞3。

故當 x＜1 或 x＞3 時，對任意的 m ∈ [-1,1]，函數(shù) f（x）的值恒大于零。

總之，解決恒成立問題注意下面兩點就可以了：

（1）解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)。一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)。

（2）對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在 x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方。