給思考一個支點
——以畫圖助推問題的解決

浙江省臨海市東塍鎮(zhèn)中心校 滕靈麗

給思考一個支點
——以畫圖助推問題的解決

浙江省臨海市東塍鎮(zhèn)中心校 滕靈麗

當今課堂 “解決問題”教學(xué)中存在諸多問題，“畫圖策略”能幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，搜尋到解決問題的突破口。本文從創(chuàng)設(shè)情境，體驗畫圖價值；注重策略，學(xué)習(xí)畫圖方法；數(shù)形結(jié)合，運用畫圖策略等三方面入手，讓學(xué)生想畫圖、會畫圖、用好圖，以此達到“還學(xué)于生”的目的。

解決問題；畫圖；策略；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀

“幾何直觀”是數(shù)學(xué)新課程標準里提出的十個核心概念之一?！稑藴省防锾岢觥皫缀沃庇^”主要是指利用圖形描述和分析問題，借助它可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。畫圖作為幾何直觀的一種表現(xiàn)形式，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！敖鉀Q問題”因其自身存在的抽象性與邏輯性，教師教學(xué)的重點大多放在數(shù)量關(guān)系結(jié)果的概括，而忽視了學(xué)生對于尋找數(shù)量關(guān)系的過程探究。要重視學(xué)生的學(xué)情，重視學(xué)生對于數(shù)量關(guān)系的過程探究，至關(guān)重要的是如何把抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生喜聞樂見的有趣知識?！爱媹D策略”能幫助學(xué)生直觀形象地理解題意，調(diào)動各種感官參與審題活動，有助于快速理解題意、正確分析數(shù)量關(guān)系，搜尋到解決問題的突破口。

因此，要在解決問題中融入“畫圖策略”，重視引導(dǎo)學(xué)生運用畫圖的方法分析數(shù)量關(guān)系，解決問題，唯此，方能讓“每一朵花都開放，每一只鳥都歌唱”。

第一，融解題以“圖”，滿足教材改編的需求。新課改以來，小學(xué)數(shù)學(xué)從內(nèi)容的編排、教學(xué)目標的定位及教學(xué)的方法都發(fā)生了翻天覆地的變化，尤其是關(guān)于解決問題中的策略問題。新課程改革中，小學(xué)數(shù)學(xué)將傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)并入了“解決問題”中，將應(yīng)用題從“有形”變成“無形”，散落于各知識之間，使得“問題”的解決更加生活化、靈活化。而畫圖的策略因其本身存在的特殊性，恰能“應(yīng)景掛畫”。

第二，融解題以“圖”，符合學(xué)生的認知水平。小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，正處在以形象思維為主向抽象思維過渡的階段。許多數(shù)學(xué)問題多以文字形式呈現(xiàn)，純文字的問題語言表述上比較言簡，枯燥乏味，至使他們常常讀不懂題意。而圖形不僅直觀、簡潔、利于思考，而且其信息量大，概括性強，有助于記憶，不僅符合小學(xué)生的認知發(fā)展水平，能夠有效地促進學(xué)生的理解過程，強化學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)動機，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。

第三，融解題以“圖”，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)是世界上無法由別人代替完成的事，必須由學(xué)生自己來實踐。盡管教師的教也很重要，但畢竟只是外因，而學(xué)生的自主學(xué)習(xí)才是內(nèi)因。然而，學(xué)生學(xué)習(xí)自主性不高是當今數(shù)學(xué)課堂普遍存在的問題，很多時候并非學(xué)生不想自主學(xué)習(xí)，而是不知道如果自主學(xué)習(xí)?！笆谌艘贼~，不如授人以漁”，在解決問題中有效運用畫圖策略，相當于給學(xué)生以“工具”，因為有“工具”才有了自主學(xué)習(xí)的前提，才有了創(chuàng)造未來的可能。

畫圖策略之于解決問題有諸多的優(yōu)越性，因此，在日?！敖鉀Q問題”的教學(xué)中，要加強畫圖策略的運用。具體從以下幾方面著手：

一、創(chuàng)設(shè)情境，體驗畫圖價值，讓學(xué)生想畫圖

“教”的存在是因為有“學(xué)”的需要。只有當學(xué)生體驗到畫圖的價值，對教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生了強烈的畫圖需求的情況下，“教”才能真正融入學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，形成有效的教學(xué)互動。

（一）體驗價值，教師先行

畫圖策略是一種古老而又新鮮的解題策略。古老，是因其產(chǎn)生的時間久遠，是一種慣用的解題策略；新鮮，是當今的畫圖策略已經(jīng)超出傳統(tǒng)線段圖的范疇，有了新的拓展。所謂“大軍未動，糧草先行”，要想讓學(xué)生體會畫圖的價值，進而學(xué)會畫圖，教師必須先行。教師要提高自身的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，尤其是在“畫圖策略”技能上的素質(zhì)。教師需要對數(shù)學(xué)知識和畫圖策略的應(yīng)用研究透徹，尋找最恰當?shù)姆绞?，深入淺出地達到教學(xué)目的。這需要教師對教材進行精心分析，尋求對不同知識板塊個性化的圖解；需要在教案設(shè)計中有意識地體現(xiàn)畫圖策略，潤物細無聲地讓學(xué)生體驗畫圖的價值。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，產(chǎn)生需要

在日常教學(xué)中，設(shè)置一些情境或問題，讓學(xué)生在解決問題過程中遇到一些心理障礙，產(chǎn)生尋求策略的需要，感受到畫圖策略的好處，認識到學(xué)習(xí)畫圖策略的必要性，形成學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中自覺地感受到使用畫圖策略的需要。例如，男女生進行比賽，教師讓男生做文字題，女生做示意圖題，結(jié)果女生很快完成了，而男生卻慢了許多。男生很快就發(fā)現(xiàn)自己“上當”了，原來做畫圖題要比做文字的題快好多啊！看圖解決問題一目了然，更簡單！通過討論，學(xué)生們認識到畫圖在解決問題時確實非常方便，讓學(xué)生對畫圖產(chǎn)生欲望，發(fā)掘畫圖的無限魅力。

（三）把握時機，體會作用

要使學(xué)生體會畫圖策略的價值和作用，教學(xué)時需要“逢山開路，遇水搭橋”，跟著學(xué)生的學(xué)情走。因勢善誘，把握好兩個時機：第一個時機是在學(xué)生理解題意有困難，想不到解題方法時。不要為孩子解釋題意和提示算法，而是要引導(dǎo)其通過畫圖整理信息、理解題意，形成思路，尋找解法；第二個時機是學(xué)生在解決完問題后。要引導(dǎo)其認識畫圖整理信息的作用，啟發(fā)孩子在以后的解題中自覺使用。例如在教學(xué)《重疊問題》時，讓學(xué)生充分感悟到集合圖對分析問題的方便性。教師要把握好學(xué)生習(xí)得“畫圖策略”的最佳時機，在學(xué)生遇到困難時，引導(dǎo)學(xué)生利用“畫圖策略”；在解決問題后，引導(dǎo)學(xué)生認識畫圖的作用；在達成共識后，啟發(fā)學(xué)生在往后的學(xué)習(xí)中自覺使用。

二、注重策略，學(xué)習(xí)畫圖方法，讓學(xué)生會畫圖

畫圖策略能幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)概念，使問題簡明直觀，甚至使一些較難的問題迎刃而解，然而運用畫圖策略的前提必須是學(xué)生自己會畫圖。從這個意義上說，教師把畫圖的方法教授給學(xué)生，不僅不是灌輸，反而十分必要。因此，需要通過恰當?shù)姆绞?，讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用畫圖策略，靈活解決實際問題。

（一）形式多樣，為解題出謀“畫”策

在傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)中提到畫圖，教師們想得更多的是線段圖。教師把畫圖作為一個知識教給學(xué)生，而不是把它看成幫助學(xué)生解決問題的一個策略來進行教學(xué)。新教材把畫圖作為一種策略教給學(xué)生，而且畫圖的形式也不只限于線段圖。除了大家熟悉的線段圖、平面圖、立體圖、集合圖、統(tǒng)計圖，還包括學(xué)生運用自己的方式給出的圖形表征，如實物圖、示意圖等。在解決問題的過程中，學(xué)生們會根據(jù)自己的經(jīng)驗畫出一些讓我們意想不到的圖。這種情況下，教師要充分肯定學(xué)生畫圖的價值，保護學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的需要畫出不同的圖來幫助自己分析、理解數(shù)量關(guān)系，解決實際問題，同時，鼓勵學(xué)生大膽提出自己的不同見解，相互交流，分享各自的策略，為解題出謀“畫”策，使學(xué)生切身體驗到數(shù)學(xué)的價值和趣味，激發(fā)學(xué)生好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣和愿望。

（二）抓住重點，要注意“畫龍點睛”

畫圖的形式本就多樣，而畫圖的內(nèi)容又零散地分布于整個小學(xué)階段。教學(xué)中要真正做到培養(yǎng)學(xué)生運用畫圖策略，解決問題的能力，關(guān)鍵不是在加深問題的難度上下工夫，而是要通過有代表性的又為學(xué)生容易接受的題目，著重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖策略，使學(xué)生能夠產(chǎn)生遷移，對整個畫圖的學(xué)習(xí)過程有“畫龍點睛”之功效。這樣即使遇到一些未解過的題目時，學(xué)生經(jīng)過自己的畫圖分析也能找出解答的方法。例如雞兔同籠問題：頭共15個，足共40只，問雞兔各幾只？這類應(yīng)用題有兩個未知數(shù)，如果用方程或假設(shè)的方法，低年級同學(xué)理解算理都有困難，可是用畫圖理解比較直觀。

第一步：先畫15個頭。

第二步：每個頭下畫2條腿。

第三步：剩下的10條腿可以分給5個頭,每個頭下再畫2條腿。

由此可見有4條腿的是兔子,2條腿的是雞。因此，共有5只兔子和10只雞。

（三）循序漸進，切忌“畫虎不成反類犬”

任何一項技能的掌握都不是一蹴而就的，畫圖方法的掌握更是如此。因此，畫圖能力的訓(xùn)練需要教師從一年級就引起重視，循序漸進，切忌“畫虎不成反類犬”。具體分三步進行教學(xué)：第一階段：自由畫圖階段，即低年級階段，是用畫圖法解決問題的初級階段。這時老師應(yīng)只觀望，讓學(xué)生自由發(fā)揮。無論學(xué)生畫的如何，教師都應(yīng)鼓勵他們；第二階段：規(guī)范畫圖階段，即中年級階段。當發(fā)現(xiàn)學(xué)生碰到解決問題畫圖欲望比較強時，教師要鼓勵學(xué)生自己動手嘗試畫圖。教師可先畫出第一步圖，提供畫圖的大體框架，再引導(dǎo)學(xué)生接著往下畫，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意獨立畫圖，對于可能出現(xiàn)的信息呈現(xiàn)不完整、關(guān)系表達不準確等問題，教師要及時加以指導(dǎo)；第三階段：腦中成圖階段，這是用畫圖法解決問題的最高階段。這時學(xué)生在規(guī)范作圖的長期訓(xùn)練后，看到題目能在腦中馬上作圖，然后根據(jù)腦中的圖來解決問題，從真正意義上提高學(xué)生的解題能力。學(xué)生通過運用畫圖策略解決問題，就能體驗畫圖策略的有效性，感受直觀圖形對于解題的作用，形成應(yīng)用畫圖策略的興趣和自覺性。

（四）靈活機動，切忌“畫蛇添足”

畫圖方法固然是一種很重要的解題策略，但卻不是“萬能”的，尤其是畫圖策略因其自身的特殊性，存在因構(gòu)圖不準確、不全面，數(shù)形轉(zhuǎn)化的不等價性等缺陷。因此，在解決實際問題中要靈活應(yīng)用。一方面，要注意數(shù)形結(jié)合適合度。把抽象的“數(shù)”的內(nèi)容借助“形”的表征形象化，這種抽象中的形象是數(shù)學(xué)教學(xué)卓有成效的重要因素。然而并非所有的數(shù)學(xué)知識都需要用畫圖策略解決，都能用畫圖策略解決。在日常教學(xué)中，教學(xué)的內(nèi)容是否需要畫圖？如果需要，那“數(shù)”與“形’能結(jié)合到什么程度？都是需要思考的問題。一定要靈活機動，切忌“畫蛇添足”。另一方面，畫圖策略也可以與其他學(xué)習(xí)方法相結(jié)合，充分發(fā)揮其作用，達到提高學(xué)生解決問題能力的效果。例如：小平和小紅同時從A 地到B地，小平每分鐘比小紅多走20米。30分鐘后小平到B地，然后立即原路返回，在離B地350米處遇到小紅，小紅每分鐘走多少米？這道題，如果一開始就讓學(xué)生畫圖，難度較大，效果并不理想，但如果讓學(xué)生先進行題目內(nèi)容的模擬表演，那數(shù)量關(guān)系就一目了然了，學(xué)生的分析思路更清晰。

三、數(shù)形結(jié)合，運用畫圖策略，讓學(xué)生用好圖

無論是讓學(xué)生體驗畫圖價值，還是讓學(xué)生學(xué)會畫圖，其最終都是為“用”服務(wù)的。因此，用好圖就成為畫圖策略運用的關(guān)鍵。

（一）讀懂教材中的圖

現(xiàn)有的教材中存在大量、種類繁多的“圖”，這類示意圖其實是學(xué)生學(xué)習(xí)畫圖策略的前提積累，是畫圖意識培養(yǎng)的一個很好的契機。尤其是一、二年級學(xué)生，因受年齡特征和認知水平的限制，培養(yǎng)的重點更多的是讀圖，而非畫圖。如果良好的讀圖習(xí)慣訓(xùn)練不夠，那么以后根據(jù)信息用圖示來正確表達也將存在問題。比如，如果乘法的意義沒能建立清晰的表象，那“倍”的概念建立就會出現(xiàn)困難，要求學(xué)生用畫倍數(shù)關(guān)系的線段圖分析復(fù)雜的問題就更困難了。所以教師在教學(xué)過程中首先要重視對“圖”意識的正確滲透和引導(dǎo)。

（二）用好自己畫的圖

任何一種解決問題策略都需要經(jīng)歷解決問題的過程，只有學(xué)生思維的深度參與，才可以使策略的形成過程成為策略在學(xué)生頭腦中的過程，學(xué)生獲得體驗才是深刻的，而“用好圖”便是學(xué)生思維的最深度參與。下面以“一條褲子28元，上衣的價錢是褲子的3倍。買一套衣服要多少元？”為例進行分析闡述。學(xué)生畫出圖以后，在引導(dǎo)學(xué)生“用好圖”時主要分三步走：

1.讀圖，梳理關(guān)系。帶領(lǐng)學(xué)生據(jù)圖理解題意：將褲子的價格28元看作一份，上衣的價格是這樣的3份。問一套衣服要多少元，就是問把上衣和褲子的價格合起來一共要多少元。

2.思考，解決問題。要求買一套衣服多少元，從圖上看出褲子的價格已知，是28元；上衣的價格是褲子價格的3倍。因此，可以先求出上衣的價格，再與褲子的價格合起來。同時，我們從圖上也發(fā)現(xiàn)：可以先求一套衣服是幾個28元，再算出一共多少元。

3.反思，思維升華。在讀圖和思考過后，引導(dǎo)學(xué)生反思：回顧過程：剛才我們是怎樣用線段圖來反映問題信息的？你覺得這樣表示有何好處？通過畫圖，你在解題過程中有沒有獲得新的啟發(fā)？通過反思，提升學(xué)生的思維高度，讓學(xué)生從“畫圖”的策略層面升華為“數(shù)形結(jié)合”的思想高度。

“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微”，“數(shù)形結(jié)合”的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，其實質(zhì)是使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來。面對當下數(shù)學(xué)課堂學(xué)生“學(xué)情”缺失的嚴峻形勢，以畫圖助推問題的解決已刻不容緩。教師要善于利用，多加引導(dǎo)，適時滲透，讓學(xué)生想畫圖、會畫圖、用好圖，逐漸具有應(yīng)用有效策略的自覺性，形成良好的思維習(xí)慣，增進學(xué)生的思考力、理解力以及創(chuàng)造力。唯此，方能真正做到“還學(xué)于生”，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人！

[1]陳正萍．《解決問題的策略——畫圖》教學(xué)設(shè)計[J]．素質(zhì)教育論壇下半月，2009（05）．

[2]教育部．數(shù)學(xué)課程標準[M]．北京師范大學(xué)出版社,2001（7）．

[3]孫國平．凸顯畫圖價值優(yōu)化思維品質(zhì)——小學(xué)生畫圖策略使用的調(diào)查與思考[J]．數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2013（10）．

[4]蔡金菲．淺析小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)策略[J]．新課程學(xué)習(xí)（上）,2011（01）．

[5]章玲．基于“畫圖策略”落實問題的思考與研究[J]．新課程（中）,2011（09）．