多角度研究帶電小球在水平磁場中的下落軌跡

摘 要：對于帶電小球（考慮重力）在水平勻強(qiáng)磁場中的下落，高中學(xué)生普遍不清晰其運(yùn)動軌跡，特別是對帶電小球運(yùn)動至最低點(diǎn)時的運(yùn)動狀態(tài)存在認(rèn)識上的誤區(qū)，本文從定性、半定量、定量等多方面進(jìn)行研究論證，以解決學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑.

關(guān)鍵詞：帶電小球；勻強(qiáng)磁場；下落軌跡；多角度研究

作者簡介：胡曉強(qiáng)（1982-），男，大學(xué)本科，學(xué)士學(xué)位，中學(xué)高級教師，主要從事高中物理教學(xué)研究工作，承擔(dān)物理競賽教學(xué)及自主招生輔導(dǎo)工作.

題目 如圖1所示，一個質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的小球，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的足夠大的勻強(qiáng)磁場中由靜止下落，問小球的最終運(yùn)動狀態(tài)如何，是否可能會出現(xiàn)小球做勻速直線運(yùn)動的情況？

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)多的學(xué)生認(rèn)為在勻強(qiáng)磁場中下落時，由于帶電小球受到洛倫茲力的作用而逐漸向右偏轉(zhuǎn)，最終洛倫茲力與小球重力平衡，從而向右做勻速直線運(yùn)動，整個過程有如圖2所示的運(yùn)動軌跡；另有一部分學(xué)生雖然意識到帶電小球最終不是做勻速直線運(yùn)動，但小球的運(yùn)動狀態(tài)卻無法求解確定.

怎樣有效的利用現(xiàn)有的高中物理知識來解決學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑，筆者試從定性、半定量、定量等多角度進(jìn)行研究論證.

解析1 如圖3，設(shè)小球下落運(yùn)動到B點(diǎn)時，速度為水平方向，則在B點(diǎn)之前的極短一個時刻（對應(yīng)圖中A點(diǎn)），設(shè)A點(diǎn)速度vA與水平方向成Δθ角度（Δθ→0）.

在A點(diǎn)，速度vA有豎直向下的分量vAy，而接下來瞬間（對應(yīng)B點(diǎn)）速度達(dá)到水平時無此豎直方向速度的分量，即小球在這個過程由于受到豎直向上的合外力而在豎直方向上做減速運(yùn)動，因此有

qvABcosΔθ>mg（1）

∵A至B過程，只有重力對小球做正功

∴vA

則由（1）（2）必定有qvBB>mg

故當(dāng)帶電小球運(yùn)動到水平方向時，向上的洛倫茲力大于重力，小球仍會向上偏轉(zhuǎn)運(yùn)動而不是保持水平方向的勻速直線運(yùn)動.

解析2 如圖4，帶電小球在運(yùn)動過程中的任意時刻，設(shè)其水平方向的分速度為vx，豎直方向的分速度為vy，所以此時帶電小球在水平方向的加速度ax=Fxm=qvyBm

∴Δvx=axΔt=qvyBm·Δt

∴兩邊求和有∑Δvx=qBm∑vyΔt

又∵∑Δvx=vx，∑vyΔt=y

∴由以上兩式得vx=qBm·y

當(dāng)帶電小球運(yùn)動到速度水平時，其速度v=vx

∴此時小球在豎直方向上的位移y=mvqB

則小球在從出發(fā)點(diǎn)O運(yùn)動至最低點(diǎn)B過程中，只有重力做功（洛倫茲力不做功），由動能定理：

mgy=12mv2 得B點(diǎn)速度v=2mgqB

則此時帶電小球所受洛倫茲力f=qvB=q·2mgqB·B=2mg>mg

∴小球會繼續(xù)往上偏轉(zhuǎn)而不是保持水平方向的勻速直線運(yùn)動.

當(dāng)然，以上僅是定性地說明小球最終不是做水平方向上的勻速直線運(yùn)動，那其運(yùn)動性質(zhì)能否進(jìn)一步確定呢？

解析3 如圖5，將速度分解為水平向左的速度v1和水平向右的速度v2，因?yàn)樾∏虺跏紶顟B(tài)初速度v0=0（靜止），則有v1=v2

令qv1B=mg 即v1=mgqB

則小球的運(yùn)動等效為水平向右以速度v1做勻速直線運(yùn)動，同時在豎直平面內(nèi)做速度大小為v2、半徑為R=mv2qB=m2gq2B2的勻速圓周運(yùn)動，由數(shù)學(xué)知識定義可知，其運(yùn)動軌跡為擺線.

對于帶電小球精確的運(yùn)動軌跡求解，還需借助高等數(shù)學(xué)的知識進(jìn)行論證.

解析4 以帶電小球的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立如圖6所示坐標(biāo)系，根據(jù)牛頓第二定律，可知小球的運(yùn)動微分方程：

md2xd2t=qBdydt①

md2yd2t=mg-qBdxdt ②

初始條件：

t=0，x0=0，y0=0，dxdtx=0y=0=0，dydtx=0y=0=0

令ω=qBm則有：

dxdt=ωy③

dydt=gt-ωx④

d2xdt2=gωt-ω2x⑤

d2ydt2=g-ω2y⑥

根據(jù)微分方程d2ydt2+k2y=f（x）（其中k>0）通解：

y=acoskx+βsinkx+1k∫xx0f（t）sin（kx-t）dt

解方程⑤⑥得：

x=ω2g（ωt-sinωt） ⑦

y=ω2g（1-cosωt）⑧

因此，小球的軌跡是xOy平面內(nèi)的擺線（滾輪線）.

由③⑦⑧式得：

dydt2=2gy-ω2y2 ⑨

令⑨式中dydt=0，求得y的最大值ym=2gω2，此時d2xdt2m=0，即為小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時對應(yīng)的值.

1.根據(jù)③式得dxdtm=2gω；

2.根據(jù)⑥式得d2ydt2m=-g；

3.令⑥式中d2ydt2=0，則y=12ym=gω2；

4.根據(jù)④式，小球從O點(diǎn)到最低點(diǎn)的時間為tm=2ω；

5.根據(jù)⑤式，xm=gtmω=2gω2.

根據(jù)以上1、2、3點(diǎn)的結(jié)果，從力學(xué)角度來看，盡管小球在最低點(diǎn)時dydtm=0，dxdtm=2gω≠0，但在該點(diǎn)d2ydt2m=-g≠0，也就是說小球在最低點(diǎn)受到豎直向上的洛倫茲力是重力的兩倍，小球在最低點(diǎn)以后的運(yùn)動不可能沿x方向做勻速直線運(yùn)動而是會向上偏轉(zhuǎn).

結(jié)束語：通過以上定性、半定量、定量等多角度的研究，讓不同程度的學(xué)生都能在各自認(rèn)知水平上對帶電小球（考慮重力）在水平勻強(qiáng)磁場中的下落軌跡有了更進(jìn)一步的理解，解決了學(xué)生在該認(rèn)知上的困惑.同時在解析過程中涉及了運(yùn)動的合成與分解、微元法、能量守恒等高中階段常用的物理方法，又結(jié)合了數(shù)學(xué)中幾何知識、先微分再積分的思想方法，多樣化的解題思路，也拓展了學(xué)生的視野，符合“全面提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)”新課改理念.

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