“三角形的面積”的教學(xué)實(shí)踐與思考

陳立

[摘 要]要有效開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，教師需摸清學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，找準(zhǔn)探究的切入點(diǎn)，把握探究的重點(diǎn)?！叭切蔚拿娣e”一課的教學(xué)，從學(xué)生熟悉的平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)入手，以方格背景下銳角三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)為突破口，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以點(diǎn)帶面突破直角三角形、鈍角三角形面積計(jì)算的難點(diǎn)，進(jìn)而歸納并概括出三角形的面積計(jì)算公式，體現(xiàn)由特殊到一般的完全歸納推理思路，從而進(jìn)一步提高探究活動(dòng)的有效性。

[關(guān)鍵詞]三角形的面積；教學(xué)實(shí)踐；思考；探究

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）14-0013-04

有效的探究活動(dòng)，并不是流于形式、只動(dòng)手不動(dòng)腦的操作，而是學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用已有知識(shí)解決新問題的學(xué)習(xí)過程。思維的主動(dòng)參與是有效探究的靈魂。要有效開展探究活動(dòng)需要教師摸清學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，找準(zhǔn)探究的切入點(diǎn)，把握探究的重點(diǎn)。筆者以“三角形的面積”為例對(duì)此進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐與思考。

一、教學(xué)困惑

“三角形的面積”（人教版五年級(jí)上冊(cè)第六單元第二課時(shí)）屬于“空間與圖形”板塊，是繼平行四邊形的面積之后的又一節(jié)幾何概念課。學(xué)生是在掌握了三角形的特征及長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積計(jì)算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。學(xué)好這一課，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)梯形和多邊形的面積計(jì)算公式。以往教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生理解并掌握三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，一般采取以下兩種策略。

一是“拼組法”，即將兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，然后歸納出三角形的面積公式。這種方法看似易于學(xué)生理解，但學(xué)生其實(shí)并不理解為什么要用兩個(gè)完全相同的三角形來拼。這種做法忽略了學(xué)生的主體地位?；趯?duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，由于受平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的影響，學(xué)生更傾向于用一個(gè)三角形進(jìn)行“剪拼”轉(zhuǎn)換，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。

二是“剪拼法”，即將一個(gè)三角形沿其中位線剪開并通過旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)平行四邊形，或者沿高線中點(diǎn)并垂直于高剪開后通過旋轉(zhuǎn)拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。學(xué)生由于知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)不足，往往不能剪拼成功。

那么對(duì)于這兩種策略，在本節(jié)課的教學(xué)中到底應(yīng)以誰為重？抑或是兩者兼顧？

二、課前思考

為了解決這個(gè)困惑，筆者決定先弄清楚兩個(gè)問題，一是學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，二是教材的編排意圖。

1.學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)

對(duì)于本節(jié)課，學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)是已了解三角形的特征和平行四邊形的面積計(jì)算公式及推導(dǎo)方法。經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)是在經(jīng)歷推導(dǎo)平行四邊形面積計(jì)算公式的過程中，已初步掌握運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和割補(bǔ)方法推導(dǎo)平面圖形面積計(jì)算公式的方法。這些知識(shí)起點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)導(dǎo)致學(xué)生嘗試推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式時(shí)，只會(huì)沿著三角形的高剪開三角形。

2.教材的編排意圖

對(duì)于本節(jié)課，教材先通過小女孩的實(shí)際問題“怎樣計(jì)算紅領(lǐng)巾的面積”引發(fā)學(xué)生思考，接著根據(jù)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)方法提出解決問題的思路：能不能把三角形也轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形？在此基礎(chǔ)上，再提出用拼組的方法加以推導(dǎo)，即引導(dǎo)學(xué)生把兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。學(xué)生通過動(dòng)手操作和實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)三角形與平行四邊形的關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式為“底×高÷2”。

教材按照“操作實(shí)驗(yàn)→歸納結(jié)論→應(yīng)用結(jié)論”的順序來編排學(xué)習(xí)內(nèi)容，體現(xiàn)由特殊到一般的完全歸納推理思路，符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生很難想到用兩個(gè)完全相同的三角形來拼平行四邊形。因此教師要從學(xué)生的常規(guī)思維出發(fā)，即用“剪拼法”來推導(dǎo)三角形的面積公式，同時(shí)兼顧“拼組法”，從而促進(jìn)學(xué)生真正理解三角形的面積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過程。

三、教學(xué)設(shè)想

1.確定教學(xué)思路

基于上述的分析與思考，筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)從平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)入手，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，以銳角三角形作為突破口，通過將單個(gè)銳角三角形剪拼成長(zhǎng)方形或平行四邊形，或?qū)蓚€(gè)銳角三角形拼成平行四邊形，并聯(lián)系轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)系，從而得出銳角三角形的面積等于“底×高÷2”。通過對(duì)比，優(yōu)化“拼組法”，進(jìn)一步得到直角三角形和鈍角三角形的面積也是“底×高÷2”，從而歸納概括出所有三角形的面積都等于“底×高÷2”。這屬于完全歸納推理的思路。

2.確定教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：（1）讓學(xué)生理解并掌握三角形的面積計(jì)算公式，并能正確計(jì)算三角形的面積；（2）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念；（3）滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)、積極動(dòng)腦思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)：探索并掌握三角形的面積計(jì)算公式，能正確計(jì)算三角形的面積。

教學(xué)難點(diǎn)：理解三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。

四、教學(xué)實(shí)踐

【環(huán)節(jié)一】復(fù)習(xí)引入，喚醒認(rèn)知

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積計(jì)算公式，你們知道這個(gè)公式是怎樣推導(dǎo)的嗎？

生1：將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形……（課件演示剪拼過程）

師：你為什么要把平行四邊形變成長(zhǎng)方形？這是應(yīng)用了什么數(shù)學(xué)思想？（板書：轉(zhuǎn)化）

【環(huán)節(jié)二】轉(zhuǎn)化引路，推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式

師：今天這節(jié)課，我們就來研究三角形的面積。（出示課題：三角形的面積）

1.初步探究

師（課件出示一個(gè)三角形）：為了研究方便，我們將它放上格子圖，如果格子圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，那么這個(gè)三角形的底和高分別是幾厘米？

師：若要求這個(gè)三角形的面積，能否像推導(dǎo)平行四邊形的面積公式那樣把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形呢？

2.分組操作

師：請(qǐng)拿出事先準(zhǔn)備好的學(xué)具（兩個(gè)銳角三角形和一張網(wǎng)格紙），通過剪一剪、拼一拼、折一折等，把三角形轉(zhuǎn)化成所學(xué)過的圖形。轉(zhuǎn)化好后，完成以下操作記錄單，然后同桌相互交流。（學(xué)生動(dòng)手研究，教師巡視指導(dǎo)）

3.匯報(bào)交流

師：你們都研究出了什么？誰愿意與大家分享？請(qǐng)停下手中的操作，聽一聽其他同學(xué)的說法，看看他們想的是否和你一樣。

師：你把這個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成了什么圖形？

生2：把左上的小三角形剪下移到左下，右上的小三角形剪下移到右下，拼成長(zhǎng)方形（如圖1）。（教師隨著學(xué)生的回答進(jìn)行課件演示）

師：剛才你把三角形轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形，那么長(zhǎng)方形的面積怎樣計(jì)算？

生2：6×2=12（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個(gè)長(zhǎng)方形的面積有什么關(guān)系？

生3：相等。

師：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與這個(gè)三角形的底是什么關(guān)系？長(zhǎng)方形的寬與這個(gè)三角形的高是什么關(guān)系？

生4：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與三角形的底相等，但長(zhǎng)方形的寬只有原三角形高的一半。

師：那么原三角形的面積可以寫成“底×（高÷2）。（板書：高×（底÷2））

師：你還能把它轉(zhuǎn)化成什么圖形？

生5：把左下的小三角形移到左上，右下的小三角形移到右上，拼成長(zhǎng)方形（如圖2）。（課件演示）

師：這個(gè)長(zhǎng)方形的面積怎樣計(jì)算？

生6：4×3=12（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個(gè)長(zhǎng)方形的面積有什么關(guān)系？

生7：相等。

師：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與這個(gè)三角形的高是什么關(guān)系？長(zhǎng)方形的寬與這個(gè)三角形的底是什么關(guān)系？

生8：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與三角形的高相等，長(zhǎng)方形的寬是三角形的底的一半。

師：那原三角形的面積可以寫成“高×（底÷2）”。（板書：底×（高÷2））

師：還能把它轉(zhuǎn)化成什么圖形？

生9：把上面的三角形剪下移到右邊，拼成一個(gè)平行四邊形（如圖3）。（課件演示）

師：你把三角形轉(zhuǎn)化成了平行四邊形。平行四邊形的面積怎樣計(jì)算？

生9：6×2=12（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個(gè)平行四邊形的面積有什么關(guān)系？

生10：相等。

師：平行四邊形的底與這個(gè)三角形的底是什么關(guān)系？平行四邊形的高與這個(gè)三角形的高是什么關(guān)系？

生11：底相同，平行四邊形的高是三角形高的一半。

師：那原三角形的面積可以寫成“底×（高÷2）”。（板書：底×（高÷2））

師：還能把它轉(zhuǎn)化成什么圖形？

生12：把原三角形沿高分成兩個(gè)小三角形，左邊的補(bǔ)上一個(gè)小三角形，右邊補(bǔ)上一個(gè)小三角形，拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形（如圖4）。（課件演示）

師：你把原三角形拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形。大長(zhǎng)方形的面積怎樣計(jì)算？

生12：6×4=24（平方厘米）。

師：三角形的面積與這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積有什么關(guān)系？

生13：三角形的面積是大長(zhǎng)方形面積的一半。

師：大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與這個(gè)三角形的底是什么關(guān)系？大長(zhǎng)方形的寬與這個(gè)三角形的高是什么關(guān)系？

生14：長(zhǎng)與底相同，寬與高相同。

師：那原三角形的面積我們可以寫成“底×高÷2”。（板書：底×高÷2）

師：還能把它轉(zhuǎn)化成什么圖形？

生15：把兩個(gè)完全一樣的三角形拼成平行四邊形，原三角形面積是平行四邊形的面積的一半（如圖5）。（課件演示）

師：原三角形的面積怎么計(jì)算？

生15：6×4÷2=12（平方厘米）。

師：你剛才把三角形轉(zhuǎn)化成了大的平行四邊形，轉(zhuǎn)化時(shí)用了兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形有什么特點(diǎn)？

生15：完全相同。

師：這里有一個(gè)三角形跟黑板上的三角形是完全相同的，有誰愿意到黑板上操作，轉(zhuǎn)化成大平行四邊形。（學(xué)生操作）

師：這個(gè)平行四邊形的底與原三角形的底有什么關(guān)系？這個(gè)平行四邊形的高與原三角形的高有什么關(guān)系？

生16：一樣。

師：原三角形的面積與這個(gè)大平行四邊形的面積有什么關(guān)系？

生17：一半。

師：那原三角形的面積可以寫成“底×高÷2”。（板書：底×高÷2）

4.階段小結(jié)

師：通過討論，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)銳角三角形可以轉(zhuǎn)化成很多種圖形，并得出了銳角三角形的面積可以用底×（高÷2）、高×（底÷2）、底×高÷2來計(jì)算?！暗住睂懙阶钋懊妫啊?”寫到最后面，則這個(gè)銳角三角形的面積可以寫成“底×高÷2”。（板書：底×高÷2）

5.深入探究

師：銳角三角形的面積可以用“底×高÷2”來進(jìn)行計(jì)算，那么直角三角形和鈍角三角形的面積是否也可以用“底×高÷2”來計(jì)算呢？

（1）探究直角三角形和鈍角三角形的面積公式

師（為學(xué)生準(zhǔn)備完全一樣的直角三角形和鈍角三角形各2個(gè)）：研究這些三角形，它們的面積是不是也可以用“底×高÷2”來計(jì)算？（學(xué)生動(dòng)手操作）

（2）匯報(bào)交流（請(qǐng)學(xué)生上黑板演示并講解）

師：直角三角形的面積能用“底×高÷2”來計(jì)算嗎？

生18：能。把完全相同的兩個(gè)直角三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原三角形的底，長(zhǎng)方形的寬就是原三角形的高，原三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半，長(zhǎng)方形的面積是“長(zhǎng)×寬”，所以原三角形的面積是“底×高÷2”。

師：那鈍角三角形的面積能用“底×高÷2”來計(jì)算嗎？

生19：能。把完全相同的兩個(gè)鈍角三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，平行四邊形的底就是原三角形的底，平行四邊形的高就是原三角形的高，原三角形面積是平行四邊形面積的一半，平行四邊形的面積是“底×高”，所以原三角形的面積是“底×高÷2”。

（3）歸納公式

師：同學(xué)們通過動(dòng)手操作、學(xué)習(xí)研究后發(fā)現(xiàn)，直角三角形、鈍角三角形的面積也可以用“底×高÷2”來進(jìn)行計(jì)算。因此，所有的三角形面積都可以用“底×高÷2”來計(jì)算。（板書：三角形的面積=底×高÷2）

師：如果三角形的面積用S表示，底用a表示，高用h表示，那三角形的面積可以寫成什么？“底×高”表示什么？為什么要除以2？

生20：S=ah÷2。“底×高”表示用兩個(gè)完全相同的三角形拼成的平行四邊形的面積，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半，所以要“÷2”。

6. 介紹其他方法

師：今天我們一起推導(dǎo)了三角形的面積計(jì)算公式，早在2000多年前，我們的祖先就已經(jīng)提出了這個(gè)公式，請(qǐng)看大屏幕。

師：如圖6所示，你看懂劉徽的證明方法了嗎？

師：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是什么？寬是什么？三角形的面積又是什么？

師：剛才我們通過剪一剪、拼一拼等方式，得出了三角形的面積是“底×高÷2”。下面，我們就用這個(gè)公式來解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

【環(huán)節(jié)三】分層練習(xí)，強(qiáng)化三角形面積計(jì)算方法的運(yùn)用

1.基礎(chǔ)練習(xí)

（1）計(jì)算下面三角形的面積。（注意書寫格式）

思考：①4×2表示什么？（請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)指一指）還有不同的想法嗎？（指名學(xué)生回答）

②計(jì)算第三個(gè)三角形面積時(shí)為什么不用10這個(gè)數(shù)據(jù)呢？（強(qiáng)調(diào)底和高要對(duì)應(yīng)）

師：生活中哪些地方需求三角形的面積？（學(xué)生舉例）

師（PPT 出示一條紅領(lǐng)巾）：要求這一條紅領(lǐng)巾的面積，需要哪些數(shù)據(jù)？（底和高）

師：紅領(lǐng)巾的底是100cm，高是33cm，它的面積是多少平方厘米？（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算））

2.提高練習(xí)

選一選：做這樣的四塊標(biāo)識(shí)牌至少需要多少平方分米的鐵皮？（ ）

A.9×7.8÷2 B. 9×7.8÷2×4 C. 9×7.8×2

師：請(qǐng)大家說說選擇的理由。

師：老師覺得選項(xiàng)C是正確的，你知道老師是怎么想的嗎？

3.拓展練習(xí)

（1）會(huì)變的三角形

師（出示一組平行線）：這是兩條什么線？大家仔細(xì)看下面的這條線（閃爍線段），這是一條很神奇的線段，它會(huì)變出很多個(gè)三角形。（點(diǎn)擊鼠標(biāo)演示）大家比比看，哪個(gè)三角形的面積最大？你發(fā)現(xiàn)了什么？（三角形的面積與底和高有關(guān)，與形狀無關(guān)；等底等高的三角形面積相等）

（2）求涂色部分的面積（大正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米）。

【環(huán)節(jié)四】總結(jié)全課，回顧三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程

師：這節(jié)課你有哪些收獲？我們是怎樣推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式的？ 計(jì)算三角形面積時(shí)需要注意什么？

五、課后再思考

思考1：兩種教學(xué)策略如何把握？

對(duì)于“剪拼法”與“拼組法”兩種教學(xué)策略，在教學(xué)中應(yīng)側(cè)重一種，只需將另一種作為補(bǔ)充，以豐富學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)。在本節(jié)課中，筆者以剪拼法為重，經(jīng)過反思，筆者認(rèn)為應(yīng)以“拼組法”為重。主要原因有以下兩點(diǎn)：第一，對(duì)于本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)三角形剪拼成平行四邊形的知識(shí)儲(chǔ)備還不夠，因?yàn)閷?duì)于中位線等概念，學(xué)生還未掌握；第二，前一課學(xué)習(xí)平行四邊形的面積采用的是割補(bǔ)法，即沿高剪開平行四邊形后將其兩部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式，后一課將要學(xué)習(xí)梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，將梯形剪成一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形；將梯形剪拼成一個(gè)三角形或平行四邊形；用兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形?；诮滩牡木幣彭樞?，本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)側(cè)重“拼組法”。

思考2：探究活動(dòng)是否都要基于精選材料而展開？

在很多公開課中，許多探究活動(dòng)都是基于精選材料而展開的。在這個(gè)過程中，學(xué)生積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也是一種基于精選材料探究而獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。然而，無論是今后要學(xué)習(xí)的其他圖形面積公式的探究，還是其他知識(shí)的建構(gòu)，都無法提供現(xiàn)成的精選材料，真正富有意義的學(xué)習(xí)活動(dòng)，很多時(shí)候只能依靠學(xué)習(xí)者本身。因此，在這節(jié)課中教師應(yīng)為學(xué)生設(shè)置一個(gè)基于基本材料而探究的學(xué)習(xí)活動(dòng)，以此幫助學(xué)生積累更有價(jià)值的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。比如，教師只給每個(gè)學(xué)生提供一個(gè)三角形（無方格背景），隨后充分放手，讓學(xué)生自主探究三角形面積的計(jì)算公式。由于離開了精選材料的幫扶與暗示，很多學(xué)生可能會(huì)暫時(shí)茫然、不知所措，但經(jīng)過思考后，他們會(huì)想到在方格上擺一擺、與同伴拼一拼、動(dòng)手剪一剪等方法。顯然，這種前期“山窮水盡”后帶來的“柳暗花明”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，更能讓學(xué)生有深刻的學(xué)習(xí)體悟，真正深入理解知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 王國元.基于學(xué)習(xí)起點(diǎn) 優(yōu)化學(xué)法指導(dǎo)[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師， 2014（5） .

[2] 葉柱.由“教什么”談起[J]. 小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（數(shù)學(xué)），2015（11）.

（責(zé)編 黃春香）