基于改善紅外光學系統(tǒng)離焦變量的三次位相板波前編碼技術(shù)淺析

盧鑫　程偉寧　范哲源

摘要：在紅外光學系統(tǒng)中，為增大光學系統(tǒng)焦深，通常需要減小系統(tǒng)光圈，該方法會降低系統(tǒng)角分辨率和信噪比等參數(shù)，使光學系統(tǒng)最終難以獲取高頻信息圖像。波前編碼技術(shù)結(jié)合了光學成像和圖像處理算法，實現(xiàn)了大焦深的設(shè)計，使系統(tǒng)在一定范圍內(nèi)的離焦均具有較高的MTF，最終實現(xiàn)了光學系統(tǒng)焦深的拓展，提高了光學系統(tǒng)的應(yīng)用范圍和可靠性。

關(guān)鍵詞：離焦變量；傳遞函數(shù)；三次相位板；波前編碼

根據(jù)光學成像系統(tǒng)理論，物方視場在像方視場除了共軛面以外，其他點在共軛像面上只能是一定大小的彌散斑，對于一定分辨率的接收器，只要該彌散斑小于最小分辨率，仍然可以認為是一個點。對于確定光瞳的光學系統(tǒng)，物方一定范圍內(nèi)的物體能夠在對準平面成清晰實像，該范圍是系統(tǒng)的景深，與之對應(yīng)的像方空間是焦深。

對于大焦深的光學成像系統(tǒng)，其優(yōu)勢在與減少了物距變化對像方空間變化所引起的成像模糊，使近遠景均能清晰成像，獲取更多的物方信息。若想提高光學系統(tǒng)焦深，有以下常見方法：第一種是減小系統(tǒng)光圈，增大F數(shù)；第二種是通過多幅離焦圖像合成；另外一種是在孔徑光欄處增加不同的振幅位相板進行調(diào)制，對振幅進行衰減。這幾種方法均具有一定缺點，或降低系統(tǒng)分辨率，或景深拓展程度不足。

1 波前編碼技術(shù)理論及應(yīng)用

波前編碼技術(shù)最早由美國科羅拉多大學的兩位研究人員Dowski和Cathey共同提出，其主要的目的是使光學系統(tǒng)在不同焦深下獲取更完整的光學信息量，該技術(shù)的方法是通過在光學系統(tǒng)孔徑光欄或入瞳處增加一塊相位調(diào)制板，使光學系統(tǒng)的點擴散函數(shù)PSF或者調(diào)制傳遞函數(shù)MTF對離焦不敏感，同時能夠抑制系統(tǒng)的初級像差。

波前編碼技術(shù)的特點是結(jié)合了光學成像技術(shù)和數(shù)字圖像處理技術(shù)。首先，波前編碼系統(tǒng)通過在光瞳處加入相位調(diào)制板進行調(diào)制，使目標在焦平面成一個模糊的中間像。其次，通過對中間模糊像的濾波處理，得到清晰的圖像，實現(xiàn)焦深的拓展。

波前編碼技術(shù)應(yīng)用在紅外系統(tǒng)中，增大了光學系統(tǒng)焦深，進而提高了紅外光學系統(tǒng)的清晰成像范圍，另外，對于紅外光學成像系統(tǒng)，由于設(shè)計輸入條件中溫度差較大，會引起系統(tǒng)離焦的發(fā)生，而對這種離焦的補償通常采用光學、結(jié)構(gòu)無熱化設(shè)計的方案進行設(shè)計，從而引入了調(diào)焦組件，增加了系統(tǒng)的復雜程度。引入波前編碼技術(shù)，可以有效降低紅外光學系統(tǒng)設(shè)計的復雜程度，使之加工、裝配難度下降。

2 基于三次位相板的波前編碼系統(tǒng)原理

目前，國內(nèi)外眾多學者對編碼技術(shù)的研究已經(jīng)產(chǎn)生了很多成果，在成像特性分析也提出了很多新穎的方法，由于三次相位掩模板在奇對稱相位掩模板中比較有代表性，大部分的研究都是圍繞三次相位板所進行，因而本文主要對該方法進行介紹。

根據(jù)傅立葉光學原理，普通光學系統(tǒng)中，景物目標經(jīng)光學系統(tǒng)成像在像面處，在不考慮噪聲的影響下，成像的物理過程在空間域內(nèi)是目標景物和光學系統(tǒng)點擴散函數(shù)PSF的卷積，在空間頻域內(nèi)被描述為目標景物頻率和傳遞函數(shù)OTF的乘積，

G（u，v）=H（u，v）F（u，v）（21）

其中，G（u，v）表示觀測圖像的頻域；

H（u，v）是SPF的頻域表達；

F（u，v）表示目標景物的頻域；

u，v是像素點處強度對應(yīng)的空間頻率。

由于非相干系統(tǒng)所成的像為強度像，因此MTF（OTF的模）決定系統(tǒng)的成像質(zhì)量。在傳統(tǒng)光學系統(tǒng)中，調(diào)制傳遞函數(shù)MTF或PSF隨離焦的變化明顯。在波前編碼系統(tǒng)中，一定范圍中MTF隨著離焦的產(chǎn)生幾乎沒有變化，編碼圖像對離焦的變化不敏感，產(chǎn)生通頻帶無頻率截止的MTF。

通過三次位相板的添加，減少理想波前波動帶來的影響，雖然三次位相板的添加會使對理想波前產(chǎn)生一定程度的破壞，但是這種破壞屬于已有信息，可以破壞使波前的小范圍波動不敏感，這樣MTF可以不隨離焦產(chǎn)生的小范圍理想波前的波動變化，形成較為穩(wěn)定的MTF信息。將已掌握的MTF信息數(shù)據(jù)進行編碼，由于波前編碼系統(tǒng)的MTF在各個離焦位置均比較穩(wěn)定，因此通常通過同一濾波算法實現(xiàn)不同離焦位置圖像的解碼。

波前編碼系統(tǒng)的設(shè)計通常要先將像差通過廣義光瞳函數(shù)表達出來，然后對其進行相應(yīng)的變換，求取系統(tǒng)OTF。

首先，計算出含有離焦量的廣義光瞳函數(shù)P（x），

P（x）=p（x）exp[jkW（x）]，（22）

其中p（x）為光瞳函數(shù)，在孔徑內(nèi)其值為1，孔徑外為0；

帶有離焦參數(shù)ψ的廣義光瞳函數(shù)為

P（x）=p（x）exp（jψx2）（23）

其中離焦參數(shù)ψ=πL2/4λ（1/f1/d01/ dc）

其他像差也可以通過廣義光瞳函數(shù)表達，只考慮一種或者幾種像差時候，可以通過改變各個像差項的系數(shù)（設(shè)置為0）來對廣義光瞳函數(shù)進行分析。

第二步，求得光學傳遞函數(shù)MTF。對于非相關(guān)光學系統(tǒng)，通過出瞳函數(shù)做傅立葉變換，并取其模的平方，可以求出點擴散函數(shù)的表達式。一方面，可以通過對點擴散函數(shù)再進行傅立葉變換，求得光學傳遞函數(shù)；另一方面，可以通過對廣義光瞳函數(shù)的歸一化自行關(guān)，求得光學傳遞函數(shù)。非相干光學系統(tǒng)歸一化的傳遞函數(shù)定義為：

H（fx，fy）=∫∫|h（u，v）|2exp[j2π（fu+fv）]dudv/ ∫∫|h（u，v）|2 dudv（24）

H（fx，fy）為光學傳遞函數(shù)OTF，它的模即|H（fx，fy）|為調(diào)制傳遞函數(shù)MTF。

第三步， 利用數(shù)學工具對OTF進行處理，通過采用模糊函數(shù)表示OTF以后，可以用穩(wěn)定相位法求得OTF的近似表達式。

模糊函數(shù)使頻率和時間結(jié)合的自相關(guān)函數(shù)，對于一個實信號f（t），其模糊函數(shù)的表達為：

G（υ，τ）=∫f（t） f（tτ）exp（j2πυt）dt（25）

通過對廣義光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)求得OTF，通過公式（23）和公式（25）可以求得OTF為：

H（u，ψ）=p（x+u/2）exp[j（x+u/2）2ψ]p*（xu/2）exp[j（xu/2）2ψ]dx（26）

其中u為歸一化頻率；Ψ為離焦系數(shù)。

模糊函數(shù)定義為

A（u，v）=∫p（x+u/2） p*（xu/2）exp（j2πvx）dx（27）

由（26）和（27）可以得出

H（u，ψ）= A（u，uψ/π）（28）

由（28）可以看出模糊函數(shù)可以表達所有離焦位置的OTF。

第四步，利用模糊函數(shù)和穩(wěn)相法推導三次位相板，得出三次位相板的波前編碼系統(tǒng)MTF和離焦量無關(guān)的關(guān)系式。

為簡化計算，選用矩形掩膜板，并只考慮一維x方向，同時只考慮系統(tǒng)的離焦像差，可以得到廣義光瞳函數(shù)的模糊函數(shù)表達式為

A（u，v）=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[jθ（x+u/2）]×exp[jθ（xu/2）] exp（j2πvx）dx，|u|2（29）

對于位相板的形式是非線性的高次單項式

θ（x）=axy， y≠{0，1}，a≠0（210）

由公式（29） 和（210）可以得到

A（u，v）=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[ja（x+u/2）y] exp[ja（xu/2）y] exp（j2πvx）dx

=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[j（x）] exp（j2πvx）dx ，|u|2（211）

其中

（x）=a[（x+u/2）y （xu/2）y]（212）

根據(jù)穩(wěn)相法，如果公式（211）積分中的相位項（x）變換迅速，對積分的貢獻來自于函數(shù)（x）+ 2πvx的穩(wěn)定相點，即鞍點位置，此時可以用穩(wěn)定相位法近似。通過對公式（212）求導，可以求得穩(wěn)相點xi。

2πv+γa[（xi+u/2）γ1 （xiu/2）γ1]=0（213）

由公式（213）可以看出當γ=3的時候，xi和v成線性關(guān)系，此時位相板的次數(shù)為3次，此時它的穩(wěn)定相點為

xi =πv/3au，u≠0（214）

通過以上各公式推導得到模糊函數(shù)的近似值：

A（u，v）≈√π/12|au|·exp（jau3/4）exp（jψ2v2/3au），u≠0（215）

根據(jù)模糊函數(shù)和OTF關(guān)系，根據(jù)公式（28）可以得到對應(yīng)的OTF為：

H（u，ψ） ≈√π/12|au|·exp（jau3/4）exp（jψ2u/3au），u≠0（216）

由上式可以看到，利用模糊函數(shù)和穩(wěn)相法近似得到MTF和離焦量系數(shù)ψ無關(guān)。在實際應(yīng)用過程中，通過調(diào)節(jié)a的大小控制對OTF的影響。當a增大的時候，點擴散函數(shù)和MTF隨著離焦變化減小。

最后，除了利用模糊函數(shù)和穩(wěn)定相位法以外，還可以利用的數(shù)學工具還有維格納分布函數(shù)、科鈕螺線、菲涅爾積分等，可以從空間域或者頻率域?qū)С銎渌问降奈幌喟?。位相板不同，作用也不相同。其中有三次位相掩膜板，指?shù)位相掩膜板，對數(shù)位相掩膜板，余弦位相掩膜板等，主要用于景深拓展，或者用于降低光學系統(tǒng)設(shè)計的復雜程度。

3 三次位相板的開發(fā)特點

相位板設(shè)計方法主要基于以下兩點，一是通過對波前調(diào)制，使SPF或者MTF在一定范圍內(nèi)基本不變，實現(xiàn)焦深拓展的目的；而使編碼所稱的中間像的MTF滿足一定閾值要求，方便后期圖像處理。

在三次位相板開發(fā)過程中，需要和光學系統(tǒng)一起進行設(shè)計，同時要對系統(tǒng)像差進行標定并分析，隨著位相板參數(shù)增大，相同離焦量下點擴散函數(shù)的峰值偏離中心位置的距離增大，需要采用同一濾波函數(shù)進行圖像復原，并通過調(diào)整位相板參數(shù)值調(diào)整點擴散函數(shù)（PSF）對中心坐標位置的偏移量，以改善不利影響。

主流軟件設(shè)計優(yōu)化算法通常為最小二乘法，其結(jié)果是使各像差減小，保持較高的MTF，但是隨著離焦量變大，導致成像質(zhì)量迅速下降，不同焦距的成像沒有相似性，因此，無法通過傳統(tǒng)光學設(shè)計優(yōu)化方法對相位板參數(shù)進行優(yōu)化，需要通過二次開發(fā)設(shè)計以及和其他軟件共同完成。

4 波前編碼系統(tǒng)解碼

波前編碼系統(tǒng)編碼后，PSF和MTF對離焦不敏感，隨著位相板參數(shù)變大，MTF值變低，PSF的發(fā)散程度也變大，圖像變模糊，因此需要對其進行解碼，對圖像進行恢復，獲得最終清晰像。通過設(shè)計可以得到設(shè)計的傳遞函數(shù)MTF1，同時如果系統(tǒng)設(shè)計目標最終是衍射受限的，也可以知道最終的傳遞函數(shù)MTFlast，

MTFlast=MTF1 *MTF2（31）

圖像處理部分點擴散函數(shù)的求解一般通過公式（31）求出圖像處理部分的MTF2，對中間圖像進行傅立葉變換得到中間圖像的頻譜圖，該頻譜圖和MTF2相乘后得到最終圖像的頻譜，然后進行傅立葉反變換計算得到清晰圖像。

5 結(jié)語

紅外光學系統(tǒng)設(shè)計中，受使用條件的限制，由于環(huán)境溫度變化對系統(tǒng)成像效果影響較大，無熱化是較為重要的設(shè)計環(huán)節(jié)，通過光學波前編碼技術(shù)的使用，可以提高系統(tǒng)焦深，增大光學系統(tǒng)的應(yīng)用范圍，減少了系統(tǒng)的復雜程度。通過對波前編碼技術(shù)的淺析，可以看到，該技術(shù)主要依托于傳統(tǒng)的光學成像理論，以及圖像處理技術(shù)，對三次相位板的參數(shù)設(shè)計以及優(yōu)化是其主要的應(yīng)用難點，通過將光學設(shè)計軟件以及圖像處理軟件的結(jié)合，應(yīng)用算法對系統(tǒng)求解，可以得到較為理想的相位板，在不同離焦情況下具有較為平滑的MTF曲線。本文初步探討了波前編碼技術(shù)在傳統(tǒng)成像光學領(lǐng)域的應(yīng)用，為紅外系統(tǒng)的設(shè)計提供了新的思路。

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基金項目：國家部委基金資助項目

作者簡介：盧鑫（1984），男，吉林人，畢業(yè)于長春理工大學，碩士，中級工程師，現(xiàn)主要從事光學設(shè)計及光學鏡頭研制工作，研究方向：光學設(shè)計及鏡頭研制。