小學數(shù)學難點研究綜述：基于教師的視角

于曉艷 俞愛宗

[摘要]數(shù)學學科是小學教育的重點學科，是學生學好其他學科的基礎。準確合理把握小學生數(shù)學學習難點是增強學生學習興趣、提高課堂教學效率的依據(jù)和基礎。本文從教師的視角對小學數(shù)學難點確定的依據(jù)、難點的構成、難點的成因以及難點的解決策略四個方面進行研究，總結出目前研究存在的不足，以期促進小學數(shù)學難點問題的解決。

[關鍵詞]教師；小學數(shù)學；困難點；研究綜述

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號]1005-5843（2017）03-0139-04

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201703028難點是針對學生接受而言的，即經(jīng)過預習，學生還不能理解或理解有困難的地方，難點不一定是重點，它是針對具體的學生而言的[1]。義務教育的數(shù)學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎[2]，而小學數(shù)學則是基礎中的基礎。數(shù)學難點的精準確定可提高難點講解的針對性，提高課堂教學效率，增強學生學習興趣。本文采用文獻法，以小學數(shù)學難點等為關鍵詞，以中國知網(wǎng)（CNKI）為搜索平臺進行篇名和關鍵詞檢索，共檢索到121篇文獻，從中篩選出23篇有效文獻，并結合兩本著作，圍繞數(shù)學困難點的概念界定、確定依據(jù)、構成要素、形成原因、策略等內(nèi)容進行分析，以了解教師對小學生數(shù)學學習難點的認識。

一、難點確定的依據(jù)研究

薛贊祥認為：“教師在確定教學難點時，要綜合考慮學生的知識基礎、經(jīng)驗、能力、思維水平等因素，充分估計學生感受到理解困難、推理滯澀、思維容易偏差的知識點?！?[3]這提醒我們，要以學生為研究對象，要以學生的認知發(fā)展水平為出發(fā)點，充分考慮學生的學習障礙。周桂伶認為：“我們要對班級學生的基礎知識與接受水平做一個全面的了解，充分體現(xiàn)因材施教的原則，確立教學難點，加強教學的針對性?！盵4]該觀點提出“以學生為研究對象”是極其可取的，但是具體怎樣對學生做針對性調(diào)查，并沒有進一步說明。此外，她還強調(diào)在確定難點的過程中要按照因材施教的原則，在教學過程中要有針對性地解決難點問題。劉園指出：“學生不容易理解的有關數(shù)學概念、原理、定律法則、公式等知識可以認為是數(shù)學難點，通過多次訓練后學生還很難消化的知識，或是對于一些應用數(shù)學知識去解決一些實際問題而感到困難的也可以認為是數(shù)學難點?！盵5]該觀點傾向于對難點內(nèi)涵的闡釋，亦是作者對難點的確定依據(jù)。后者較前者程度更深，強調(diào)通過訓練仍然難以獲得，可謂難點重中之重。徐雁認為：“在教學難點的設計上，教師一定要認真研究教學內(nèi)容以及準確把握學生的學習起點、知識經(jīng)驗或理解和接受新知的快慢等。”[6]該觀點對教師提出認真研究教學內(nèi)容的要求，即難點的確定不僅要依據(jù)學生的認知水平，還要立足于教材，充分研究教材的知識內(nèi)容及其與學生認知的關系。馬世和認為確定數(shù)學教學難點的三步驟：一是根據(jù)教材的知識結構，從知識點中梳理出重點；二是根據(jù)學生的認知水平，從重點中確定好難點；三是找準知識的生長點是突出重點、突破難點的條件[7]。教師要認真鉆研教材，形成知識體系，以便整體把握教材內(nèi)容。這樣，才能找準教學的起點，突破教學的難點，捕捉知識的生長點，使教學目標切合實際。

綜上所述，教師對學生數(shù)學學習難點的確定依據(jù)主要分為兩部分：一是從教材中梳理知識點，通過知識生長點來劃定難點知識范圍；二是從學生的認知水平、知識基礎、經(jīng)驗及能力等方面出發(fā)，了解其需求?？上驳氖牵糠纸處熣J識到難點的確定應該將學生的身心需求考慮在內(nèi)。然而，僅通過理論來研究學生的認知發(fā)展情況是不夠的，更應該通過了解學生的課前預習情況及其反饋來設定難點。通過研究文獻發(fā)現(xiàn)，教師以學生為研究對象，在課前對學生預習后仍存在困惑的知識點進行深入了解的情況幾乎沒有，換言之，教師在確定難點之前，對學生的真實需求并沒有深刻了解。

二、難點構成的研究

在難點構成的分類方面，薛贊祥認為，就小學數(shù)學教材而言，以下幾方面的知識點可確定為教學難點：抽象性的知識點、復雜性的知識點、干擾性的知識點、隱蔽性的知識點、特殊性的知識點、陡坡性的知識點等[8]。該觀點從學生感性思維較強、邏輯思維能力薄弱、比較思維能力差、習慣著眼于表象、思維慣性較強、認知發(fā)展有限等特點出發(fā)，歸納出學生學習難點的六大種類，并將教材中的知識點進行分類，使具有共性的難點歸類有章。韓春榮認為：“小學數(shù)學教學難點主要有以下幾種類型：新知識與已有知識聯(lián)系少而形成的難點；內(nèi)容繁瑣，不便記憶形成的難點；內(nèi)容抽象，理解困難形成的難點；靜態(tài)思維形成的難點。”[9]該觀點從學習內(nèi)容及學生思維兩方面對數(shù)學學習難點進行分類。知識的抽象、繁瑣及新舊知識間缺乏聯(lián)系屬學習內(nèi)容的不足，而靜態(tài)思維屬學生認知水平，二者共同構成了學生學習數(shù)學產(chǎn)生的困難點。

在具體難點的劃分上，以小學三年級教材為例，提及頻次列前三位的難點分別為：兩步計算應用題、面積問題和分數(shù)問題。趙艷輝認為，此前學生接觸的是一步計算應用題，學生只需要選擇加減乘除中的一種辦法將兩個數(shù)學信息聯(lián)系起來即可。到本課學生須將連加、連減、加減混合、連乘法、連除法及乘除混合結合起來解決問題，題中的數(shù)量關系更加復雜[10]?？梢姡瑧妙}之所以被劃分在難點范圍內(nèi)，因其具有考驗學生綜合解題的能力，包括審題能力、推理能力、計算能力等。脫中菲認為：“從‘面積概念的理解這一維度來看，學生對面積理解更多地停留在‘對公式的記憶這一層面，而沒有真正將‘面積的理解與‘面的大小聯(lián)系?！盵11]以往“面積”單元教學中，存在偏重面積公式計算和應用的傾向，而對于面積概念的理解以及面積和面積單位之間的關系的理解則關注不足。付建慧指出：“由于分數(shù)概念本身的復雜性和抽象性，使其成為小學階段相對難理解而又非常重要的一部分?！盵12]分數(shù)的復雜性和抽象性主要體現(xiàn)在，學生在生活中缺乏與分數(shù)相關的文化體驗、四種運算結合加大運算難度、書寫及計算難度遠高于整數(shù)、須經(jīng)約分的知識點過度等。但歸根結底恰如章勤瓊所言：“學生分數(shù)學習的困難主要是由于對分數(shù)意義沒有理解或者理解得不全面?！盵13]另外，倍數(shù)與因數(shù)、小數(shù)、廣角集合、重量等也不同程度地被劃分為難點。

通過對文獻研究發(fā)現(xiàn)，針對小學數(shù)學難點構成的研究相對較少，換言之，很多教師對難點的概念和內(nèi)涵并沒有做深入的研究，也沒有形成科學的理性認識。在難點構成的分類方面，基本以教材內(nèi)容及學生思維水平為出發(fā)點，認為二者的不完備及其相互作用間所產(chǎn)生的沖突，構成了學生數(shù)學學習中的難點。在對具體難點的劃分上，筆者認為應多開展此類研究以尋找其差異性。

三、難點成因的研究

內(nèi)因方面，呂佳認為：“小學生的思維處于形象思維向抽象思維過渡。有的學生在學習時，由于認知的不完整，在重難點的自主建構時就會出現(xiàn)以偏概全的現(xiàn)象?！盵14]該觀點強調(diào)了小學生的思維特點，即由形象思維到抽象思維的過渡是難點形成的內(nèi)在原因。洪亮將教學難點的內(nèi)因歸結為以下幾點：基礎知識與技能不牢；習慣定向和思維定勢引起的負遷移；思維品質(zhì)差，思維能力弱；非認知因素的影響[15]。該觀點具有一定代表性，從知識儲備情況、思維及習慣等方面揭示了作為主體的學生產(chǎn)生學習困難點的主觀原因，并提出具有針對性的解決策略。筆者認為學生知識基礎和接受能力是難點形成的重要因素?；A扎實、知識面較廣，解決問題就相對容易一些，相反的就難一些。難點的存在跟一個人的稟賦也有關系，反應敏捷的，解決問題就快些，反應稍慢的就難一些。所以確定難點有個前提，這就需要教師了解學生，了解學生原有的知識、技能、興趣、需要、思想狀況、學習習慣等。

外因方面，曹平將教學難點的外因歸結為以下幾點：知識結構的復雜性、知識本質(zhì)的隱含性、思維過程的抽象性、教學要求的隨意性、教學方法的刻板化[16]。該觀點著眼于知識本身及教師教學過程，指出知識的結構、本質(zhì)及其思維要求具有復雜性、抽象性等特點，并認為教師的教學要求及教學方法有待改善。尹銘指出：“由于數(shù)學學科本身的嚴密性和簡潔性，解答過程的完整性、邏輯性強等特點，容易讓學生在學習過程中感到枯燥無味?！盵17]該觀點強調(diào)數(shù)學學科的固有特點致使學生學習興趣降低。

綜上，小學生數(shù)學學習困難的成因主要有內(nèi)因和外因兩個維度。其中，內(nèi)因強調(diào)學生的思維發(fā)展水平、知識掌握程度、習慣定向等方面存在不足；外因強調(diào)知識的結構、本質(zhì)及思維要求，以及教師教學過程中存在的缺陷。筆者認為，應該對學生進行針對性的實踐調(diào)查，了解學生自身學習困難的真實原因，同時對學生的文化體驗進行深層次探究，了解學生所達到的文化層面。目前，對難點內(nèi)因的研究多從理論出發(fā)，真正對學生進行客觀調(diào)查的文獻較少。另外，外因部分的研究應包含家庭、學校、社會等多方面的綜合作用。

四、解決策略的研究

1激發(fā)學習興趣。陳木發(fā)認為編制歌訣，能夠在提高學生學習興趣的基礎上方便學生記憶。如在畫角的教學中，將步驟編制為歌訣“一畫線，二重合，三找點，四連線”[18]。在小學數(shù)學學習過程中，一些必須要接觸并掌握的數(shù)學知識是抽象不易理解的，這給思維仍處于具體形象化階段的小學生們在掌握知識點上帶來較大挑戰(zhàn)。在教學中，教師應該多給學生操作學具、用嘴表述的機會，使其加深對數(shù)學的直觀理解，從而提高對數(shù)學學習的興趣。譚海霞認為，“興趣是最好的老師”， 并以盛有不同容量水的量杯組成可以敲出音樂的“杯琴”為例，在愉快氛圍中教學生了解計量單位的知識[19]。教師要在教學過程中逐步培養(yǎng)學生對數(shù)學學習的興趣。有了興趣作支撐，即使遇到再復雜的問題，學生也能夠在興趣的驅(qū)使下積極思考。楊秀麗認為，小學生最大的特點就是好奇心強，對于游戲的參與程度高，適當靈活的游戲形式可將枯燥無味的數(shù)字知識轉化為生動有趣參與程度高的教學活動[20]。采用一定方法進行教學，學生本身的教學積極性被調(diào)動起來，自然而然就會對知識的內(nèi)容產(chǎn)生一定的興趣，便于其在游戲中獲得生活或榮譽，這樣能夠保證課堂效率達到一個較高的水平，同時對于縮短學生與教師之間的距離感也有很好的作用。

2.創(chuàng)設學習情境?！读x務教育數(shù)學課程標準》指出：數(shù)學源自生活，又回歸生活。王慶認為：“如果根據(jù)教學內(nèi)容運用多媒體教學，通過多彩逼真的畫面，情感豐富的音響，再加上教師的適當講解，就能使抽象、枯燥的知識原理變得通俗易懂?！盵21]學生正處于由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡時期，其思維帶有很強的具體形象性。教師要善于盡可能地利用信息技術把抽象的數(shù)學知識還原成學生看得見、摸得著、聽得到的生活情境，讓學生在實踐體驗中理解和掌握數(shù)學知識。[22]俞丹清指出：“在學生遇到學習難點時，教師要有意識地將教材內(nèi)容與學生的生活實際緊密聯(lián)系起來，從學生平時生活中看得見、摸得著、想得到的事物入手，積極挖掘生活中的數(shù)學進行教學?！盵23]該觀點有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力和創(chuàng)新能力，提高學生的抽象思維能力。生活課程資源的合理運用，能夠減少學生對新知的陌生感，使知識與生活緊密相連。部分教師強調(diào)將信息技術應用于小學數(shù)學教學，從而促進學習情境的創(chuàng)設。

3采用轉化策略。張龍海、李安英對轉化策略做了概念闡述?！稗D化，是指解決數(shù)學問題時，把一些直接求解較困難的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題（較熟悉的問題）”[24]。孫炳鋒認為，教師需要不斷將轉化的方法灌輸給學生，幫助學生通過已有的知識經(jīng)驗，化繁為簡，化曲為直，力爭做到“化新為舊”，羅列知識點的相關聯(lián)系形成認知體系[25]。一個新知識往往是舊知識的發(fā)展和結果。在教學中，教師如能做到“化新為舊”，抓住知識間的“縱橫聯(lián)系”，幫助學生形成知識網(wǎng)絡，教師應逐步教給學生一些轉化的方法，使他們能用轉化的觀點去學習新知識、分析新問題，最終達到融會貫通。

4.設置針對練習。胡惠明指出：“通過精心設計、組織與教學內(nèi)容相匹配的形式多樣的練習，如連線選擇、填表對比、疑點判斷、主觀性題等，也可以達到突破教學難點的目的。”[26]在數(shù)學課堂教學中，教師應針對數(shù)學的學習知識點，運用恰當?shù)慕忸}難點突破的引導策略，讓學生通過各種練習題的訓練，掌握解題方法，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。齊連翠認為，小學數(shù)學教學需結合小學生的學習能力和學習特點，必須把講與練結合起來。教師要親自設計具有綜合性和橋梁性的習題，促進學生形成知識體系，加深對重難點的消化吸收。此外，要設計對比性強的試題來掌握重點，突破難點[27]。不熟則難，熟能生巧。數(shù)學學習困難點的轉化需以大量練習為手段。另外，該觀點強調(diào)習題的針對性，對教師的專業(yè)水平有較高要求。

對學生學習困難的解決策略多以激發(fā)學習興趣、創(chuàng)設學習情境、采用轉化策略、設置針對練習四部分為主。數(shù)學學習難點的轉化需以培養(yǎng)學生學習興趣為先導，創(chuàng)設學習情境為方法，采用轉化策略為關鍵，設置針對練習以鞏固。另外，可根據(jù)特定學情采取數(shù)形結合、動手操作、運用比較等策略加以輔助。

對以往研究工作進行梳理分析發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)對數(shù)學教學難點的研究已有較多成果，多從難點的成因分析、知識本身、突破對策等方面入手，但對難點的確定依據(jù)、難點的構成、調(diào)查研究鮮有涉及。在今后的研究中，我國學者應多關注學生的真實需求，從學生角度開展相關研究。

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Abstract： Mathematics is a key discipline， which is the basis of students to learn other subjects.Reasonably and accurately？mastering the difficulties of learning mathematics is the basis and foundation of enhancing the students leaning interests and classroom teaching efficiency.This thesis， from the teacher perspective， studies the four aspects， which is the basis of confirming mathematical difficulties in primary school， the form and reason of difficulties， and the solving strategy of it， to summarize the problems that teachers should more study the learning difficulties from the teaching perspective， lack of studying to take students for the research and the inadequate classification of difficulty level.

Key words： teacher； difficulty in the mathematics teaching of primary school； review

（責任編輯：平和光）