自旋軌道耦合驅(qū)動下二維質(zhì)量不相等費米氣體的拓撲相

張鵬,梁軍軍

(山西大學 理論物理研究所,山西 太原 030006)

自旋軌道耦合驅(qū)動下二維質(zhì)量不相等費米氣體的拓撲相

張鵬,梁軍軍*

(山西大學 理論物理研究所,山西 太原 030006)

用平均場理論研究了二維質(zhì)量不相等費米氣系統(tǒng)的零溫特性,該系統(tǒng)具有equal-Rashba-Dresselhaus (ERD)型自旋軌道耦合作用和Zeeman場。在該系統(tǒng)中存在三種不同的超流相(US-0相、US-1相、US-2相),我們通過數(shù)值分析能隙方程和粒子數(shù)方程組成的自洽方程組,發(fā)現(xiàn)二維費米氣系統(tǒng)的質(zhì)量相差越大,Zeeman場對超流序參量Δ的抑制作用就會越強。在弱吸引相互作用區(qū)域,隨著自旋軌道耦合強度的增加,US-2拓撲超流相會逐漸收縮。自旋軌道耦合強度一定情況下,質(zhì)量比0<λ≤1時,只有在弱吸引相互作用區(qū)域存在US-2拓撲超流相;當質(zhì)量比λ>1時,在弱相互作用區(qū)域和強相互作用區(qū)域都存在US-2拓撲超流相。

費米氣體;自旋軌道耦合(SOC);質(zhì)量不相等;拓撲相

0 引言

近年來,實驗上利用拉曼光來耦合費米氣體超精細態(tài)從而可以模擬人工規(guī)范場,由此引起人們對冷原子中拓撲相變理論的廣泛關(guān)注。人們在理論上提出了利用冷原子氣體來實現(xiàn)自旋軌道耦合的多種方案,但在實驗上目前只實現(xiàn)了等量的Rashba-Dresselhaus自旋軌道耦合。受到該實驗的啟發(fā),越來越多的人開始研究在自旋軌道耦合、Zeeman場以及原子間相互作用等可調(diào)參數(shù)驅(qū)動下冷原子的低溫量子特性[1-8，11-14]。

平均場理論揭示了該Zeeman場存在時自旋軌道耦合會引起非拓撲超流相到拓撲超流相的量子相變[4]。自旋軌道耦合可以增加超流序參量的配對,而Zeeman場可以抑制超流序參量的配對。本文主要考慮兩組分的費米氣體約化質(zhì)量不同的情況。通過把等質(zhì)量兩組分費米氣載入與自旋相關(guān)的光學晶格,就使得不同組分具有不同的約化質(zhì)量[9]。下面我們用平均場理論來討論各種拓撲超流相的量子相變。

1 平均場理論

考慮一個二維質(zhì)量不相等的費米冷原子氣系統(tǒng),其同時具有equal-Rashba-Dresselhaus (ERD)型自旋軌道耦合作用和沿著z方向的Zeeman場。這種系統(tǒng)的Hamilton量有如下表示形式:

(1)

(2)

(3)

由?Ω/?Δ=0和N=-?Ω/?μ,可以得到能隙方程和粒子數(shù)方程:

(4)

(5)

得到由能隙方程和粒子數(shù)方程組成的自洽方程組后,便可以通過數(shù)值求解來分析Zeeman場對超流序參量Δ的影響,接下來我們討論拓撲超流相的分類條件。

2 拓撲超流相的分類

Fig.1 Three kinds of topologically distinct superfluid (US) phases圖1 三種不同的拓撲超流相

利用上面拓撲超流相的分類條件,就可以通過數(shù)值求解自洽方程組來研究不同質(zhì)量比隨Zeeman場變化的零溫相圖,以及某一質(zhì)量比下兩體束縛能隨Zeeman場變化的零溫相圖。

3 數(shù)值計算

為了計算的方便,我們將對前面的能隙方程(4)和粒子數(shù)方程(5)組成的自洽方程組進行無量綱化。需做以下變換

(6)

(7)

Fig.2 Order parameter Δ as a function of the Zeeman field h at the ERD SOC αkF/EF=1.0 for different values of the two-body binding energy. (a) mass radio λ=1.0, (b) mass radio λ=0.15(a)質(zhì)量比λ=1.0,(b)質(zhì)量比λ=0.15圖2 ERD自旋軌道耦合強度為αkF/EF=1.0,兩體束縛能取不同的值時,序參量Δ隨Zeeman場h的變化關(guān)系

首先通過數(shù)值求解自洽方程組來研究質(zhì)量不相等時,Zeeman場對超流序參量Δ的影響。從圖2(a)、(b)兩圖的比較中我們發(fā)現(xiàn)二維費米氣系統(tǒng)的質(zhì)量相差越大(質(zhì)量比越小),Zeeman場對超流序參量Δ的抑制作用就會越強。只要給定一個兩體束縛能的值,就會有一個Zeeman場的臨界值存在,在此處發(fā)生一級相變。圖4(b)中箭頭表示一級相變的位置。

Fig.3 Phase diagrams of a 2-D Fermi gas with two-body binding energy EB/EF=0.2 at zero temperature.SOC αkF/EF=1.0, Zeeman field h versus reduced mass radio m+/m-自旋軌道耦合αkF/EF=1. 0時,Zeeman場h隨約化質(zhì)量比m+/m-變化的相圖圖3 兩體束縛能為EB/EF=0.2的二維費米氣零溫相圖

接著數(shù)值求解自洽方程組并結(jié)合拓撲超流相變的條件,得到不同約化質(zhì)量比隨Zeeman場變化的零溫相圖。這里需要強調(diào)的是質(zhì)量比λ=m↑/m↓,其取值范圍為λ>0。為了研究的方便我們將無窮區(qū)間轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間,用約化質(zhì)量比t來替代質(zhì)量比λ。由m±=m↑m↓/(m↑±m(xù)↓),t=m+/m-,可以得到約化質(zhì)量比的范圍-1

圖3中可以看出兩體束縛能為EB/EF=0.2,即在弱吸引相互作用下,系統(tǒng)在絕大部分范圍內(nèi)都經(jīng)歷了兩次超流相變:US-0→US-2→US-1,很小范圍內(nèi)會發(fā)生US-0→US-1相變。通過增加自旋軌道耦合強度,還發(fā)現(xiàn)隨著自旋軌道耦合強度的增加,US-2拓撲超流相會逐漸收縮。

前面討論了不同約化質(zhì)量比隨Zeeman場變化的相圖。接下來要研究約化質(zhì)量比為t=0.739與t=-0.739費米氣的兩體束縛能隨Zeeman場變化的相圖。

圖4(a)中當約化質(zhì)量比t=0.739時,只有在弱吸引相互作用區(qū)域存在US-2拓撲超流相。t→0時,US-2相在弱吸引相互作用區(qū)域范圍會變大,t→1時,US-2相在弱吸引相互作用區(qū)域范圍會變小。圖(b)中當約化質(zhì)量比t=-0.739時,在弱相互作用區(qū)域和強相互作用區(qū)域都會存在US-2拓撲超流相。t<0時,US-2相開始在強吸引相互作用區(qū)域出現(xiàn),t→-1時,US-2相在強吸引相互作用區(qū)域范圍會變大。因此,我們發(fā)現(xiàn)當約化質(zhì)量比0≤t<1時,只有在弱吸引相互作用區(qū)域存在US-2拓撲超流相;當-1

(a) Reduced mass radio t=0.739, Zeeman field h versus binding energy EB(b) Reduced mass radio t=-0.739, Zeeman field h versus binding energy EBFig.4 Phase diagrams of a 2-D Fermi gas with ERD SOC αkF/EF=1.0 at zero temperature(a)約化質(zhì)量比t=0.739,Zeeman場h隨束縛能EB的變化關(guān)系(b)約化質(zhì)量比t=-0.739,Zeeman場h隨束縛能EB的變化關(guān)系圖4 ERD自旋軌道耦合強度為αkF/EF=1.0的二維費米氣零溫相圖

4 結(jié)論

本文應(yīng)用平均場理論研究二維質(zhì)量不相等的ERD型SOC費米氣的零溫特性,我們發(fā)現(xiàn)二維費米氣系統(tǒng)的質(zhì)量相差越大,Zeeman場對超流序參量Δ的抑制作用就會越強,只要給定一個兩體束縛能的值,就會有一個Zeeman場的臨界值存在,此處為一級相變點。在弱吸引相互作用區(qū)域,隨著自旋軌道耦合強度的增加,US-2拓撲超流相會逐漸收縮。自旋軌道耦合強度一定的情況下,當質(zhì)量比0<λ≤1時,只有在弱吸引相互作用區(qū)域存在US-2拓撲超流相;當質(zhì)量比λ>1時,在弱相互作用區(qū)域和強相互作用區(qū)域都會存在US-2拓撲超流相。

[1] Devreese J P A,Tempere J,Melo C A R S D.Quantum Phase Transitions and Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Temperature in a Two-dimensional Spin-orbit-coupled Fermi Gas[J].PhysicalReviewA,2015,92(4).DOI:10.1103/PhysRevA.92.043618.

[2] Shi H,Rosenberg P,Chiesa S,etal.Rashba Spin-Orbit Coupling,Strong Interactions,and the BCS-BEC Crossover in the Ground State of the Two-Dimensional Fermi Gas[J].PhysicalReviewLetters,2016,117(4).DOI:10. 1103/PhysRevLett.117.040401.

[3] Chen G,Gong M,Zhang C.BCS-BEC Crossover in Spin-orbit Coupled Two-dimensional Fermi Gases[J].PhysicalReviewA,2011,85(1):145-149.DOI:10.1103/PhysRevA.85.013601.

[4] Wu F,Guo G C,Zhang W,etal.Unconventional Superfluid in a Two-dimensional Fermi Gas with Anisotropic Spin-orbit Coupling and Zeeman Fields[J].PhysicalReviewLetters,2013,110(11):1504-1509.DOI:10.1103/PhysRevLett.110.110401.

[5] Yang X,Wan S.Phase Diagram of a Uniform Two-dimensional Fermi Gas with Spin-orbit Coupling[J].PhysicalReviewA,2011,85(85):5809-5816.DOI:10.1103/PhysRevA.85.023633.

[6] Gong M,Tewari S,Zhang C.BCS-BEC Crossover and Topological Phase Transition in 3D Spin-orbit Coupled Degenerate Fermi Gases[J].PhysicalReviewLetters,2011,107(19):3096-3100.DOI:10.1103/PhysRevLett.107.195303.

[7] Jiang L,Liu X J,Hu H,etal.Rashba Spin-orbit Coupled Atomic Fermi Gases[J].PhysicalReviewA,2011,84(6):1872-1874.DOI:10.1103/PhysRevA.84.063618.

[8] Seo K,Han L,Ca S D M.Emergence of Majorana and Dirac Particles in Ultracold Fermions Via Tunable Interactions,Spin-orbit Effects,and Zeeman Fields[J].PhysicalReviewLetters,2012,109(10):2523-2527.DOI:10.1103/PhysRevLett.109.105303.

[9] Iskin M,Subasi A L.Mass-imbalanced Fermi Gases with Spin-orbit Coupling[J].PhysicalReviewA,2011,84(4):1504-1512.DOI:10.1103/PhysRevA.84.041610.

[10] Iskin M,Subasi A L.Stability of Spin-orbit Coupled Fermi Gases with Population Imbalance[J].PhysicalReviewLetters,2011,107(5):6629-6636.DOI:10.1103/PhysRevLett.107.050402.

[11] Tewari S,Stanescu T D,Sau J D,etal.Topologically Non-trivial Superconductivity in Spin-orbit Coupled Systems:Bulk Phases and Quantum Phase Transitions[J].NewJournalofPhysics,2010,13(6):543-586.DOI:10.1088/1367-2630/13/6/065004.

[12] He L,Lv H,Cao G,etal.Quantum Fluctuations in the BCS-BEC Crossover of Two-dimensional Fermi Gases[J].2015,92(2):023620.DOI:10.1103/PhysRevA.92.023620.

[13] Iskin M,Subasi A L.Topological Superfluid Phases of an Atomic Fermi Gas with in- and Out-of-Plane Zeeman Fields and Equal Rashba-Dresselhaus Spin-orbit Coupling[J].PhysicalReviewA,2012,87(6):944-948.DOI:10.1103/PhysRevA.87.063627.

[14] Hu H,Liu X J.Mean Field Phase Diagrams of Imbalanced Fermi Gases Near a Feshbach Resonance[J].PhysicalReviewA,2006,73(5):180-180.DOI:10.1103/PhysRevA.73.051603.

Topological Phase in a Two-dimensional Mass-imbalanced Fermi Gases Driven by Spin-orbit Coupling

ZHANG Peng,LIANG Junjun*

(Institute of Theoretical Physics, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

We use the mean-field theory to investigate zero temperature characteristic in a two-dimensional (2-D) mass-imbalanced Fermi gases with equal-Rashba-Dresselhaus (ERD) spin-orbit coupling (SOC) and Zeeman field. The system exists three topologically distinct superfluid phases (US-0 phase, US-1 phase, US-2 phase). Through analying the gap and atom number equations numerically, we find that superfluid order parameter can be suppressed more stronger by a Zeeman field as the mass difference increases. With increasing SOC, the weak atractive interaction region of the US-2 phase shrinks. When there is a finite SOC of the ERD type, 0<λ<1,only in the weak atractive interaction region US-2 topologically superfluid phases exists;λ>1,in weak and strong atractive interaction region US-2 topologically superfluid phases exists.

Fermi gases;spin-orbit coupling(SOC);mass-imbalanced;topological phase

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.015

2016-11-17；

2017-01-10

國家自然科學基金(11005071)

張鵬(1988-),男,太原人,在讀碩士,研究方向:超冷費米氣體,E-mail:zhpeng2016phy@163.com

*通信作者：梁軍軍(LIANG Junjun),E-mail:liangjj@sxu.edu.cn

O413

A

0253-2395(2017)02-0300-05