兒童“數(shù)運(yùn)算”核心經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)與發(fā)展的特點(diǎn)及教師的支持性策略

田芳

數(shù)運(yùn)算能力是幼兒數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的重要組成部分，也是幼兒深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)體系以及解決日常問題情境的基礎(chǔ)能力之一，主要反映的是幼兒在數(shù)概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上對數(shù)和數(shù)之間組合與分解以及數(shù)量變化的理解?！?～6歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》明確提出，5～6歲幼兒應(yīng)“借助實(shí)際情境和操作（如合并或拿?。├斫狻雍汀疁p的實(shí)際意義”“能通過實(shí)物操作或其他方法進(jìn)行10以內(nèi)加減運(yùn)算”。其實(shí)，幼兒在日常生活中很早就開始接觸有關(guān)數(shù)運(yùn)算的問題情境，雖然他們還不會(huì)運(yùn)算，不理解數(shù)字符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)，但這些真實(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)是他們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)。

一、兒童“數(shù)運(yùn)算”核心經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)與發(fā)展的特點(diǎn)

幼兒數(shù)運(yùn)算能力的發(fā)展總的來說經(jīng)歷了從具體到抽象的過程，體現(xiàn)了其思維抽象性的不斷發(fā)展。綜合國內(nèi)外有關(guān)研究，幼兒數(shù)運(yùn)算能力發(fā)展具有以下兩方面的特點(diǎn)。〔1〕

1.數(shù)運(yùn)算能力從動(dòng)作水平逐步發(fā)展到概念水平

幼兒數(shù)運(yùn)算能力的發(fā)展是漸進(jìn)的。幼兒早期在生活中就已能解決簡單的數(shù)量問題，這可以看作是幼兒數(shù)運(yùn)算能力發(fā)展的初級(jí)階段，但這還只是建立在實(shí)物情境基礎(chǔ)上的操作，幼兒并沒有形成形象化、穩(wěn)定的認(rèn)知。一般來說，幼兒的數(shù)運(yùn)算能力要經(jīng)歷從動(dòng)作水平的加減到表象水平的加減再到概念水平的加減發(fā)展過程。

動(dòng)作水平的加減是指幼兒以實(shí)物或圖片等直觀材料為工具，借助合并、分開等動(dòng)作進(jìn)行加減運(yùn)算。這也可以說是具體水平的加減，因?yàn)橛變盒枰柚唧w的實(shí)物或圖片，通過具體的擺弄、操作才能進(jìn)行加減的運(yùn)算。

表象水平的加減是指幼兒逐漸能夠不借助直觀的動(dòng)作，在頭腦中依靠對形象化物體的再現(xiàn)、物體的表象進(jìn)行加減運(yùn)算。在這一階段，幼兒開始往往要借助圖片等具體形象進(jìn)行運(yùn)算，然后才能逐漸脫離具體形象，以生活中熟悉的情節(jié)喚起頭腦中的表象，從而理解數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)用表象進(jìn)行加減是幼兒加減學(xué)習(xí)的主要手段，最典型的就是口述應(yīng)用題?？谑鰬?yīng)用題以表象為依托，幫助幼兒理解題意、數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算符號(hào)，選擇正確的方法進(jìn)行運(yùn)算。例如，告訴幼兒“盤子里有2塊餅干，老師又放進(jìn)了3塊餅干，問現(xiàn)在盤子里有幾塊餅干”，幼兒就能通過回憶生活經(jīng)驗(yàn)和在頭腦中再現(xiàn)物體形象進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算。

要依靠抽象的符號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算則要達(dá)到概念水平。概念水平的加減也就是抽象水平的加減，是指幼兒不需要操作實(shí)物或依托表象，就能直接運(yùn)用抽象的數(shù)概念進(jìn)行加減運(yùn)算。例如，口述或呈現(xiàn)加法算式“4+1=？”，這個(gè)算式已經(jīng)脫離了可以憑借的直觀的實(shí)際形象，幼兒只能憑借抽象的數(shù)字來進(jìn)行運(yùn)算，這種直接進(jìn)行口頭或書面的加減算式的運(yùn)算是最高水平的加減運(yùn)算。

2.數(shù)運(yùn)算方法從逐一加減發(fā)展到按數(shù)群加減

幼兒進(jìn)行加減運(yùn)算的方法是從逐一加減發(fā)展到按數(shù)群加減的，這體現(xiàn)了幼兒思維抽象性的逐步提高。

逐一加減，就是用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行加減運(yùn)算，這種方法表現(xiàn)在加法運(yùn)算上往往是將兩組物體合并在一起，再逐一計(jì)數(shù)它們一共是幾個(gè)，或者以第一個(gè)加數(shù)的值為起點(diǎn)，再接著計(jì)數(shù)第二個(gè)加數(shù)的物體，直到數(shù)完為止。例如，面對“3塊餅干加上2塊餅干”這一加法運(yùn)算，有的幼兒使用的策略是先合并，再計(jì)數(shù)1、2、3、4、5，得出一共是5塊餅干；有的幼兒采用的策略是以3為起點(diǎn)，接著計(jì)數(shù)4、5，得出一共有5塊餅干。逐一加減這種方法表現(xiàn)在減法運(yùn)算上則是先將要減去的物體拿走，再逐一計(jì)數(shù)剩下的物體，或從總數(shù)中逐一倒著數(shù)，數(shù)到要減去的數(shù)量為止。例如，要解決“6塊餅干吃掉了4塊，還剩幾塊”的問題時(shí)，有的幼兒會(huì)直接拿開4塊餅干，再點(diǎn)數(shù)剩下的餅干：1、2，得出還剩2塊；有的幼兒會(huì)從6開始接著倒數(shù)：5、4、3、2，得出還剩2塊餅干。顯然，上述例子中幼兒都是通過計(jì)數(shù)的策略來進(jìn)行運(yùn)算的，其數(shù)運(yùn)算還處于初級(jí)水平。

按數(shù)群加減，是指幼兒能把數(shù)作為一個(gè)整體，從抽象的數(shù)群出發(fā)進(jìn)行數(shù)群間的加減運(yùn)算。這是以幼兒掌握數(shù)的組成與分解為基礎(chǔ)的，幼兒要在掌握10以內(nèi)數(shù)的組成與分解后才能逐步達(dá)到按數(shù)群加減的水平。例如，要解決“5+2等于幾”或“5-2等于幾”的問題時(shí)，幼兒如果能夠回憶起5和2合起來是7或5可以分成2和3的經(jīng)驗(yàn)，就有利于按數(shù)群進(jìn)行加減運(yùn)算。

一般來說，幼兒4歲以前基本上不會(huì)加減運(yùn)算，不會(huì)自己動(dòng)手將實(shí)物分開或合并進(jìn)行加減運(yùn)算，但能解答一些與生活有密切聯(lián)系的應(yīng)用題。4歲以后，幼兒能借助動(dòng)作將實(shí)物合并或拿開進(jìn)行加減運(yùn)算，這種運(yùn)算不能脫離具體的實(shí)物，而且運(yùn)算的方法是逐一計(jì)數(shù)，即通過重新點(diǎn)數(shù)總數(shù)或剩余數(shù)得出結(jié)果。5歲以后，幼兒能夠利用表象進(jìn)行加減運(yùn)算，在運(yùn)算方法上出現(xiàn)了逐一加減。幼兒能把順著數(shù)和倒著數(shù)的方法運(yùn)用到加減運(yùn)算中。幼兒在運(yùn)用這種方法學(xué)習(xí)加法時(shí)，大數(shù)加小數(shù)比小數(shù)加大數(shù)更容易掌握；在學(xué)習(xí)減法時(shí)，減數(shù)小比減數(shù)大更容易掌握。5歲半以后，隨著數(shù)概念的發(fā)展，特別是在學(xué)習(xí)了數(shù)的組成與分解之后，幼兒不僅能運(yùn)用數(shù)的組成與分解知識(shí)進(jìn)行加減運(yùn)算，運(yùn)用表象解答口頭應(yīng)用題的能力也得到進(jìn)一步提高，并擺脫逐一加減的水平，達(dá)到按數(shù)群運(yùn)算的水平。幼兒運(yùn)用加減運(yùn)算方法上的進(jìn)步，實(shí)質(zhì)上也反映了幼兒在加減運(yùn)算中思維抽象性的發(fā)展。

二、教師支持兒童獲得“數(shù)運(yùn)算”核心經(jīng)驗(yàn)的策略

1.通過實(shí)物操作和情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)幼兒用數(shù)運(yùn)算方法解決問題

關(guān)于數(shù)運(yùn)算的問題，許多研究者都主張采用“解決問題”的教學(xué)方式（Carpenter，Care&Kouba，1990； Nelson

&Kirkpatrick，1988）。所謂“解決問題”的教學(xué)方式，是指引用生活實(shí)例或設(shè)計(jì)仿真實(shí)世界的情境問題（如，亮亮收集了6輛小汽車模型，他還要收集幾輛小汽車模型，才能和聰聰一樣總共有10輛），容許幼兒運(yùn)用各種不同方式（如操作實(shí)物、演示、扳手指、在紙上畫圖作記號(hào)、討論、運(yùn)用計(jì)數(shù)技巧等）解答問題，以充分探索加減概念，在幼兒充分理解后，才引入抽象的符號(hào)“+”“-”“=”?！?〕幼兒早期對數(shù)運(yùn)算概念的探索并不局限于加、減，有時(shí)甚至?xí)婕俺?、除，這時(shí)重要的是讓幼兒在生活中或?qū)嶋H情境中進(jìn)行操作，解決問題。例如，在餐點(diǎn)時(shí)間，每個(gè)小組分到8塊點(diǎn)心，一個(gè)小組4人，每人可以分到幾塊？這其中實(shí)際上涉及了除法問題。3～6歲幼兒并不了解除法，但很多幼兒卻能在實(shí)際情境中進(jìn)行模擬分配，這就把除法與真實(shí)情境聯(lián)系起來了，這樣的數(shù)運(yùn)算就非常有意義。

在幼兒只學(xué)會(huì)簡單的計(jì)數(shù)或在幼兒還沒有完全掌握計(jì)數(shù)策略，就直接引進(jìn)數(shù)運(yùn)算，這種做法是不符合幼兒數(shù)認(rèn)知發(fā)展的特點(diǎn)的。在學(xué)習(xí)加減運(yùn)算之前，教師必須讓幼兒充分了解數(shù)字間的關(guān)系，為加減運(yùn)算做好鋪墊，否則幼兒靠記憶策略完成運(yùn)算是沒有意義的。因此，除了集體數(shù)學(xué)活動(dòng)外，教師更需要在幼兒的生活和游戲中滲透數(shù)運(yùn)算，讓幼兒有大量操作的機(jī)會(huì)，加深理解。此外，餐點(diǎn)時(shí)間分點(diǎn)心等也是幼兒學(xué)習(xí)數(shù)的組成與分解的好時(shí)機(jī)；帶有圖案、點(diǎn)子、數(shù)字的卡片是很好的玩教具，可以反復(fù)利用，既體現(xiàn)了數(shù)的多元表征，又可讓幼兒在游戲中體驗(yàn)數(shù)字關(guān)系。

2.基于多元表征的理念，以多種形式促進(jìn)幼兒數(shù)運(yùn)算能力的發(fā)展

幼兒加減運(yùn)算能力的發(fā)展有三個(gè)階段的水平：即動(dòng)作水平、表象水平、概念水平，符合幼兒從具體到抽象的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。相應(yīng)地，在有關(guān)數(shù)運(yùn)算的集體教學(xué)活動(dòng)中，教師通常會(huì)根據(jù)幼兒年齡的增長和數(shù)運(yùn)算水平的提高，先后實(shí)施實(shí)物加減教學(xué)、口述應(yīng)用題教學(xué)和列式運(yùn)算教學(xué)。這三種教學(xué)形式側(cè)重的數(shù)學(xué)表征形式各不相同，實(shí)物加減教學(xué)側(cè)重的是實(shí)物情境表征和教具模型表征，口述應(yīng)用題教學(xué)側(cè)重的是口語表征，列式運(yùn)算教學(xué)側(cè)重的是符號(hào)表征和圖形圖表表征。在數(shù)運(yùn)算教學(xué)中，這三種教學(xué)形式在很多情況下往往會(huì)被割裂開來分別呈現(xiàn)，通常最后會(huì)以能否進(jìn)行列式運(yùn)算來衡量幼兒的數(shù)運(yùn)算能力。幼兒數(shù)運(yùn)算能力的發(fā)展是一個(gè)復(fù)雜的螺旋式上升的過程，根據(jù)多元表征的理念，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)僅僅以幼兒能夠認(rèn)知、操作數(shù)學(xué)符號(hào)為目的。幼兒如果缺乏實(shí)物情境表征、動(dòng)作表征、口語表征等形式的表征經(jīng)驗(yàn)，即使能進(jìn)行列式運(yùn)算，也可能只是機(jī)械記憶數(shù)學(xué)符號(hào)，而并不理解算式所表示的含義。因此，衡量幼兒數(shù)運(yùn)算發(fā)展水平的關(guān)鍵在于：能夠感知與發(fā)現(xiàn)隱含在情境中的數(shù)運(yùn)算問題，能夠?qū)?shù)運(yùn)算進(jìn)行多種形式的表征，以及能夠靈活地進(jìn)行數(shù)運(yùn)算的多種表征形式之間的聯(lián)系與遷移。

教師在設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)，可以基于多元表征的理念，以多種形式促進(jìn)幼兒對數(shù)運(yùn)算的理解。例如，基于實(shí)物表征、動(dòng)作表征和口語表征，教師可以提供多種材料以融合實(shí)物加減教學(xué)和口述應(yīng)用題教學(xué)，讓幼兒初步感知具體情境中的數(shù)運(yùn)算問題。隨著幼兒對數(shù)運(yùn)算的理解的加深，教師可以在實(shí)物加減教學(xué)和口述應(yīng)用題教學(xué)的基礎(chǔ)上引入列式運(yùn)算教學(xué)，鼓勵(lì)幼兒運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)來表征故事情節(jié)中的數(shù)運(yùn)算，培養(yǎng)幼兒的符號(hào)表征能力，或引導(dǎo)幼兒根據(jù)算式創(chuàng)編故事及口述應(yīng)用題，以培養(yǎng)幼兒雙向轉(zhuǎn)化的表征能力。到了大班下學(xué)期，當(dāng)幼兒抽象水平的數(shù)運(yùn)算能力逐漸增強(qiáng)時(shí)，教師可引導(dǎo)幼兒根據(jù)算式創(chuàng)編口述應(yīng)用題，這本質(zhì)上是一個(gè)從實(shí)物情境表征向符號(hào)表征轉(zhuǎn)化的反操作，是抽象到具體的轉(zhuǎn)化，一方面能夠培養(yǎng)幼兒思維的逆向性和靈活性，另一方面也能促進(jìn)幼兒在同一個(gè)數(shù)運(yùn)算的不同表征形式之間靈活地進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到使幼兒真正理解數(shù)運(yùn)算的目的。例如，在表演故事《姜餅人》的過程中，起初，教師可引導(dǎo)幼兒發(fā)現(xiàn)和歸納出人數(shù)增加時(shí)數(shù)量變化的算式。在幼兒熟悉故事后，教師就可以不借助故事本身，讓幼兒嘗試看著算式創(chuàng)編故事情境，即從實(shí)物表征向符號(hào)表征轉(zhuǎn)換，再由符號(hào)表征轉(zhuǎn)化為故事情境，從具體到抽象，再由抽象逆向轉(zhuǎn)化到具體情境，建構(gòu)起不同表征形式之間的聯(lián)系。多元表征是幼兒學(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算的有效途徑，也是幼兒真正理解數(shù)運(yùn)算的反映。

3.借助數(shù)的組成和口述應(yīng)用題的方法，促進(jìn)幼兒抽象數(shù)運(yùn)算能力的發(fā)展

幼兒在積累大量的實(shí)物操作和情境化練習(xí)的經(jīng)驗(yàn)后，就會(huì)進(jìn)一步理解加減的實(shí)質(zhì)，以及符號(hào)和算式的意義，這會(huì)成為他們理解抽象數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。同時(shí)，隨著年齡的增長，幼兒的抽象思維能力會(huì)不斷提高。因此，教幼兒學(xué)習(xí)數(shù)的組成與分解，使之成為抽象加減運(yùn)算的基礎(chǔ)，可提高幼兒運(yùn)算的抽象思維水平，為日后更深層次地學(xué)習(xí)數(shù)運(yùn)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

在引導(dǎo)幼兒運(yùn)用數(shù)的組成與分解學(xué)習(xí)加減時(shí)，首先要讓幼兒熟練掌握10以內(nèi)數(shù)的組成與分解，如4的組成與分解、5的組成與分解，將數(shù)的組成與分解作為加減運(yùn)算的工具和基礎(chǔ)。其次要引導(dǎo)幼兒從學(xué)習(xí)數(shù)的組成與分解過渡到學(xué)習(xí)加減。在幼兒掌握10以內(nèi)數(shù)的組成與分解后，教師可引導(dǎo)幼兒用某一個(gè)數(shù)的組成與分解來嘗試表征加和減，可以與幼兒討論或作出示范，也可以列出算式引導(dǎo)幼兒表達(dá)。例如，列出“1+2=3”后，引導(dǎo)幼兒說：“1和2合起來是3，所以‘1+2=3。”在這種抽象表征的過程中，教師要引導(dǎo)幼兒逐漸建立起從組成到加法和由加法到組成的運(yùn)算模式，從而使數(shù)的組成真正成為數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。同時(shí)，教師可以使用多樣化的方式引導(dǎo)幼兒探索數(shù)的分解與減法的關(guān)系。

運(yùn)用數(shù)的組成與分解來理解加減，標(biāo)志著幼兒加減運(yùn)算能力已由具體和表象水平上升到抽象水平?！?〕但是，這并不代表幼兒已經(jīng)完全能夠進(jìn)行概念水平的加減。教師可以適時(shí)地引導(dǎo)幼兒在實(shí)物操作、口述應(yīng)用題和數(shù)的組成與分解以及加減運(yùn)算之間建立聯(lián)系，鼓勵(lì)幼兒基于操作或口述應(yīng)用題的問題情境列出算式。在幼兒熟練后，教師可轉(zhuǎn)換形式，出示算式引導(dǎo)幼兒嘗試自編口述應(yīng)用題，這是一種更為抽象的數(shù)概念水平。這樣在口述應(yīng)用題（問題情境）、數(shù)的組成、算式之間進(jìn)行反復(fù)轉(zhuǎn)換，會(huì)有效地增強(qiáng)幼兒在概念水平上對數(shù)運(yùn)算的理解，進(jìn)一步促進(jìn)幼兒靈活運(yùn)用加減法。

綜合上述教師支持幼兒獲得“數(shù)運(yùn)算”核心經(jīng)驗(yàn)的策略，我們可以看出，無論是在集體活動(dòng)中還是在區(qū)角活動(dòng)或日?；顒?dòng)中，教師的指導(dǎo)更多的是要采用“解決問題”的教學(xué)方式，遵循幼兒數(shù)運(yùn)算概念的發(fā)展軌跡，符合《3～6歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》的基本理念和幼兒認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)。幼兒數(shù)運(yùn)算能力的發(fā)展是一個(gè)復(fù)雜的過程，需要以良好的數(shù)感和豐富的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，過分關(guān)注紙筆操作和機(jī)械記憶，必然會(huì)使幼兒數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)失去意義。因此，教師應(yīng)該更關(guān)注幼兒對數(shù)學(xué)問題的理解，在操作和表達(dá)中促進(jìn)幼兒數(shù)認(rèn)知能力的發(fā)展。

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