極坐標(biāo)圓弧插補算法的計算仿真與實驗驗證*

來旭輝，許 燕，周建平

(新疆大學(xué) 機械工程學(xué)院，烏魯木齊 830047)

極坐標(biāo)圓弧插補算法的計算仿真與實驗驗證*

來旭輝，許 燕，周建平

(新疆大學(xué) 機械工程學(xué)院，烏魯木齊 830047)

為減少鑄造成型開模周期提高零件生產(chǎn)效率和質(zhì)量，搭建了極坐標(biāo)成型平臺。闡述了極坐標(biāo)相對直角坐標(biāo)的優(yōu)勢，根據(jù)極坐標(biāo)堆焊成型設(shè)備的結(jié)構(gòu)綜合逐點比較法及時間分割法，對極坐標(biāo)下的圓弧插補算法進行了研究和探索，提出了極坐標(biāo)模式下的逐點比較插補算法，對極坐標(biāo)特有的插補特殊點和關(guān)鍵點的插補精度進行了優(yōu)化，并編寫可視化軟件對插補過程仿真分析。最后設(shè)計圓筒插補實驗通過對比得出該算法穩(wěn)定可行。

極坐標(biāo)成型；堆焊成型；逐點比較法；可視化軟件

0 引言

金屬快速成型是先進制造技術(shù)的重要分支，按照加工方式的不同可以分為電弧加工，激光加工和等離子加工等，諸如此類輪廓加工設(shè)備大多為直角框架結(jié)構(gòu)或回轉(zhuǎn)懸臂結(jié)構(gòu)[1]，其中直角框架結(jié)構(gòu)是在直角坐標(biāo)的基礎(chǔ)上進行開發(fā)研制的，對于回轉(zhuǎn)懸臂結(jié)構(gòu)則更適合結(jié)合自身特點以極坐標(biāo)為基礎(chǔ)進行配套軟件開發(fā)，基于極坐標(biāo)的加工設(shè)備可以很好地實現(xiàn)對圓錐曲線，阿基米德螺旋線等用極坐標(biāo)參數(shù)描述的軌跡的擬合[2]，可以在同等條件下加工出比直角坐標(biāo)精度更高的工件，旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)可快速對零件內(nèi)部進行圓弧填充，保證成型后的零件具有良好的徑向力學(xué)性能[3]，并且表面輪廓以弧線過渡，有效地避免了階梯狀外形的出現(xiàn)，成型后的金屬零件可以直接或經(jīng)過少量機械加工后就投入使用。

1 極坐標(biāo)堆焊成型平臺簡介

現(xiàn)有的插補算法大多為直角坐標(biāo)模式，采用直線段逼近二維面單元的方法[4]。而極坐標(biāo)插補是以弧線擬合二維輪廓并以圓弧填充為主，成型后工件有較高的徑向力學(xué)性能，且焊縫間為冶金結(jié)合，因此零件內(nèi)部組織均勻，致密度高。較之激光成型等設(shè)備開發(fā)周期短，成本低[5]，對于精度要求不高的場合有明顯的優(yōu)勢。可分擔(dān)大型零部件鑄造的工作，且不受開模周期和場地的限制[6]。

極坐標(biāo)堆焊成型平臺如圖1所示，電機1通過同步輪帶動雙焊槍做周向運動可對模型的區(qū)域輪廓快速進行整圓或圓弧填充，電機2和電機3驅(qū)動焊槍徑向運動，電機4帶動成型平面在z向做間歇性進給，4個電機協(xié)調(diào)配合構(gòu)成一個空間的柱坐標(biāo)區(qū)域。采用柱坐標(biāo)加工方式成型的工件具有良好的徑向力學(xué)性能，且單道焊縫間為冶金結(jié)合，致密度良好[7]。模型輪廓用柱坐標(biāo)插補方式勾勒，減少了以往的階梯擬合的尖角數(shù)量，實現(xiàn)零件輪廓光滑過度。后面將以柱坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型，對極坐標(biāo)堆焊成型設(shè)備的進給控制軟件進行討論和驗證。

圖1 極坐標(biāo)焊槍堆焊成型平臺

2 極坐標(biāo)逐點比較法插補過程分析

2.1 極點位于待插補圓外

極坐標(biāo)下的圓弧插補與直角坐標(biāo)類似，都是通過控制兩根軸協(xié)調(diào)進給達到擬合待加工曲線的目的，不同的是極坐標(biāo)下不存在四個象限，取而代之的是4個改變插補方向的變向點，為此將整圓的插補過程分為4個階段：1→2、2→3、3→4和4→1，具體位置如圖2所示。并且這四個點隨著圓弧的位置和大小在不斷變化，屬于每個圓弧的固有特征。

圓心的極徑為ρr，極角為θr，由圖2可以看出變向點1，3與圓心共線，則變向點1，3的極徑為：

(1)

根據(jù)變向點3，4的三角關(guān)系可以求得：

(2)

以極點在圓外的整圓插補為例介紹整圓的4個變向點，假設(shè)插補起點在圓外以此推導(dǎo)一般插補方法。

圖2 變向點的選取 圖3 極點位于圓外

當(dāng)插補點位于1→2階段，徑向軸向+ρ方向進給，焊槍進入到理論圓周內(nèi)，停止徑向脈沖進給，軸向軸向-θ方向旋進直至焊槍位于圓外停止插補，第二階段重復(fù)前述過程到2點時停止，四個階段的插補進給方向如表1所示。

表1 插補進給方向

極坐標(biāo)下圓系方程為：

(3)

定義誤差判別式F為：

(4)

+ρ引起的誤差變化：

(5)

同理ΔF取值的其他情況：

(6)

2.2 極點位于待插補圓內(nèi)

當(dāng)極點位于插補圓內(nèi)時，插補變向點為兩個，如圖4所示。當(dāng)焊槍處于圓外且起點在1→2階段，則旋轉(zhuǎn)軸向+θ方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點處于圓內(nèi)時停止插補，徑向軸向+ρ方向進給，當(dāng)進入2→1階段的循環(huán)模式時，先向-ρ方向進給，減小極徑，進入圓內(nèi)后繞+θ方向旋轉(zhuǎn)。當(dāng)焊槍處于圓外起點在1→2階段分析方法類似。

此時變向點1，2位于圓心和極點的延長線上，如圖4所示。變向點的坐標(biāo)為：

(7)

圖4 極點位于園內(nèi)

當(dāng)圓弧經(jīng)過極點時，為了減小判斷次數(shù)，將變向點2的極角修正為：

bian1_θ=θr+0.5π

(8)

2.3 特殊點圓弧插補誤差處理

按照極坐標(biāo)的特性將圓弧的插補過程按照極點與圓的位置關(guān)系分別定義為4個階段和2各階段，對于不過原點的弧線插補，當(dāng)插補進行到靠近2，4點時，容易脫離變向點的角度限制，導(dǎo)致程序進入死循環(huán)，因此采用修正系數(shù)K2=0.99，K4=1.01對約束條件進行放寬，幫助程序越過插補死點。

對于圓心極徑等于插補圓半徑且圓弧過極點情況，當(dāng)插補靠近極點時ρ方向進給會急劇減小，θ方向角度會越來越大，致使程序沿極點走出一條射線。因此當(dāng)加工點與原點的距離小于一個進給步長時將當(dāng)前點的極徑設(shè)置為一個進給步長，將當(dāng)前點的極角設(shè)置為變向點1的角度增加π，以將當(dāng)前點限制在圓內(nèi)。

2.4 終點判別方法的選擇

終點判斷算法是整個軟件精度的重要組成部分[8]，常用的終點判斷方法有角度法和距離法，距離判斷法是通過比較當(dāng)前加工點的弦長與終點之間的距離來甄別加工終點。而同一弦長對應(yīng)的優(yōu)弧劣弧判斷方法繁瑣復(fù)雜且判別誤差較大，因此采用以角度法來作為判斷條件。

角度判斷法的的關(guān)鍵是保證當(dāng)前點從起點開始到插補結(jié)束點的極角是單調(diào)變化。對于極點在圓內(nèi)的弧線插補，當(dāng)終點極角小于起點極角時，將終點角度修正為es+2π。

根據(jù)圓和極點的位置關(guān)系將整個極坐標(biāo)平面分為4個區(qū)域，如圖5所示。對于極點在圓外的情況，加工點的極角在(bian2_c,bian4_c)的范圍內(nèi)，角度變化不連續(xù)，終點判斷非常困難或者需要加很多的約束條件，為此提出坐標(biāo)變換的思想，移動極軸與極點到圓心處判斷。

圖5 極坐標(biāo)下坐標(biāo)變換

(9)

A點極徑：

《調(diào)劑管理辦法》指出，“三區(qū)三州”（即西藏、四省藏區(qū)、南疆四地州和四川涼山州、云南怒江州、甘肅臨夏州）及其他深度貧困縣城鄉(xiāng)建設(shè)用地增減掛鉤節(jié)余指標(biāo)由國家統(tǒng)籌跨省域調(diào)劑使用。國家下達調(diào)劑任務(wù)，確定調(diào)劑價格標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一資金收取和支出。有關(guān)部門根據(jù)有關(guān)?。▍^(qū)、市）經(jīng)濟發(fā)展、土地利用和貧困人口等情況，報經(jīng)國務(wù)院同意，將跨省域調(diào)劑節(jié)余指標(biāo)任務(wù)下達有關(guān)省（區(qū)、市）。財政部統(tǒng)一收取幫扶省份調(diào)劑資金，統(tǒng)一撥付深度貧困地區(qū)所在省份。調(diào)劑資金支出要優(yōu)先和重點保障產(chǎn)生節(jié)余指標(biāo)深度貧困地區(qū)的安置補償、拆舊復(fù)墾、基礎(chǔ)設(shè)施和公共服務(wù)設(shè)施建設(shè)等。

(10)

所以A點的極角：θA=θs+arcsin∠o′Ao

當(dāng)A點處于圖5b：θA=θs-arcsin∠o′Ao

當(dāng)A點處于圖5c：θA=θs+arcsin∠o′Ao

當(dāng)A點處于圖5d：θA=θs-arcsin∠o′Ao

轉(zhuǎn)換后則可直接在o′坐標(biāo)中應(yīng)用圓心在圓內(nèi)的判斷方法進行終點判斷。

3 基于pascal語言的軟件仿真與實驗驗證

3.1 插補軟件介紹

圖6 插補流程圖

以上內(nèi)容提出了極坐標(biāo)下圓弧插補的基本思路和方法，為了探究其可靠性和可行性，根據(jù)圖6所示的編程思路，編寫界面程序?qū)φ麄€算法進行驗證。插補控制軟件界面如圖7所示。軟件包括運動控制，狀態(tài)監(jiān)測與顯示和插補控制三大模塊，能實時采集堆焊過程中的位置與速度信息；可動態(tài)顯示插補過程，及當(dāng)前插補數(shù)據(jù)；支持與插補圖形相關(guān)的放大縮小操作，可對插補點實時標(biāo)記，便于跟蹤觀察。

圖7 插補控制軟件

試驗選用外徑為75mm，內(nèi)徑65mm，高度為20mm的模型對極坐標(biāo)圓弧驗證。設(shè)置焊接速度為165mm/min，氣體流量為10L/min，送絲速度為100cm/min。在單道圓環(huán)零件堆焊成型的過程中，每堆焊完成一層后對成型軌跡的高度進行測量，第一層的高度為2.1mm，第二層成型完的高度為4.0mm，第二層之后的9層的高度基本都在1.9～2.1mm之間。在堆焊成型的過程中同樣存在誤差，最終導(dǎo)致后續(xù)的成型軌跡的余高會在一定的范圍內(nèi)浮動，但是對整體零件的成型質(zhì)量影響不大。經(jīng)過測量得到成型零件的外徑最大值為76.4mm最小值為74.5mm，外徑的誤差在1.9mm(誤差在2.5%以內(nèi))。內(nèi)徑的最大值為66.2mm，內(nèi)徑的最小值為64.4mm，內(nèi)徑的誤差在1.8mm(誤差在3%以內(nèi))。成型零件的高度最大值為21.3mm，最小值為19.8mm，誤差為1.5(誤差在7.5%以內(nèi))，最終成型零件如圖8所示。

圖8 單道多層驗證試驗

南昌大學(xué)張華教授的團隊從事于直角坐標(biāo)下的TIG熔焊成型研究，以傳統(tǒng)逐點比較法插補配合模糊PID焊接參數(shù)預(yù)測與BP網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化也取得了較好的成型效果，經(jīng)過機械加工處理后的圓筒效果如圖9所示。起弧焊接電流為110A，焊接速度為150mm/min，測得圓筒高度為15mm，外徑45mm，內(nèi)徑32.4mm[10]。

圖9 圓柱堆積成型

結(jié)合圖8對比可以看出，極坐標(biāo)插補算法可在減少成型中的參數(shù)修改而實現(xiàn)圓弧的平穩(wěn)成型，保證單道焊縫的成型精度，并保證多道焊縫成型的誤差在可控的范圍內(nèi)， 通過協(xié)調(diào)焊接電流，送絲速度和焊接速度，可實現(xiàn)模型表面相對光滑。

3.3 插補效率測試

選取直徑80mm的圓進行插補效率測試，當(dāng)插補精度為0.2mm時，共執(zhí)行2432步。采取5種不同精度，在工控機上測試，結(jié)果如圖10所示。

圖10 插補效率測試

當(dāng)插補精度為0.6mm，插補用時短且執(zhí)行步驟少，精度在0.2～0.6mm之間時，插補時間隨著精度提高明顯增加，因此選用0.6mm作為極坐標(biāo)插補偏差判別量。

4 總結(jié)

結(jié)合直角坐標(biāo)系下的逐點比較法和時間分割法，提出了適用于極坐標(biāo)成型設(shè)備的圓弧插補算法。設(shè)計了單道多層成型試驗，通過實驗得出以下結(jié)論：

(1)本插補算法啟停平穩(wěn)，代碼執(zhí)行效率高。能夠?qū)崿F(xiàn)極平面內(nèi)任意位置的圓弧插補，可順利越過極坐標(biāo)中的插補死點和特殊點。

(2)插補控制可在一定程度上減少焊接參數(shù)的更改，保證零件穩(wěn)定成型。

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[2] 吳新淼.基于直線逼近的曲線插補算法研究[J].機械工程師,2015(8):71-74.

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(編輯 李秀敏)

Computational Simulation and Experimental Verification of Polar Circular Interpolation Algorithm

LAI Xu-hui，XU Yan, ZHOU Jian-ping

(School of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830047,China)

In order to reduce the casting mold cycle and improve the production efficiency and quality of the parts, a polar coordinate welding forming equipment was developed.The advantage of polar coordinates relative to rectangular coordinates is expounded, So we combines the structure of polar coordinate FDM equipment with the interpolation theory of the point by point comparison method to research and explore the arc interpolation algorithm in polar coordinates, we put forward a complete set of interpolation algorithm and optimized the interpolation precision of the special points and the key points,and then simulate the interpolation process by visual software. Finally, the design of cylinder interpolation experiments show that the algorithm is stable and feasible.

polar forming; surfacing forming; point by point comparison; visualization software

1001-2265(2017)05-0032-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.05.009

2016-10-20;

2016-12-18

自治區(qū)科技人才培養(yǎng)資助項目(gn2015yx008)

來旭輝(1992—)，男，陜西興平人，新疆大學(xué)碩士研究生，研究方向為金屬快速成型與微機控制，(E-mail)2374999541@qq.com；通訊作者：許燕(1975—)，女，浙江東陽人，新疆大學(xué)教授，研究方向為數(shù)字化設(shè)計及風(fēng)力發(fā)電機組研究，(E-mail)lilixiu_z@163.com。

TH16;TG65

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