基于動柔度法的車?線?橋垂向耦合振動分析

石廣田，楊建近，楊新文，張小安

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基于動柔度法的車?線?橋垂向耦合振動分析

石廣田1，楊建近1，楊新文2，張小安1

(1. 蘭州交通大學(xué)機電工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070；2. 同濟大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，上海，201804)

利用動柔度的思想建立高速鐵路車輛?軌道?橋梁垂向耦合動力學(xué)頻域模型。將車輛看作具有10自由度的多剛體系統(tǒng)，推導(dǎo)出車輛系統(tǒng)的動柔度；將鋼軌看作無限長Timoshenko梁、軌道板簡化為自由?自由的Euler梁、橋梁簡化為簡支Euler梁，扣件系統(tǒng)和CA砂漿層用線性彈性阻尼單元模擬，從而建立線?橋垂向動力相互作用系統(tǒng)，利用動柔度的思想求得線?橋垂向動力相互作用系統(tǒng)的動柔度；利用線性化Hertz接觸理論，將車輛系統(tǒng)與 線?橋垂向動力相互作用系統(tǒng)耦合成車?線?橋垂向耦合振動模型。分別求解單位簡諧激勵、輪軌幾何粗糙度激勵下的軌道系統(tǒng)和橋梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)，最后結(jié)合虛擬激勵法求解軌道譜激勵下的軌道系統(tǒng)和橋梁結(jié)構(gòu)的隨機振動響應(yīng)。研究結(jié)果表明：利用動柔度思想建立的頻域車輛?軌道?橋梁垂向耦合動力學(xué)模型，具有邏輯清晰、求解快速的特點，能夠直接求解系統(tǒng)在頻域的動力學(xué)響應(yīng)。

耦合振動；隨機振動；動柔度；車?線?橋耦合動力學(xué)；高速鐵路

由于列車運行速度高和無砟板式軌道的線路結(jié)構(gòu)會使得輪軌相互作用急劇增加，導(dǎo)致高速鐵路車輛?軌道?橋梁耦合振動問題更突出。分析車輛?軌道?橋梁耦合系統(tǒng)的振動，對于確保高速鐵路運營安全、提高乘坐舒適性、降低高速鐵路運營引起的振動對沿線居民和結(jié)構(gòu)建筑的影響有重要的理論價值和工程應(yīng)用價值。松浦章夫[1]先后建立了半車模型和10自由度的整車模型分析車橋動力學(xué)問題。TANABE 等[2]開發(fā)了列車?軌道相互作用計算機程序，其中車輛模型具有31自由度并考慮了車輛懸掛系統(tǒng)的非線性，將軌道和橋梁作為一體用有限元法得出軌道?橋梁運動方程，用模態(tài)分解技術(shù)減小軌道橋梁結(jié)構(gòu)自由度，以輪軌間不平衡力收斂為迭代終止條件，采用Newmark法求解列車、軌道與橋梁的動力響應(yīng)結(jié)果。BHATTI等[3]和WANG等[4]在車橋空間動力分析中分別建立了21個自由度和23個自由度的車輛空間振動模型，并考慮了車輛懸掛的非線性。FRYBA[5]系統(tǒng)地研究了車輛參數(shù)、行車速度、軌道參數(shù)、橋梁參數(shù)等對橋梁振動的影響，并對橋梁結(jié)構(gòu)的疲勞問題及隨機振動問題進行了較深入的研究。曾慶元等[6?7]利用勢能駐值原理和 “對號入座”法則，導(dǎo)出了車橋時變系統(tǒng)的動力學(xué)方程，其中機車車輛模型具有21自由度，橋梁利用有限元法進行離散。鄧子銘等[8]利用“對號入座”法則建立了列車與鋼桁梁橋耦合動力學(xué)模型，將軌道不平順作為系統(tǒng)的自激激勵源，地震作為外部激勵，分析地震對鋼桁梁橋車橋系統(tǒng)耦合振動的影響。夏禾等[9]將車輛視為多剛體系統(tǒng)，分析了車?橋?墩體系的耦合動力學(xué)問題，也研究了脈動風(fēng)、地震荷載對列車過橋時的動力學(xué)響應(yīng)和行車安全的影響。李小珍等[10?11]采用23個自由度的車輛模型，橋梁采用有限元模型，研究了車橋系統(tǒng)的空間動力響應(yīng)。翟婉明等[12?13]建立了較為完備的車輛?軌道?橋梁動力相互作用理論研究，并開發(fā)了相應(yīng)的計算機程序，為鐵路新橋設(shè)計、舊橋加固提供了一套理論方法和安全評估。以上建立的車?線?橋耦合動力學(xué)模型多為時域模型，一方面大多數(shù)學(xué)者考慮了系統(tǒng)的非線性因素，但同時會使得求解難度大大增加；另一方面，若要分析系統(tǒng)在頻域的動力學(xué)響應(yīng)，還要進行時頻轉(zhuǎn)換分析，較為復(fù)雜。本文作者利用動柔度的思想建立高速鐵路車輛?軌道?橋梁垂向耦合動力學(xué)頻域模型[14]，能夠快速、準(zhǔn)確地求解系統(tǒng)在頻域的振動響應(yīng)。

1 車輛?軌道?橋梁耦合動力學(xué)模型

本文建立的車輛?軌道?橋梁耦合動力學(xué)模型如圖1所示。車輛為10自由度的多剛體系統(tǒng)，鋼軌、軌道板、橋梁分別用無限長Timoshenko梁、自由?自由Euler梁、簡支Euler梁模擬，扣件系統(tǒng)和CA砂漿層用線性彈性阻尼單元模擬，輪軌接觸關(guān)系采用線性化Hertz彈性接觸理論。

圖1 車輛?軌道?橋梁動力相互作用示意圖

單節(jié)高速列車車輛的振動幅值為

(2)

式中：[]=[][][]T為單節(jié)車輛在輪對處的柔度矩陣；為轉(zhuǎn)換矩陣；{()}為單節(jié)車輛受到的垂向輪軌作用力幅值。

鋼軌被視為無限長Timoshenko梁，其動柔度函數(shù)為[15]

β(12)為在位置2處施加單位力在1處引起的位移；1，2，1和2與振動波沿鋼軌的傳播有關(guān)。鋼軌的振動幅值為[15?16]

(4)

式中：x和x分別為第個激勵的坐標(biāo)、第個扣件的坐標(biāo)；Z為軌道板在坐標(biāo)x處的垂向位移；K(Z?Z)為第個扣件的彈性恢復(fù)力。

多個軌道板的動柔度可表示為β(12)= diag[ [1]1，…，[β1]，…，[β1]]。其中，為軌道板數(shù)量，β1為一塊軌道板的兩端自由Euler梁模型的動柔度[16]，

W()為兩端自由的Euler梁的第階振型的陣型函數(shù)[17]。則整個軌道板的運動微分方程為

(6)

式中：N為軌道板下離散分布彈性支承的數(shù)量；x為軌道板下第個離散分布彈性支承點的坐標(biāo)；K(Z?Z)為軌道板下第個離散支撐的彈性恢復(fù)力。

高架橋梁的運動微分方程為

式中：β(1，2)為高架橋梁的簡支Euler梁模型的動柔度，其表達式可通過將式(5)中的陣型函數(shù)換成橋梁簡支Euler梁模型的陣型函數(shù)得到；N為高架橋梁支撐的數(shù)量；x為高架橋梁第個支撐的坐標(biāo)；Z為橋梁在x處的位移；KZ為高架橋梁第個支撐的彈性恢復(fù)力。

式(4)，(6)和(7)中均未明示阻尼，實際上梁的彎曲剛度以及彈簧的剛度都是包含損耗因子的復(fù)剛度。將式(4)，(6)和(7)合并，可得到矩陣形式的表達式：

[]主要由鋼軌、軌道板和橋梁結(jié)構(gòu)的動柔度乘以剛度形成；{}由待求解的鋼軌、軌道板和橋梁結(jié)構(gòu)的位移組成；{}為荷載矩陣。求解式(8)即可以得出激勵作用下軌道系統(tǒng)和橋梁結(jié)構(gòu)的頻域位移響應(yīng)。

車輛與軌道耦合關(guān)系通過輪軌相互作用力來實現(xiàn)。從下式可求得垂向輪軌力：

式中：[T]為軌道系統(tǒng)在輪軌接觸點處的原點垂向位移導(dǎo)納，由式(8)可求得；[]為單節(jié)車輛在輪對處的柔度矩陣，由式(2)可求得；[]為輪軌接觸彈簧的動柔度，β=1/k，k為線性化輪軌接觸剛度，以CRH2型列車為例，軸質(zhì)量為14 t，LMA型磨耗踏面，滾動圓半徑為430 mm，根據(jù)Hertz彈性接觸理論，可求得k為1.1718×106kN/m；Δ()為輪軌不平順輸入。在得到動態(tài)輪軌力幅值后，按照式(1)和式(8)即可以計算車輛?軌道?橋梁耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

2 系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)

計算采用的車輛為CRH2型高速列車車輛。軌道結(jié)構(gòu)為CRTS?I型板式無砟軌道，高架橋梁為我國高速鐵路單線32 m簡支箱梁橋，動力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 模型的計算參數(shù)

2.1 單位簡諧荷載激勵

在鋼軌上施加單位簡諧荷載時，得到的軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)就是軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)的動柔度。輪軌力可以看作是一系列一定頻率的簡諧力的疊加，因此，分析軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)在單位簡諧荷載作用下的響應(yīng)，能夠在一定程度上反映軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

在橋梁跨中截面的鋼軌上(扣件跨中)施加單位簡諧荷載，以1 Hz為步長計算系統(tǒng)的導(dǎo)納。由于橋梁跨中截面位于2個軌道板間的間隙中，故取靠近橋梁跨中截面扣件下的軌道板的垂向位移響應(yīng)及橋梁跨中截面上鋼軌和橋梁的垂向位移響應(yīng)為研究對象。軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)的動柔度幅值和其相位分別如圖2和圖3所示。

1—鋼軌；2—軌道板；3—橋梁。

從圖2可知：在200 Hz以下頻率范圍內(nèi)，軌道板的垂向位移響應(yīng)和橋梁的變化趨勢幾乎是一致的，軌道板在此頻率范圍的位移響應(yīng)幅值出現(xiàn)了3個峰值，也是伴隨著橋梁結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值的峰值出現(xiàn)的，因此，可以推斷在垂向簡諧荷載作用下，200 Hz以下頻率范圍內(nèi)軌道板是隨著橋梁在垂向產(chǎn)生振動的，在特別是在20 Hz以下，軌道板的位移幅值和橋梁的完全一致。在9 Hz左右鋼軌、軌道板和橋梁的垂向位移幅值同時達到最大值，而此頻率正是橋梁結(jié)構(gòu)的一階豎彎頻率。

而頻率在25 Hz以上時，鋼軌的垂向振動位移幅值比軌道板的大；僅頻率在4~7 Hz范圍時，橋梁的垂向振動位移幅值稍比軌道板的大，而在其他頻率范圍時都比軌道板的??；隨著頻率的增加，鋼軌的垂向振動位移幅值大于軌道板的垂向振動位移幅值，軌道板的垂向振動位移幅值大于橋梁的垂向振動位移幅值，并且它們之間的差值越來越明顯。鋼軌、軌道板和橋梁都在軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)的自振頻率處出現(xiàn)峰值，因此，可推斷這些系統(tǒng)自振頻率對鋼軌、軌道和橋梁振動都有較大的影響。

1—鋼軌；2—軌道板；3—橋梁。

從圖3可知：當(dāng)頻率在6 Hz以下時，鋼軌的動柔度相位角比軌道板的大，而軌道板的動柔度相位角比橋梁的大，而在6 Hz左右時三者都急劇減??；鋼軌的動柔度相位在6~165 Hz范圍內(nèi)幾乎保持不變，在一階pinned-pinned頻率(970 Hz左右)鋼軌的動柔度相位發(fā)生了突變；在300 Hz左右軌道板的動柔度相位幅值突變?yōu)樽畲?；?00~450 Hz橋梁的動柔度相位出現(xiàn)4個大于零的峰值，并依此減??；整個頻率范圍內(nèi)，鋼軌的動柔度相位角始終處于負值，而軌道板與橋梁的比較復(fù)雜，特別是在1 000 Hz以上，隨著頻率的增加，軌道板和橋梁的動柔度相位呈現(xiàn)較明顯的震蕩趨勢。

結(jié)構(gòu)振動衰減率用來表示結(jié)構(gòu)上隨著距離激勵點距離改變振動衰減的特性[16]，定義為

式中：0為激勵點處結(jié)構(gòu)振動位移；z為距離激勵點處結(jié)構(gòu)振動位移。

在橋梁跨中截面的鋼軌上(扣件跨中)施加單位簡諧荷載，分別在鋼軌、軌道板和橋梁上沿鋼軌方向取距離點=6.25 m處結(jié)構(gòu)的振動，分析振動在高架軌道系統(tǒng)中的縱向衰減。圖4所示為振動在鋼軌、軌道板、橋梁沿縱向上衰減的情況。

從圖4可知：在77 Hz左右鋼軌的振動沿縱向的衰減達到最大值，而在此頻率軌道板和橋梁的振動沿縱向的衰減卻達到1個谷值。鋼軌的振動沿縱向的衰減在鋼軌?扣件系統(tǒng)的自振頻率(230 Hz左右)和第一個pinned-pinned頻率達到峰值，軌道板和橋梁的振動衰減率在其自身固有頻率處都會產(chǎn)生峰值或谷值?？傮w來看，鋼軌的振動沿縱向的衰減在1 000 Hz以下衰減較明顯，而在1 000 Hz以上高頻段鋼軌沿縱向的衰減較小。鋼軌振動沿縱向的衰減率變化較簡單，軌道板和橋梁的振動沿縱向的衰減率變化較復(fù)雜。

(a) 鋼軌；(b) 軌道板；(c) 橋梁

2.2 輪軌幾何粗糙度激勵

由于我國對高鐵的研究是近十幾年才開始的，尚沒有能反映我國高鐵輪軌組合粗糙度譜，計算中采用文獻[15]中給出的一組考慮輪軌接觸濾波效應(yīng)的輪軌組合粗糙度譜，如圖5所示。利用建立的高速車輛?軌道?橋梁耦合動力學(xué)模型，求解車速為250 km/h時系統(tǒng)的垂向振動響應(yīng)。圖6所示為車輪速度為250 km/h時輪軌組合粗糙度激勵下的4組垂向輪軌動態(tài)相互作用力幅值，圖6中的1，2，3和4分別對應(yīng)圖1中垂向輪軌動態(tài)相互作用力的下標(biāo)。取第三位輪對所在橫截面內(nèi)的鋼軌、軌道板和橋梁為分析對象，車速為250 km/h時它們在輪軌組合粗糙度激勵下的垂向振動加速度幅值見圖7。

圖5 輪軌組合粗糙度譜(考慮接觸濾波的影響)[14]

圖6 輪軌組合粗糙度激勵下的垂向輪軌力幅值

(a) 鋼軌；(b) 軌道板；(c) 橋梁

由圖6可以看出：4個輪對上的垂向輪軌動態(tài)相互作用力幅值變化趨勢是一致的，總體上看，當(dāng)頻率低于50 Hz時，隨著頻率的增加而增加；在50~210 Hz頻段內(nèi)，隨著頻率的增加而減小；在210~970 Hz，隨著頻率的增加總體上增加；當(dāng)頻率大于970 Hz時，隨著頻率的增加，4個輪對上的垂向輪軌動態(tài)相互作用力幅值總體上減小。4個輪對上的垂向輪軌動態(tài)相互作用力幅值的最大值為47 142 N。

由圖7可知：鋼軌垂向振動加速度幅值在低頻段很小，在500~3 500 Hz頻段特別是1 000 Hz左右，鋼軌垂向振動加速度幅值比較大，在一階pinned- pinned頻率(970 Hz左右)達到最大值963.6 m/s2。軌道板的垂向振動加速度幅值主要集中300~1 500 Hz的中高頻段，在一階pinned-pinned頻率附近達到最大值16 m/s2，主要是一階pinned-pinned頻率施加到軌道板上的扣件彈性力而導(dǎo)致。橋梁垂向振動加速度幅值主要集中在300 Hz以下的低頻段。

總體上看，低頻區(qū)域鋼軌的垂向振動加速度幅值較小，高頻區(qū)域鋼軌的垂向振動加速度幅值較大；橋梁的垂向振動加速度幅值主要集中在低頻區(qū)域，而在高頻區(qū)域較小。

2.3 軌道譜激勵

國內(nèi)關(guān)于高速鐵路運用條件下的軌道譜尚沒有全國代表性的軌道譜分析式和標(biāo)準(zhǔn)，國外典型的高速鐵路軌道譜標(biāo)準(zhǔn)為德國高速軌道譜。德國高速軌道譜的波長范圍為1~100 m，當(dāng)高速列車通過時激發(fā)的系統(tǒng)振動為低頻振動，而短波不平順功率譜能夠激發(fā)系統(tǒng)的高頻振動，常用的短波不平順功率譜為Sato譜。本節(jié)以德國低干擾譜高低不平順(波長范圍為1~100 m)和Sato譜(波長1 m以下)為激勵，利用建立的高速車輛?軌道?橋梁耦合動力學(xué)模型及本文作者在文獻[18]中采用的虛擬激勵法，求解車速為250 km/h時系統(tǒng)的隨機振動響應(yīng)。Sato譜表達式為

式中：和是由軌道狀態(tài)決定的參數(shù)，本文選擇軌道狀態(tài)為好時的值，=0.065，=3.06。

圖8所示為車速250 km/h時垂向輪軌動態(tài)相互作用力幅值譜密度。取圖1所示車輛3號輪對所在平面內(nèi)的鋼軌(輪軌接觸點處)、軌道板及橋梁的垂向隨機振動位移響應(yīng)為研究對象，當(dāng)車速為250 km/h時，德國低干擾譜激勵下車輛?軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)的隨機振動垂向加速度功率譜見圖9。

從圖9可以看出：在車速為250 km/h時，波長為1~100 m的德國低干擾譜激發(fā)的車輛?軌道?橋梁相互作用系統(tǒng)的隨機振動為70 Hz以下的低頻振動，系統(tǒng)70 Hz以上的振動是由Sato譜激發(fā)的；隨著頻率增加，垂向輪軌力幅值譜在70 Hz左右和650 Hz左右有2個突出的峰值，因此，垂向輪軌力幅值譜整體上呈現(xiàn)先增加后減小再增加再減小的趨勢。鋼軌在650 Hz和970 Hz左右的垂向振動加速度功率譜達到最大值，后者是由于鋼軌振動的pinned-pinned頻率引起的。軌道板的垂向振動加速度功率譜在650 Hz左右達到最大值，在1 200 Hz以上軌道板的垂向振動加速度功率譜很小。橋梁的垂向振動加速度主要集中在300 Hz以下的低頻段，當(dāng)頻率高于300 Hz時，橋梁的垂向振動加速度功率譜幾乎為零。

圖8 垂向輪軌力幅值譜

(a) 鋼軌；(b) 軌道板；(c) 橋梁

3 結(jié)論

1) 隨著頻率的增加，鋼軌的垂向動柔度幅值大于軌道板的動柔度幅值，軌道板的動柔度幅值大于橋梁的動柔度幅值。在整個頻率范圍內(nèi)，鋼軌的動柔度相位角始終處于負值，而軌道板與橋梁的動柔度相位變化比較復(fù)雜，特別是在1 000 Hz以上隨著頻率的增加呈現(xiàn)較為明顯的震蕩趨勢。鋼軌振動沿縱向的衰減率變化較簡單，在1 000 Hz以下衰減較明顯而在1 000 Hz以上衰減較小，軌道板和橋梁的振動沿縱向的衰減率變化較復(fù)雜。

2) 在車速為250 km/h時，在輪軌幾何不平順激勵下或在德國低干擾譜及Sato譜激勵下，鋼軌垂向振動加速度主要集中在500~3 500 Hz頻段特別是1 000 Hz左右，鋼軌垂向振動加速度較大，而在低頻段很小；軌道板的垂向振動加速度主要集中300~1 500 Hz的中高頻段；橋梁垂向振動加速度主要集中在300 Hz以下的低頻段，在300 Hz以上幾乎為零。

3) 利用動柔度思想建立的頻域車輛?軌道?橋梁垂向耦合動力學(xué)模型，具有邏輯清晰、求解快速的特點，能夠直接求解系統(tǒng)在頻域的動力學(xué)響應(yīng)。

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(編輯 楊幼平)

Vertical vehicle?track?bridge coupling vibration based on dynamic flexibility method

SHI Guangtian1, YANG Jianjin1, YANG Xinwen2, ZHANG Xiaoan1

(1. School of Mechat ronic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. School of Transportation Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China)

A frequency domain dynamic model of vehicle?track?bridge vertical coupling system of high-speed railway was established by using the dynamic flexibility method. The vehicle subsystem was treated as the multi-rigid-body system with 10 degrees of freedom, and its dynamic flexibility was deduced by using the dynamic flexibility method. The rail, slab and bridge were respectively considered as the infinite Timoshenko beam, the freedom-freedom Euler beam and the simply supported Euler beam, and the fastener system and CA mortar layer were modeled as linear elastic and damping elements. Therefore, a vertical track-bridge dynamic interaction subsystem was developed, and its dynamic flexibility was also deduced by using the dynamic flexibility method. Using linear Hertz contact theory, the vehicle system and the vertical track-bridge dynamic interaction subsystem were coupled into a vertical vehicle-track-bridge coupling dynamic system. The dynamic responses of the track and the bridge, respectively excited by the unit harmonic force and the wheel/rail geometric irregularity, were calculated. Finally, combined with the pseudo-excitation method, the random vibration responses of the track and the bridge excited by the track spectrum were also calculated. The results show that the vehicle-track-bridge coupling dynamic model proposed in this paper has the characteristics of clear logicality and fast computation, and it can directly solve the dynamic responses of system in the frequency domain.

coupling vibration; random vibration; dynamic flexibility; vehicle?track?bridge coupled dynamics; high speed railway

U211.5 U213

A

1672?7207(2017)04?1119?08

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.04.036

2016?04?08；

2016?06?23

國家自然科學(xué)基金資助項目(51165017)；蘭州交通大學(xué)校青年基金資助項目(2015025)(Project(51165017) supported by the National Natural Science Foundation of China? Project (2015025) supported by the Youth Fund of Lanzhou Jiaotong University)

石廣田，博士，教授，從事軌道交通系統(tǒng)動力學(xué)研究；E-mail：shigt@mail.lzjtu.cn