基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)優(yōu)化的配電網(wǎng)故障恢復(fù)混合整數(shù)線性規(guī)劃方法

劉宗歧，石道桂，陳 啟，劉文霞

（華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206）

0 引言

隨著配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)的日趨復(fù)雜［1］和用戶對(duì)電能依賴程度的不斷提高，配電網(wǎng)故障恢復(fù)作為智能電網(wǎng)自愈控制的重要環(huán)節(jié)，是電網(wǎng)建設(shè)亟待完善的一項(xiàng)重要課題［2］。配電網(wǎng)故障恢復(fù)往往被認(rèn)為是一個(gè)非線性、多約束的組合優(yōu)化且NP（Non-deterministic Polynomial）難問題，在數(shù)學(xué)上還沒有完美的解決方法［3］。 從計(jì)算方法上可分為數(shù)學(xué)優(yōu)化法［4］、啟發(fā)式搜索方法［5］、人工智能方法［6］及其組合方法［7］4 類。

傳統(tǒng)研究認(rèn)為，故障恢復(fù)就是通過對(duì)配電網(wǎng)的聯(lián)絡(luò)開關(guān)及分段開關(guān)進(jìn)行操作，將斷電負(fù)荷轉(zhuǎn)移到其他饋線進(jìn)行供電［8］，即開關(guān)狀態(tài)決定了節(jié)點(diǎn)恢復(fù)情況（節(jié)點(diǎn)-電源連通狀態(tài)，本文稱為節(jié)點(diǎn)狀態(tài)）。開關(guān)狀態(tài)關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)取決于配電網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌?］特征，具有高度非線性，另外潮流本身的非線性特點(diǎn)，制約了故障恢復(fù)在線性規(guī)劃方法上的突破。

本文轉(zhuǎn)變研究思路，以節(jié)點(diǎn)狀態(tài)為研究對(duì)象，分析節(jié)點(diǎn)狀態(tài)參與故障恢復(fù)的應(yīng)用條件，并建立基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的開關(guān)狀態(tài)線性模型。運(yùn)用線性化方法對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流進(jìn)行等效，以此建立計(jì)及節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的故障恢復(fù)混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。算例圍繞計(jì)算精度和計(jì)算效率進(jìn)行仿真分析。

1 基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的配電網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣?/h2>

1.1 節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量概念

類似于開關(guān)的閉合和斷開兩狀態(tài)，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)在故障恢復(fù)問題中也可大致分為供電狀態(tài)和失負(fù)荷狀態(tài)，以圖1進(jìn)行描述。

圖1 典型三饋線配電系統(tǒng)Fig.1 Typical distribution system with three feeders

圖1為簡化的網(wǎng)絡(luò)模型，只包含等值后的節(jié)點(diǎn)、母線及帶可操作開關(guān)［10］的支路。正常運(yùn)行時(shí)圖1中電源各自帶負(fù)荷；當(dāng)電源F2發(fā)生永久性故障時(shí)，通過故障隔離形成包含節(jié)點(diǎn) 8、9、10、11、12 的待恢復(fù)區(qū)域，其他配電部分可定義為故障關(guān)聯(lián)區(qū)域，即與待恢復(fù)區(qū)域有聯(lián)絡(luò)、并提供備用支持的區(qū)域。

節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量，表示節(jié)點(diǎn)連通不同電源的情況，即節(jié)點(diǎn)可能的供電路徑選項(xiàng)，為0-1整數(shù)變量，用ei，b表示，i為節(jié)點(diǎn)編號(hào)，b為電源編號(hào)。節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)水平有關(guān)，比如節(jié)點(diǎn)11與3個(gè)電源都有關(guān)聯(lián)路徑，則其節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量分別為 e11，1、e11，2、e11，3，正常運(yùn)行狀態(tài)下 e11，2=1，e11，1=e11，3=0；電源 F2發(fā)生故障時(shí) e11，2=0，e11，1、e11，3為待優(yōu)化的變量。

節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量ei，b包含2個(gè)屬性，其一為節(jié)點(diǎn)屬性，對(duì)應(yīng)編號(hào)i；其二為電源屬性，對(duì)應(yīng)編號(hào)b。

（1）節(jié)點(diǎn)屬性。

節(jié)點(diǎn)屬性具體是指節(jié)點(diǎn)與電源之間的電氣距離，用于建立具有相同電源屬性的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量之間的大小關(guān)系。圖1中，節(jié)點(diǎn)11比節(jié)點(diǎn)9距離電源F1近，則 e11，1≥ e9，1。 節(jié)點(diǎn)屬性描述為：

其中，di，b和 dj，b分別為節(jié)點(diǎn) i、j與電源 b 的電氣距離。

（2）電源屬性。

首先定義表征節(jié)點(diǎn)是否恢復(fù)的變量ei：

其中，PS為電源集合。

電源屬性是指節(jié)點(diǎn)至多只能由1個(gè)電源供電的屬性，用于滿足配電系統(tǒng)單輻射運(yùn)行條件，即：

在故障恢復(fù)模型中支路電流取決于開關(guān)狀態(tài)，并且故障恢復(fù)的開關(guān)操作次數(shù)也是優(yōu)化目標(biāo)，所以需建立基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的開關(guān)狀態(tài)模型。

1.2 開關(guān)狀態(tài)模型

以圖1支路L8為例，其兩端節(jié)點(diǎn)分別為節(jié)點(diǎn)11和9，而節(jié)點(diǎn)11側(cè)電源為F1，節(jié)點(diǎn)9側(cè)電源為F3（故障條件下），支路L8閉合的情況包括：

（1）節(jié)點(diǎn)9由節(jié)點(diǎn)11側(cè)的電源F1轉(zhuǎn)帶；

（2）節(jié)點(diǎn)11由節(jié)點(diǎn)9側(cè)的電源F3轉(zhuǎn)帶；

（3）節(jié)點(diǎn)9和節(jié)點(diǎn)11均未恢復(fù)供電，支路L8閉合使兩端節(jié)點(diǎn)同時(shí)孤島，即節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量均為0。

由節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量屬性可知，以上3種開關(guān)閉合情況為互斥事件。為保證開關(guān)狀態(tài)模型的通用性，作簡圖進(jìn)行分析，如圖2所示。

圖2 支路簡化圖Fig.2 Simplified diagram of branch

圖2中，xij為支路狀態(tài)變量，取值0和1，分別表示開關(guān)斷開和閉合；PSi和PSj分別表示i-j支路兩端電源集合，兩集合的并集為集合PS；b1和b2分別為集合 PSi和 PSj中的電源編號(hào)，則 ei，b1和 ei，b2分別為節(jié)點(diǎn)i關(guān)聯(lián) PSi和 PSj中電源的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量，ej，b1和 ej，b2類似。

概括3類互斥的開關(guān)閉合情況：

式（4）中（1-ei）（1-ej）展開的 eiej為非線性，考慮到變量ei和ej只能取值0和1的特點(diǎn)，可引入輔助變量wij=eiej，滿足線性約束：

其中和分別為 ei的上、下限。

2 基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)優(yōu)化的故障恢復(fù)線性規(guī)劃模型

典型線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型［11］包含控制變量u、狀態(tài)變量s、等式約束條件h、不等式約束條件g及目標(biāo)函數(shù)f，如下式所示：

本文控制變量為節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量ei，b，節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)部Ure和虛部Uim、支路電流實(shí)部Ire和虛部Iim等系統(tǒng)狀態(tài)變量跟隨節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量。等式約束主要是指基爾霍夫電流及電壓等式。

基爾霍夫電流等式為：

其中，i為待恢復(fù)區(qū)域及故障關(guān)聯(lián)區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)編號(hào)；OT和IN均為與節(jié)點(diǎn)i相連的節(jié)點(diǎn)集合，分別表示關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)i支路的電流流出節(jié)點(diǎn)和流入節(jié)點(diǎn)；和分別為支路k-i的支路電流實(shí)部和虛部；和分別為支路i-h的支路電流實(shí)部和虛部；和分別為節(jié)點(diǎn)i注入電流的實(shí)部和虛部。

基爾霍夫電壓等式為：

其中，和分別為節(jié)點(diǎn)i電壓的實(shí)部和虛部；Rik和Xik分別為支路i-k的電阻和電抗。

電流及電壓等式均為線性，但是對(duì)于恒功率負(fù)荷，其節(jié)點(diǎn)注入電流是節(jié)點(diǎn)電壓的非線性函數(shù)［12］：

其中，Pi和Qi分別為負(fù)荷注入節(jié)點(diǎn)i的有功和無功，對(duì)于恒功率負(fù)荷，Pi和Qi均為常數(shù)。

為滿足線性規(guī)劃建模要求，需對(duì)式（9）線性化。

2.1 節(jié)點(diǎn)注入電流線性化表達(dá)

采用分段線性化方法進(jìn)行擬合，對(duì)于二元函數(shù)，可理解為分塊線性化。以z=x/（x2+y2）為例，如圖3所示。

圖3 三維空間分塊線性化Fig.3 Block linearization of 3D space

由圖3可以看出，空間可行區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)都可由所在線性分塊內(nèi)的確定點(diǎn)來表達(dá)：

式（10）與文獻(xiàn)［13］采用的第二類特殊序列集合SOS2（Special Ordered Sets of type 2）是一致的。 基于 SOS2，式（9）中的系數(shù) ξi和 ζi線性化得到：

其中和分別為SOS2評(píng)估點(diǎn)集合，即空間線性分塊確定的電壓實(shí)部和虛部分段集合；為評(píng)估點(diǎn)的評(píng)估值。評(píng)估點(diǎn)的選擇詳見文獻(xiàn)［13］，本文不再贅述。

2.2 計(jì)及節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的故障恢復(fù)潮流線性約束

由上述分析得到，節(jié)點(diǎn)注入電流由節(jié)點(diǎn)電壓決定，考慮到待恢復(fù)區(qū)域節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的不確定性，對(duì)待恢復(fù)區(qū)域的節(jié)點(diǎn)電壓約束進(jìn)行松弛。

其中，和分別為節(jié)點(diǎn)i電壓實(shí)部取值的上、下限；和分別為虛部的上、下限。

若采用式（11）—（13）線性化方法，式（13）修正為：

式（15）表示，ei=0 時(shí)，均為 0，那么線性擬合的節(jié)點(diǎn)注入電流為0。

同樣，待恢復(fù)區(qū)域支路電流的松弛約束為：

其中，和分別為支路i-k的支路電流實(shí)部上、下限；和分別為虛部上、下限。

基爾霍夫電壓等式需考慮支路斷開的情況，以實(shí)部量為例，引入修正量Δre滿足：

式（17）表示，當(dāng) xik=0，即支路 i-k 斷開時(shí)，Δre的最小值為節(jié)點(diǎn)i失壓時(shí)節(jié)點(diǎn)k電壓上限的負(fù)數(shù)-Umax，最大值為節(jié)點(diǎn)k失壓時(shí)節(jié)點(diǎn)i電壓上限Umax；當(dāng)xik=1 時(shí)，與式（8）一致。

待恢復(fù)區(qū)域、故障關(guān)聯(lián)區(qū)域的節(jié)點(diǎn)電壓約束為：

其中，Uimax和Uimin分別為節(jié)點(diǎn)i電壓幅值的上、下限。

待恢復(fù)區(qū)域、故障關(guān)聯(lián)區(qū)域支路的電流約束為：

其中，Iikmax為支路i-k的支路電流幅值上限。

節(jié)點(diǎn)電壓、支路電流越限約束中均包含二次非線性函數(shù)，且為可分離函數(shù)，方便運(yùn)用分段線性化方法進(jìn)行處理，以節(jié)點(diǎn)電壓為例，可得：

其中，Рre和Рim為分段線性化的評(píng)估點(diǎn)集合；和分別為評(píng)估點(diǎn)m和n的評(píng)估值。

2.3 基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)優(yōu)化的故障恢復(fù)目標(biāo)

上述建立了故障恢復(fù)模型的等式約束及不等式約束線性模型，本節(jié)主要分析和建立故障恢復(fù)線性目標(biāo)函數(shù)。

首先，最大限度地恢復(fù)受故障影響的負(fù)荷是故障恢復(fù)最主要的優(yōu)化目標(biāo)：

其中，F(xiàn)T為待恢復(fù)區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)集合。

其次，開關(guān)操作次數(shù)最少為另一目標(biāo)：

其中，SW為待恢復(fù)區(qū)域內(nèi)開關(guān)集合；r為SW內(nèi)開關(guān)；“±”對(duì)應(yīng)開關(guān)初始狀態(tài)，如果初始開關(guān)狀態(tài)斷開，即xr0=0，為體現(xiàn)xr0=1時(shí)開關(guān)操作，“±”取正，相反xr0=1 時(shí)，“±”取負(fù)。

配電網(wǎng)故障恢復(fù)的目標(biāo)是最大限度恢復(fù)供電，而恢復(fù)后運(yùn)行是否經(jīng)濟(jì)則是次要的［10］，開關(guān)操作次數(shù)目標(biāo)只是在保證盡可能多的負(fù)荷恢復(fù)前提下其值盡可能小，所以目標(biāo)f1應(yīng)起到絕對(duì)支配作用，轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)，如式（23）所示。

其中，系數(shù)λ為單目標(biāo)權(quán)重，取較大值。

3 算例仿真分析

總結(jié)本文配電網(wǎng)故障恢復(fù)整數(shù)規(guī)劃模型控制變量集合狀態(tài)變量集合設(shè)置節(jié)點(diǎn)電壓 SOS2 評(píng)估點(diǎn)：

線性規(guī)劃不僅具有全局收斂的優(yōu)點(diǎn)，并且易于通過商業(yè)化求解器仿真實(shí)現(xiàn)。本文算例在MATLAB仿真環(huán)境下運(yùn)用整數(shù)規(guī)劃工具箱進(jìn)行建模求解。

3.1 算例1

首先，以圖1典型三饋線配電系統(tǒng)作為測試系統(tǒng)，具體網(wǎng)絡(luò)參數(shù)見文獻(xiàn)［11］。其計(jì)算結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出，節(jié)點(diǎn)電壓及支路電流均被限制在安全范圍內(nèi)；潮流量計(jì)算結(jié)果相比于常規(guī)潮流方法偏差非常小，且每次計(jì)算結(jié)果一致，耗時(shí)較短。

表1 算例1計(jì)算結(jié)果Table1 Calculative result of Case 1

3.2 算例2

算例1測試系統(tǒng)為實(shí)際常見的不同電源饋線間聯(lián)絡(luò)的系統(tǒng)。本文模型同樣適用于單饋線分支聯(lián)絡(luò)的系統(tǒng)，如圖4所示的33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［12］。

圖4 33節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Schematic diagram of 33-bus system

其計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 算例2計(jì)算結(jié)果Table2 Calculative result of Case 2

同樣，由表2可以看出，潮流量均在安全范圍內(nèi)，誤差非常小，并且多次仿真實(shí)驗(yàn)顯示不會(huì)出現(xiàn)誤差堆積的情況；計(jì)算時(shí)間能夠保證故障恢復(fù)的實(shí)時(shí)性，并且由于線性規(guī)劃本身特性隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，不存在維數(shù)災(zāi)的問題。優(yōu)化結(jié)果即是最終故障恢復(fù)策略，不需要再進(jìn)行潮流安全校驗(yàn)。

4 結(jié)論

本文從故障恢復(fù)線性規(guī)劃建模角度，提出了節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量概念，將配電網(wǎng)故障恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)狀態(tài)優(yōu)化問題；基于節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)屬性和電源屬性，建立了開關(guān)狀態(tài)線性模型，模型不受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞南拗?；通過對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流線性等效建立了故障恢復(fù)混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，該模型具有最優(yōu)潮流特點(diǎn)，并且易于計(jì)及分布式電源。最后，算例驗(yàn)證了開關(guān)狀態(tài)線性模型及故障恢復(fù)線性規(guī)劃模型的合理性及有效性。

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