戴維南等值參數(shù)時(shí)域仿真跟蹤算法分析與改進(jìn)

趙建偉 ，嚴(yán) 正 ，徐瀟源 ，馮 楠 ，崔 勇 ，曹 路 ，李建華

（1.上海交通大學(xué) 電氣工程系 電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.國(guó)網(wǎng)上海市電力公司電力科學(xué)研究院，上海 200437；3.華東電網(wǎng)有限公司，上海 200210）

0 引言

基于戴維南等值的電壓穩(wěn)定分析方法因其物理概念明確、模型簡(jiǎn)單、能極大地簡(jiǎn)化電網(wǎng)結(jié)構(gòu)、清晰地表征電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性，而受到廣泛關(guān)注［1-4］。應(yīng)用戴維南等值進(jìn)行電壓穩(wěn)定分析的前提是求取戴維南等值參數(shù)。但由于電力系統(tǒng)的時(shí)變特性，戴維南等值參數(shù)受系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹l(fā)電狀況、無功源狀況、負(fù)荷狀況及故障擾動(dòng)等諸多因素影響。如何對(duì)不斷變化的戴維南等值參數(shù)進(jìn)行跟蹤估計(jì)就成了關(guān)鍵所在。

Vu K.和Begovic M.M.等人率先針對(duì)實(shí)際電網(wǎng)提出運(yùn)用本地測(cè)量數(shù)據(jù)跟蹤估計(jì)戴維南等值參數(shù)的方法［5］，具有里程碑式的意義。之后國(guó)內(nèi)外學(xué)者又相繼提出了多種戴維南等值參數(shù)跟蹤算法［6-26］，主要可概括為以下3種。第1種是基于本地測(cè)量或潮流計(jì)算的算法：利用測(cè)量單元或潮流計(jì)算得到運(yùn)行點(diǎn)及其鄰域的多組數(shù)據(jù)，通過黑箱模型和最小二乘辨識(shí)方法計(jì)算一組戴維南等值參數(shù)。這種算法假設(shè)運(yùn)行點(diǎn)鄰域內(nèi)系統(tǒng)的戴維南等值參數(shù)保持不變，可能出現(xiàn)參數(shù)漂移問題［16］。第 2 種是基于偏差校正［17-18］或全微分［19-20］的算法：針對(duì)參數(shù)漂移問題做出了改進(jìn)，偏差校正是在戴維南等值參數(shù)計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，克服了等值參數(shù)恒定的假設(shè)；基于全微分的算法是利用節(jié)點(diǎn)功率方程對(duì)戴維南等值參數(shù)及母線電壓取全微分聯(lián)立形成方程組，再求解對(duì)應(yīng)的差分方程組得到等值結(jié)果，同樣考慮了相鄰運(yùn)行點(diǎn)之間等值參數(shù)的變化。第3種是基于時(shí)域仿真的算法［21-22］：將時(shí)域仿真中的每一個(gè)時(shí)間步都作為一個(gè)運(yùn)行點(diǎn)，每個(gè)運(yùn)行點(diǎn)根據(jù)時(shí)域仿真軟件提供的系統(tǒng)參數(shù)和狀態(tài)數(shù)據(jù)計(jì)算一組戴維南等值參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)戴維南等值參數(shù)的實(shí)時(shí)跟蹤。

從戴維南等值參數(shù)跟蹤算法的發(fā)展情況來看，研究重點(diǎn)集中在2個(gè)方面。一是提高算法準(zhǔn)確性，例如：如何避免參數(shù)漂移，如何考慮運(yùn)行點(diǎn)鄰域內(nèi)等值參數(shù)的變化。針對(duì)這一方面的解決方法眾多，但都沒能從根本上解決多個(gè)運(yùn)行點(diǎn)計(jì)算單一戴維南等值參數(shù)所帶來的局限。二是擴(kuò)大算法適用性。大多數(shù)算法的本質(zhì)為靜態(tài)方法，僅適用于穩(wěn)態(tài)情況或變化緩慢的中長(zhǎng)期過程。而對(duì)于電壓穩(wěn)定問題而言，更多關(guān)注大小擾動(dòng)下系統(tǒng)的暫態(tài)電壓穩(wěn)定性。因此如何實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)暫態(tài)過程中的實(shí)時(shí)戴維南等值，是需要克服的難題，也是當(dāng)前研究的主要關(guān)注點(diǎn)［21-25］。

事實(shí)上，不論是算法的準(zhǔn)確性還是適用性，其根本問題在于將線性電路的戴維南等值原理直接引入強(qiáng)非線性的電力系統(tǒng)中。不同時(shí)間斷面的系統(tǒng)狀態(tài)和等值參數(shù)都是不同的，導(dǎo)致了采用多個(gè)運(yùn)行點(diǎn)數(shù)據(jù)求取單一戴維南等值參數(shù)的算法都存在類似的局限性。針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)［21-22］提出了基于時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法，其出發(fā)點(diǎn)是基于單個(gè)時(shí)間斷面進(jìn)行戴維南等值參數(shù)的計(jì)算。從多時(shí)間斷面到單時(shí)間斷面，既可以有效避免參數(shù)漂移等問題，又能夠基于實(shí)時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)對(duì)大小擾動(dòng)下系統(tǒng)暫態(tài)過程中戴維南等值參數(shù)的跟蹤，為暫態(tài)電壓穩(wěn)定性分析提供了一條有益的途徑。這類算法目前仍被普遍認(rèn)為是“沒有基于任何假設(shè)前提的”以及“精確的”［20-21，26-27］。

本文在文獻(xiàn)［21-22］的基礎(chǔ)上對(duì)基于時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法進(jìn)行進(jìn)一步研究，主要包含兩方面內(nèi)容：對(duì)現(xiàn)有2種不同算法做了詳細(xì)的分析和比較，并分別進(jìn)行了修正，使兩者在物理含義、數(shù)學(xué)前提和計(jì)算結(jié)果三方面實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一；在現(xiàn)有2種算法的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的戴維南等值參數(shù)時(shí)域仿真跟蹤算法，提高了等值結(jié)果的準(zhǔn)確性。本文旨在通過探討基于時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法的計(jì)算原理、物理本質(zhì)和假設(shè)條件，明確這類算法的優(yōu)勢(shì)，尋找可能存在的問題及解決方案，并為后續(xù)研究提供啟示和經(jīng)驗(yàn)。

1 戴維南等值原理與時(shí)域仿真跟蹤算法

1.1 戴維南等值原理與等阻抗模判據(jù)

實(shí)際電力系統(tǒng)中，在任意時(shí)間斷面時(shí)刻t，從某一負(fù)荷節(jié)點(diǎn)向系統(tǒng)看進(jìn)去，均可把系統(tǒng)等值成一個(gè)電壓源經(jīng)過一個(gè)阻抗向該負(fù)荷供電的兩節(jié)點(diǎn)戴維南等值系統(tǒng)，如圖 1 所示。 圖中，Et，iThev、Zt，iThev分別為系統(tǒng)側(cè)的戴維南等值電勢(shì)和戴維南等值阻抗；Ut，i、It，iLoad、Zt，iLoad分別為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電壓相量、流過負(fù)荷的電流相量和負(fù)荷的等值阻抗。

圖1 戴維南等值原理Fig.1 Thevenin equivalent principle

為了保證戴維南等值電路準(zhǔn)確有效，戴維南等值參數(shù) Et，iThev和 Zt，iThev需要滿足的條件為：使得負(fù)荷在戴維南等值系統(tǒng)中的狀態(tài)與在實(shí)際系統(tǒng)中的狀態(tài)完全相同，即 Ut，i、It，iLoad、Zt，iLoad均時(shí)刻保持一致，這也是計(jì)算戴維南等值參數(shù)的基礎(chǔ)和目標(biāo)。

一種普遍的觀點(diǎn)認(rèn)為：電力系統(tǒng)中的電壓失穩(wěn)源自負(fù)荷的功率需求超過系統(tǒng)傳輸功率極限，因此將系統(tǒng)進(jìn)行面向負(fù)荷的戴維南等值后，可通過判斷負(fù)荷功率和傳輸功率極限間的關(guān)系來確定系統(tǒng)是否電壓穩(wěn)定。在戴維南等值參數(shù)準(zhǔn)確有效的前提下，圖1（b）所示戴維南等值系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性可用等阻抗模判據(jù)進(jìn)行判斷，即負(fù)荷等值阻抗的模與系統(tǒng)戴維南等值阻抗的模相等時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行于電壓穩(wěn)定臨界點(diǎn)。這種方法已被廣泛認(rèn)同和采用。

1.2 戴維南等值參數(shù)時(shí)域仿真跟蹤算法簡(jiǎn)介

基于時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法的主要思想是：每一個(gè)仿真步都根據(jù)電網(wǎng)和仿真數(shù)據(jù)計(jì)算一次戴維南等值參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)過程中戴維南等值參數(shù)的跟蹤。目前主要有2種實(shí)現(xiàn)算法，分別由文獻(xiàn)［21］和［22］提出，兩者基于同一出發(fā)點(diǎn)，即在電力系統(tǒng)暫態(tài)過程中的任一時(shí)刻t，時(shí)域仿真軟件都要通過求解式（1）以獲得節(jié)點(diǎn)電壓向量。

其中，Y為系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣；Ut和It分別為t時(shí)刻系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓向量和注入電流向量。

文獻(xiàn)［21］的計(jì)算思路為：令 It0=［0，…，1，…，0］T（第 i個(gè)元素為 1，其余為 0），求解式（1）得到等值節(jié)點(diǎn) i的綜合阻抗 ZiT=Ut0，i（Ut0，i為只在節(jié)點(diǎn) i處注入單位電流時(shí)節(jié)點(diǎn)i的電壓變化量）；然后按圖2所示補(bǔ)償法以及 ΔUt，i=ZiTΔIt，i的關(guān)系，分別得到戴維南等值電路的開路電壓和短路電流，從而求得戴維南等值參數(shù)，最終計(jì)算式為式（2），推導(dǎo)思路參見文獻(xiàn)［21］?？紤]到系統(tǒng)中其余負(fù)荷對(duì)等值參數(shù)的影響，該算法要求在每個(gè)時(shí)刻t都先將除等值節(jié)點(diǎn)i以外其余各負(fù)荷的等值導(dǎo)納歸并到導(dǎo)納矩陣Y中（Yjj=Yjj+1 ／Zt，jLoad），然后再計(jì)算 ZiT以及戴維南等值參數(shù)。

圖2 補(bǔ)償法戴維南等值電路Fig.2 Thevenin equivalent circuits of compensation method

文獻(xiàn)［22］的思路是將等值節(jié)點(diǎn)i的電壓設(shè)為0，求解式（1）得到節(jié)點(diǎn) i短路時(shí)的電壓向量［Ut0，1，…，0，…，Ut0，n］T（第 i個(gè)元素為 0），然后計(jì)算短路電流：

其中，n為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)；負(fù)號(hào)表示流出，與節(jié)點(diǎn)注入電流反向。

圖3為短路法求取戴維南等值參數(shù)等效電路圖，把虛線左邊電路看作整體，根據(jù)開路電壓（即節(jié)點(diǎn)電壓 Ut，i）和短路電流可先求得包含等值節(jié)點(diǎn) i負(fù)荷阻抗的戴維南等值參數(shù)為：

圖3 短路法戴維南等值電路Fig.3 Thevenin equivalent circuits of short circuit method

再由圖 3（a）、3（b）虛線左邊電路的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得不含等值節(jié)點(diǎn)i負(fù)荷阻抗的戴維南等值參數(shù)為：

上述2種算法均以等值節(jié)點(diǎn)處的開路電壓和短路電流為基礎(chǔ)計(jì)算戴維南等值參數(shù)，只是具體實(shí)現(xiàn)方法不同。為了方便敘述和區(qū)分，下文統(tǒng)一將文獻(xiàn)［21］和［22］所述算法分別稱為補(bǔ)償法和短路法。

2 現(xiàn)有2種算法的本質(zhì)分析

2.1 2種算法的物理本質(zhì)

電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定計(jì)算中，多采用迭代法求解網(wǎng)絡(luò)方程，每臺(tái)發(fā)電機(jī)均可處理成諾頓等值電路［28-29］。其中，諾頓等值導(dǎo)納只跟發(fā)電機(jī)本身參數(shù)有關(guān)（為常數(shù)），通常將其并入常規(guī)導(dǎo)納矩陣Y中形成YT，以簡(jiǎn)化計(jì)算過程；而諾頓等值電流源嚴(yán)格意義上取決于發(fā)電機(jī)的（次）暫態(tài)電勢(shì)、端節(jié)點(diǎn)電壓和轉(zhuǎn)子角，需要迭代才能求得，但忽略凸極效應(yīng)時(shí)可認(rèn)為近似不變。

根據(jù)補(bǔ)償法和短路法的推導(dǎo)過程，2種算法均要求發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的注入電流在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化（在等值節(jié)點(diǎn)處注入單位電流或?qū)⒌戎倒?jié)點(diǎn)負(fù)荷短路）時(shí)保持不變。因此，兩者都將潮流網(wǎng)絡(luò)方程YU=I中的導(dǎo)納矩陣Y替換成穩(wěn)定計(jì)算中的導(dǎo)納矩陣YT，這樣便可將發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的注入電流轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的諾頓等值電流源電流，在假設(shè)各發(fā)電機(jī)的諾頓等值電流源保持不變的前提下，算法能夠成立。

補(bǔ)償法和短路法均通過分別求取等值節(jié)點(diǎn)處的開路電壓和短路電流，再間接計(jì)算戴維南等值參數(shù)。

對(duì)于補(bǔ)償法而言，其求解開路電壓和短路電流的本質(zhì)是應(yīng)用疊加原理，將開路或短路時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)看作是2種情況的疊加：一是正常運(yùn)行時(shí)的情況；二是將系統(tǒng)中各發(fā)電機(jī)的電勢(shì)均置0，僅在等值節(jié)點(diǎn)處加一個(gè)電流源的情況，后者與ZiT密切相關(guān)。觀察發(fā)現(xiàn)，補(bǔ)償法求取ZiT的思路與采用導(dǎo)納矩陣計(jì)算三相對(duì)稱短路電流的方法完全一致［29］，ZiT正好等同于短路電流計(jì)算中，將所有發(fā)電機(jī)諾頓等值電流源開路后故障分量網(wǎng)絡(luò)中等值節(jié)點(diǎn)的自阻抗。

對(duì)于短路法而言，其求解短路電流的方法是三相對(duì)稱短路電流的求法，也是2種情況的疊加：一是正常運(yùn)行時(shí)的情況；二是將系統(tǒng)中各發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的注入電流（諾頓等值電流源）置0，僅在等值節(jié)點(diǎn)處加一個(gè)電壓源（與原電壓反向）的情況。因此該方法計(jì)算所得戴維南等值參數(shù)同樣取決于故障分量網(wǎng)絡(luò)。

綜上所述，現(xiàn)有2種算法的本質(zhì)都是根據(jù)故障分量網(wǎng)絡(luò)與疊加原理求解戴維南等值參數(shù)，即兩者的物理意義是統(tǒng)一的。

2.2 2種算法的數(shù)學(xué)解析

對(duì)于含有m臺(tái)發(fā)電機(jī)、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)，將發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)單獨(dú)列寫，式（1）可寫成如下形式：

其中，YLL、YLG、YGL、YGG為 Y 的子矩陣；Ut，L、It，L分別為所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)（包括無負(fù)荷聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)）的電壓向量、注入電流向量；Ut，G、It，G分別為所有發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的電壓向量、注入電流向量。

易知YGG可逆，因此可將式（6）展開并推導(dǎo)得到：

令式（7）可簡(jiǎn)寫成：

取等值節(jié)點(diǎn)i對(duì)應(yīng)的方程有：

其中，It，i為等值節(jié) 點(diǎn)的注入電流；It，Gj、It，Lj分 別 為除等值節(jié)點(diǎn)外其他發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的注入電流。

理論上式（9）恒成立，這里對(duì)2種算法的數(shù)學(xué)假設(shè)進(jìn)行分析。

對(duì)補(bǔ)償法而言，一方面由于矩陣K、H均為常數(shù)矩陣，則在用電流源進(jìn)行補(bǔ)償后，存在如下關(guān)系式：

其中，ΔIt，Gj、ΔIt，Lj、ΔIt，i表示相應(yīng)注入電流的變化量。

另一方面，根據(jù)分解矩陣求逆法和分塊矩陣求逆法［30］可以證明，H 是 Y-1左上角的（n-m）×（n-m）階子矩陣，從而有Hii=ZiT。

因此補(bǔ)償法中采用關(guān)系式 ΔUt，i=ZiTΔIt，i推導(dǎo)計(jì)算戴維南等值參數(shù)，其隱含前提為：

對(duì)短路法而言，由于令 Ut，i=0，根據(jù)式（9）有：

式（12）本質(zhì)上與式（3）相同，其隱含條件是要求在令 Ut，i=0 前后保持不變，即也要滿足式（11）。

綜上所述，從數(shù)學(xué)層面來看，現(xiàn)有2種算法所需滿足的條件也是一致的。

3 對(duì)現(xiàn)有時(shí)域仿真跟蹤算法的改進(jìn)

3.1 現(xiàn)有2種算法的修正和統(tǒng)一

由第2節(jié)分析可知，補(bǔ)償法和短路法的物理本質(zhì)和數(shù)學(xué)前提是一致的。兩者都將導(dǎo)納矩陣Y替換成YT，并認(rèn)為發(fā)電機(jī)的諾頓等值電流源恒定不變，以滿足式（11）等號(hào)左邊第一項(xiàng)為0的假設(shè)。但兩者對(duì)各個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的處理方式有所區(qū)別。

a.補(bǔ)償法在計(jì)算綜合阻抗之前，先將除等值節(jié)點(diǎn)以外其余各負(fù)荷的等值導(dǎo)納歸并到導(dǎo)納矩陣中，相當(dāng)于將負(fù)荷節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換成無負(fù)荷聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)（注入電流恒為0），從而使式（11）等號(hào)左邊的第二項(xiàng)也為0。不過該方法忽略了一點(diǎn)：式（10）中的 ΔIt，i為等值節(jié)點(diǎn)處注入電流的變化量，而采用圖2所示補(bǔ)償法時(shí)，等值節(jié)點(diǎn)處注入電流不等于補(bǔ)償電流源電流，還需要考慮流過負(fù)荷自身的電流的影響。

b.短路法先求取包含等值節(jié)點(diǎn)負(fù)荷阻抗的戴維南等值參數(shù)，再間接計(jì)算不包含等值節(jié)點(diǎn)負(fù)荷阻抗的戴維南等值參數(shù)，相當(dāng)于考慮了等值節(jié)點(diǎn)處負(fù)荷自身對(duì)戴維南等值參數(shù)的影響。但該方法未考慮其余負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，即未使式（11）等號(hào)左邊的第二項(xiàng)為0。

因此2種算法均未全面地對(duì)系統(tǒng)中的所有負(fù)荷進(jìn)行處理，以滿足式（11）的數(shù)學(xué)假設(shè)，從而消除其對(duì)戴維南等值參數(shù)的影響。分別對(duì)兩者做如下修正。

a.對(duì)于補(bǔ)償法而言，在計(jì)算綜合阻抗之前，將等值節(jié)點(diǎn)處的負(fù)荷同其他負(fù)荷一樣處理，從而保證補(bǔ)償法使用過程中，補(bǔ)償電流源的電流就等于節(jié)點(diǎn)注入電流。具體做法是每次計(jì)算ZiT之前都先將等值節(jié)點(diǎn)處的負(fù)荷阻抗轉(zhuǎn)換成導(dǎo)納歸并到導(dǎo)納矩陣YT的相應(yīng)對(duì)角元素（YTii=YTii+1 ／Zt，iLoad）。

b.對(duì)于短路法而言，計(jì)算短路電流之前，將等值節(jié)點(diǎn)以外所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)都轉(zhuǎn)換成無負(fù)荷聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，從而保證計(jì)算過程中其余負(fù)荷不會(huì)對(duì)等值結(jié)果產(chǎn)生影響。具體做法是每次計(jì)算Isct，i之前都先將等值節(jié)點(diǎn)以外其余各負(fù)荷的等值導(dǎo)納歸并到導(dǎo)納矩陣YT的相應(yīng)對(duì)角元素中（YTjj=YTjj+1 ／Zt，jLoad）。

經(jīng)過以上修正，理論上對(duì)于同一個(gè)電力系統(tǒng)而言，2種算法的計(jì)算結(jié)果肯定是一致的。

3.2 改進(jìn)的戴維南等值參數(shù)時(shí)域仿真跟蹤算法

現(xiàn)有2種基于時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法的出發(fā)點(diǎn)都是試圖基于單時(shí)間斷面對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行戴維南等值，但本質(zhì)仍然都是“兩狀態(tài)法”，即通過假想開路和短路2種狀態(tài)來求取戴維南等值阻抗，且還需假設(shè)系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)始終保持不變（即式（11）成立）。這個(gè)做法類似于線性化，當(dāng)開路和短路這2種狀態(tài)離當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)不遠(yuǎn)時(shí)，可以得到相對(duì)合理的等值結(jié)果，但是當(dāng)開路狀態(tài)或短路狀態(tài)過于偏離當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)時(shí)，就可能引起較大誤差。

換個(gè)角度而言，式（9）理論上在系統(tǒng)任何狀態(tài)、任何時(shí)刻下均成立。如果∑KijIt，Gj+∑HijIt，Lj不會(huì)因It，i變化而變化，那么對(duì)照?qǐng)D1所示的戴維南等值系統(tǒng)，∑KijIt，Gj+∑HijIt，Lj即為戴維南等值電勢(shì)，Hii即為戴維南等值阻抗。而實(shí)際運(yùn)行中，由于電力系統(tǒng)的非線性，∑KijIt，Gj+∑HijIt，Lj一般都會(huì)隨 It，i變化而變化，這就是此類算法的誤差根源。文獻(xiàn)［21］和［22］算法分別對(duì)發(fā)電機(jī)和負(fù)荷進(jìn)行了統(tǒng)一處理，使得式（11）的假設(shè)條件近似得到滿足，但其精度仍存在一定提升空間。

基于以上討論，為了盡量減小可能出現(xiàn)的誤差，從式（9）和式（11）出發(fā)，結(jié)合常用的綜合負(fù)荷模型，提出改進(jìn)的戴維南等值參數(shù)時(shí)域仿真跟蹤算法，具體步驟如下。

a.將發(fā)電機(jī)參考節(jié)點(diǎn)的等值導(dǎo)納設(shè)為無窮大。相當(dāng)于使故障分量網(wǎng)絡(luò)中的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)接地，從而保證該節(jié)點(diǎn)電壓在系統(tǒng)狀態(tài)變化前后近似保持不變，更符合實(shí)際且滿足式（11）中 ΔIt，Gj=0 的假設(shè)。

b.將其余發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)仍用諾頓等值電路進(jìn)行處理，并將等值電流源看作恒定。

c.將系統(tǒng)中所有恒阻抗負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的等值導(dǎo)納歸并到導(dǎo)納矩陣中。相當(dāng)于將恒阻抗負(fù)荷節(jié)點(diǎn)變成無負(fù)荷聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，從而滿足式（11）中對(duì)應(yīng) ΔIt，Lj=0的假設(shè)。

d.將系統(tǒng)中所有恒電流負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的注入電流保留在YUt=It的右邊。這是因?yàn)楹汶娏髫?fù)荷本身就滿足式（11）中 ΔIt，Lj=0 的要求。

e.將系統(tǒng)中所有恒功率負(fù)荷和感應(yīng)電動(dòng)機(jī)負(fù)荷當(dāng)作恒阻抗負(fù)荷，同步驟c一樣進(jìn)行處理。感應(yīng)電動(dòng)機(jī)負(fù)荷可以這么處理的原因在于，在某一時(shí)刻，其等值阻抗由轉(zhuǎn)差率決定，而轉(zhuǎn)差率不會(huì)突變。

以上改進(jìn)算法的具體實(shí)現(xiàn)過程為：將網(wǎng)絡(luò)方程YUt=It中導(dǎo)納矩陣Y替換成YT；將參考節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的方程去除，把與參考節(jié)點(diǎn)電壓有關(guān)的項(xiàng)移到等式右邊；對(duì)各類負(fù)荷進(jìn)行處理，修改導(dǎo)納矩陣得到Y(jié)′T；對(duì)方程進(jìn)行變換。這樣式（1）可變形為：

其中，Ut，ref為參考節(jié)點(diǎn)電壓；Eref，（n-1）×1為 YT中參考節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的列向量；上標(biāo)“′”表示負(fù)荷處理后的矩陣或向量；n-1為去掉參考節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)行或列后的維數(shù)。

對(duì)式（13）進(jìn)行變換后，有：

其中取等值節(jié)點(diǎn) i對(duì)應(yīng)的方程，并將其注入電流替換成負(fù)荷電流 It，iLoad，得到：

其中，等式右邊第二項(xiàng)中的It，j僅包含恒電流負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的注入電流，以及除參考節(jié)點(diǎn)外發(fā)電機(jī)的諾頓等值電流源電流，因此在任意時(shí)間斷面時(shí)刻t，WiUt，ref+∑Zt，ijIt，j近似為與 It，iLoad無關(guān)的量，根據(jù)圖 1（b）所示戴維南等值電路，可得改進(jìn)算法的計(jì)算公式為：

改進(jìn)算法流程圖如圖4所示。

4 算例分析

4.1 修正方案的效果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證對(duì)現(xiàn)有2種算法修正后的效果，對(duì)緩慢增長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)情況（穩(wěn)態(tài)可看作是一種特殊的暫態(tài)過程）進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試系統(tǒng)為圖5所示的IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，以恒定功率因數(shù)逐步增加負(fù)荷節(jié)點(diǎn)C的有功、無功功率，其余負(fù)荷的功率和發(fā)電機(jī)的有功出力均保持不變，直到潮流不再收斂。在負(fù)荷節(jié)點(diǎn)C處進(jìn)行戴維南等值，等值結(jié)果如圖6所示，其中λ為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)C的增長(zhǎng)倍數(shù)，縱軸數(shù)據(jù)為標(biāo)幺值，后同。

圖4 改進(jìn)算法流程圖Fig.4 Flowchart of improved algorithm

圖5 IEEE 9節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)Fig.5 IEEE 9-bus test system

圖6 戴維南等值結(jié)果Fig.6 Results of Thevenin equivalent parameter tracking

圖6結(jié)果顯示，在未修正算法之前，現(xiàn)有2種基于時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法的計(jì)算結(jié)果有很大差異，特別是在等值節(jié)點(diǎn)處重負(fù)荷的時(shí)候更加明顯。經(jīng)過修正之后，2種算法的結(jié)果完全相同，驗(yàn)證了兩者的統(tǒng)一性。

4.2 改進(jìn)算法的效果驗(yàn)證

4.2.1 穩(wěn)態(tài)算例

（1）單機(jī)單負(fù)荷。

仍以圖5所示系統(tǒng)為例，只保留發(fā)電機(jī)G1和負(fù)荷C。負(fù)荷C以恒定功率因數(shù)增長(zhǎng)，直到潮流不再收斂。分別采用現(xiàn)有算法和改進(jìn)算法對(duì)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)C進(jìn)行等值，結(jié)果如圖7所示，因?yàn)榇骶S南等值電勢(shì)可根據(jù)戴維南等值阻抗求得，所以這里只驗(yàn)證戴維南等值阻抗的準(zhǔn)確性，后同。

圖7 改進(jìn)算法和現(xiàn)有算法等值結(jié)果比較Fig.7 Comparison of equivalent impedance between improved algorithm and existing algorithm

圖7結(jié)果表明，在系統(tǒng)功率傳輸極限點(diǎn)處，改進(jìn)算法的等值結(jié)果滿足等阻抗模判據(jù)的要求，說明針對(duì)參考節(jié)點(diǎn)的改進(jìn)算法是正確的。

（2）單機(jī)三負(fù)荷。

在圖5所示系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，去掉發(fā)電機(jī)G2和G3，將所有負(fù)荷的功率減半。負(fù)荷A和負(fù)荷B采用如下3種組合：①恒阻抗負(fù)荷；②恒電流負(fù)荷；③50%恒阻抗+50%恒電流負(fù)荷。在負(fù)荷A、B組合方式確定的情況下，設(shè)定負(fù)荷C以恒定功率因數(shù)增長(zhǎng)，直到潮流不再收斂。計(jì)算考慮ZIP負(fù)荷模型的系統(tǒng)潮流，并分別用現(xiàn)有算法和改進(jìn)算法對(duì)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)C進(jìn)行等值，得到結(jié)果如表1所示（這里只關(guān)注功率傳輸極限點(diǎn)），表中電阻、電抗、阻抗數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值。

由表1結(jié)果可知，除等值節(jié)點(diǎn)以外其余負(fù)荷為恒電流負(fù)荷和恒阻抗負(fù)荷的任意組合時(shí)，改進(jìn)算法均能準(zhǔn)確計(jì)算功率傳輸極限點(diǎn)，其精度遠(yuǎn)高于現(xiàn)有算法。這也說明改進(jìn)算法對(duì)恒阻抗負(fù)荷和恒電流負(fù)荷的處理是正確的。

4.2.2 暫態(tài)算例

在圖5所示系統(tǒng)基礎(chǔ)上將負(fù)荷C的功率增加為原來的3倍進(jìn)行初始潮流計(jì)算，設(shè)定系統(tǒng)中負(fù)荷A和負(fù)荷B均為恒功率負(fù)荷，負(fù)荷C為感應(yīng)電動(dòng)機(jī)負(fù)荷。母線3在0.2 s時(shí)刻發(fā)生三相短路故障，根據(jù)不同的故障清除時(shí)刻，分別進(jìn)行暫態(tài)仿真和戴維南等值（節(jié)點(diǎn) C）。

（1）13.8869個(gè)周期清除故障。

在該情形下，系統(tǒng)處于臨界電壓穩(wěn)定狀態(tài)，暫態(tài)仿真和戴維南等值結(jié)果如圖8所示。根據(jù)圖8，按照等阻抗模判據(jù)可知，現(xiàn)有算法的計(jì)算結(jié)果顯示系統(tǒng)電壓失穩(wěn)，而改進(jìn)算法的計(jì)算結(jié)果始終小于可判斷系統(tǒng)電壓穩(wěn)定，后者符合實(shí)際情況，即改進(jìn)算法的等值結(jié)果更為準(zhǔn)確。

表1 功率傳輸極限點(diǎn)處改進(jìn)算法和現(xiàn)有算法等值結(jié)果比較Table 1 Comparison of equivalent parameters at power transmission limit point between improved algorithm and existing algorithm

圖8 暫態(tài)仿真和戴維南等值結(jié)果1Fig.8 Results of transient simulation and Thevenin equivalent parameter tracking（case 1）

（2）13.8870個(gè)周期清除故障。

在該情形下，系統(tǒng)處于臨界電壓失穩(wěn)狀態(tài)，暫態(tài)仿真和戴維南等值結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，現(xiàn)有算法和改進(jìn)算法結(jié)果均顯示系統(tǒng)發(fā)生電壓失穩(wěn)，但現(xiàn)有算法判斷系統(tǒng)發(fā)生電壓失穩(wěn)的時(shí)刻約為0.45 s，過于保守，而改進(jìn)算法判斷系統(tǒng)發(fā)生電壓失穩(wěn)的時(shí)刻約為3.3 s，比較符合實(shí)際情況。

（3）13.8900個(gè)周期清除故障。

在該情形下，系統(tǒng)發(fā)生電壓失穩(wěn)，暫態(tài)仿真和戴維南等值結(jié)果如圖10所示。圖10表明，改進(jìn)算法的計(jì)算結(jié)果也并非完全準(zhǔn)確，和現(xiàn)有算法一樣也會(huì)出現(xiàn)誤判，這是由于處理普通發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)和恒功率負(fù)荷時(shí)仍做了一定程度的假設(shè)和近似。

綜上所述，改進(jìn)算法等值結(jié)果的精度相較于現(xiàn)有算法有所提高，能更加準(zhǔn)確地對(duì)電壓穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。但由于改進(jìn)算法也沒有從根本上擺脫用網(wǎng)絡(luò)方程和“兩狀態(tài)法”計(jì)算戴維南等值參數(shù)的思路和框架，無法很好地處理非線性帶來的誤差，所以仍然存在一定的局限性。

圖9 暫態(tài)仿真和戴維南等值結(jié)果2Fig.9 Results of transient simulation and Thevenin equivalent parameter tracking（case 2）

圖10 暫態(tài)仿真和戴維南等值結(jié)果3Fig.10 Results of transient simulation and Thevenin equivalent parameter tracking（case 3）

5 結(jié)論

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和負(fù)荷特性日益復(fù)雜的形勢(shì)下，電力系統(tǒng)在大小擾動(dòng)下的暫態(tài)電壓穩(wěn)定性對(duì)于其安全運(yùn)行至關(guān)重要?；跁r(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法提供了一種用單時(shí)間斷面數(shù)據(jù)進(jìn)行戴維南等值的視角，可實(shí)現(xiàn)對(duì)戴維南等值參數(shù)的實(shí)時(shí)跟蹤，從而用于暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析，這種探索是有益的，且有著較高理論研究?jī)r(jià)值和一定的實(shí)用意義。

現(xiàn)有的2種基時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法（補(bǔ)償法和短路法）在物理意義、數(shù)學(xué)前提和計(jì)算結(jié)果三方面均具有統(tǒng)一性，但它們的本質(zhì)仍然是基于短路、開路2種狀態(tài)來求解戴維南等值參數(shù)。采用這種“兩狀態(tài)法”原理簡(jiǎn)單、計(jì)算方便、易于實(shí)現(xiàn)，其不足在于所得結(jié)果可能與實(shí)際存在偏差。本文基于現(xiàn)有算法提出了改進(jìn)方案，可以提高等值結(jié)果的準(zhǔn)確性，但也沒能從根本上突破“兩狀態(tài)法”的局限。因此，這也為后續(xù)研究工作提供了啟示：如何跳出現(xiàn)有算法的框架，拋棄線性電路的相關(guān)方法和結(jié)論，考慮電力系統(tǒng)的非線性，真正基于單一時(shí)間斷面進(jìn)行戴維南等值，可作為今后的一個(gè)研究方向。

此外，從算法本身而言，基于時(shí)域仿真的戴維南等值參數(shù)跟蹤算法（現(xiàn)有算法和改進(jìn)算法）并不一定要依賴于時(shí)域仿真軟件。但作為一類需要全網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)和電壓、電流實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的算法，時(shí)域仿真軟件提供了一個(gè)很好的平臺(tái)，也是當(dāng)前最易實(shí)現(xiàn)的方案?；跁r(shí)域仿真，可將此類算法應(yīng)用于研究電力系統(tǒng)暫態(tài)電壓穩(wěn)定性與戴維南等值參數(shù)的關(guān)系與機(jī)理，離線識(shí)別電力系統(tǒng)中暫態(tài)電壓穩(wěn)定薄弱節(jié)點(diǎn)等場(chǎng)景。在今后測(cè)量和通信條件成熟的情況下，這類算法也可以脫離時(shí)域仿真，應(yīng)用于在線計(jì)算。

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