基于灰色預測的EWMA成本控制設計

樊樹海+姚斌+張雷+季春

【摘 要】 在穩(wěn)定的制造過程中，伴隨著訂單和產(chǎn)品型號的變化，單位產(chǎn)品的制造成本應該在穩(wěn)定的區(qū)間內(nèi)發(fā)生變化。對單位產(chǎn)品制造成本進行監(jiān)控，能夠在宏觀層面發(fā)現(xiàn)制造過程是否存在一次合格率過低或材料消耗異常等情況。為監(jiān)測單位產(chǎn)品的制造成本，在傳統(tǒng)的EWMA控制圖基礎上，提出了一種基于灰色預測的EWMA控制圖。此控制圖采用GM（1，1）模型，對單位產(chǎn)品制造成本的波動過程進行建模，驗證單位產(chǎn)品制造成本是否出現(xiàn)異常偏移，并且當其因某些原因出現(xiàn)規(guī)律性偏移時采用模型對偏移過程進行預測，結合EWMA控制圖的上下控制限提供波動的接受范圍，當預測值超出上下限應當停止生產(chǎn)查找原因。不同于傳統(tǒng)控制圖的事后控制，文章提出了一種事前控制的方法。

【關鍵詞】 EWMA控制圖； GM（1，1）模型； 灰色預測

【中圖分類號】 F270.7 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1004-5937（2017）09-0023-04

一、引言

自休哈特提出控制圖概念以來，出現(xiàn)了較多有效的控制圖技術，其中指數(shù)加權移動平均（EWMA）控制圖就是一種針對較小偏移非常有效的控制圖[1]。傳統(tǒng)的EWMA控制圖主要以上下限為控制標準，本文提出一種基于灰色預測的EWMA控制圖，可以更早一步地發(fā)現(xiàn)過程中的偏移，并對偏移過程進行預測，進而提出一種新的指南性的EWMA異常判定標準。

二、EWMA控制圖

1959年羅伯特（Robert）提出了指數(shù)加權移動平均（Exponential Weighted Moving Average，EWMA）圖[2]。其基本思想是在充分利用歷史數(shù)據(jù)的基礎上，強調當前樣本大的重要性，并逐步淡化先前樣本所提供的信息。

假設Xi是相互獨立的隨機變量序列[3]，則EWMA圖的統(tǒng)計量表示為：

Zi=λXi+（1-λ）Zi-1

其中，Zi是當前時刻的統(tǒng)計量；Zi-1是上一時刻的EWMA圖統(tǒng)計量；Z0=μ，是EWMA圖統(tǒng)計量的初始值；λ（0<λ≤1）是權重因子。當λ<0.1時，EWMA控制圖對小偏移有更靈敏的反應，但對大偏移有明顯的滯后[4]。

由于

Zi=λXi+（1-λ）Zi-1

=λXi+λ（1-λ）Xi-1+…+λ（1-λ）i-1

X1+（1-λ）iZ0

可以證明

E（Zi）=E（Xi）=μ

Var（Zi）=■σ2

單個觀察值的中心線、上下控制限分別為：

UCL=μ+3σ■

CL=μ

LCL=μ-3σ■

隨著樣本數(shù)目的增加，統(tǒng)計量Zi的方差Var（Zi）=■σ2趨近于■σ2，上下控制限趨近于直線。

三、GM（1，1）模型

灰色系統(tǒng)理論由我國學者鄧聚龍教授在20世紀80年代首次提出[5]。其中一階微分GM（1，1）預測算法不要求關于數(shù)據(jù)概率分布的先驗知識，是一種較為通用的辨識方法，同時，GM（1，1）算法與自回歸算法和支持向量機相比，沒有復雜的遞推過程，計算量小[6]。

對于時間序列X（0）有n個觀察值，X（0）

={X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}，通過累計加成新序列X（1）={X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n）}，則GM（1，1）模型響應的微分方程為：

■+αX（1）=μ

式中，α稱為發(fā)展灰度；μ稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。

設■為待估參數(shù)向量，■=αμ，利用最小二乘法求解可得：

α=（BTB）-1BTYn

其中，

B[7]=■

Yn=■

求解該微分方程，可得預測模型為：

■（1）（k+1）=[X（0）（1）-■]e-ak+■

（k=0，1，2，…，n）

由預測模型計算■（1）（i），并將其累減生成■（0）（i），計算■（0）（i）與X（0）（i）的絕對誤差序列以及相對誤差序列。

Δ（0）（i）=X（0）（i）-■（0）（i）i=1，2，…，n

φ（i）=■×100% i=1，2，…，n

計算■（0）（i）與原始序列X（0）（i）的關聯(lián)度，當關聯(lián)度大于0.6為滿意。

最后進行后驗差檢驗，計算原始序列標準差：S1=■

絕對誤差序列的標準差：S2=■

方差比為：C=■

小誤差概率為：P=P{Δ（0）（i）-■（0）<0.6745S1}

查找等級對照表，對GM（1，1）模型進行檢驗，若能通過則可以用模型進行預測，否則，進行殘差修正。

四、EWMA控制圖中的GM（1，1）模型

EWMA控制圖在監(jiān)測變異小于1.5σ時其靈敏度要大大高于傳統(tǒng)的休哈特控制圖[8]。不同于休哈特控制圖中常用的8種檢驗方法[9]，EWMA控制圖中基本指標只有控制上下限，也有學者提出一些指南性標準[2]，但并未給出具體的量化操作。此外，對于EWMA控制圖中統(tǒng)計量Zi的偏移，僅憑經(jīng)驗認為過程出現(xiàn)了偏移，缺乏一種量化的偏移監(jiān)測方法。而GM（1，1）模型在數(shù)據(jù)量較少情況下具有良好的預測效果，且有方差比C以及小誤差概率P兩個量化指標對模型效果進行檢驗，可作為統(tǒng)計量Zi偏移的量化指標?；贕M（1，1）模型的EWMA控制圖的主要操作流程如圖1。

而在EWMA控制圖中引入GM（1，1）模型是為了提出一種量化的指南性要求，是一種在基本要求基礎上更高的要求（圖2），但未來隨著企業(yè)的西格瑪水平的提高[10]，這種指南性的要求將在企業(yè)中得到應用并逐漸固化為一種基本要求。

如表2示例，某剎車片生產(chǎn)企業(yè)18個時間周期內(nèi)平均每10萬套剎車片的制造成本。

圖3是以上數(shù)據(jù)為樣本在Minitab中所繪的EWMA控制圖（λ=0.2）。

在實際生產(chǎn)中對于單值統(tǒng)計變量的波動是非常大的，以此作為GM（1，1）模型的時間序列觀察值是非常不合適的。因此，對數(shù)據(jù)做移動平均處理。

X（0）（i）=■[Z（i-1）+Z（i）] i=1，2，…，n

其中，X（0）（i）為GM（1，1）模型的時間序列觀察值，Z（i）為EWMA控制圖統(tǒng)計量。

當過程穩(wěn)定時，X（0）（i）為無序隨機狀態(tài)，而當過程出現(xiàn)偏移時，X（0）（i）亦將出現(xiàn)規(guī)律性的偏移。以第i個數(shù)據(jù)為起始點，L為數(shù)據(jù)長度，對X（0）（i）到X（0）（i+L-1）進行GM（1，1）建模分析。

當起始點為第7到12個，觀察值長度分別為7、8、9、10。采用GM（1，1）建模時小誤差概率及方差比如表3所示。對照表1等級對照表可以看出，當[L，i]為[7，12]及[8，11]時模型有較好的擬合及預測能力。數(shù)據(jù)長度L的增大對模型的要求更加的嚴格，以此可以監(jiān)測出何時開始出現(xiàn)的偏移。

雖然目前EWMA統(tǒng)計量仍然處于控制限內(nèi)，但自第12個數(shù)據(jù)開始的偏移已經(jīng)是一種規(guī)律性的偏移，表明該階段剎車片制造成本不再穩(wěn)定，已經(jīng)出現(xiàn)了規(guī)律性偏差，應該檢查成本變化原因。

如圖4，當[L，i]=[7，12]時，較好地適應了GM（1，1）模型。若剎車片生產(chǎn)過程型號、原材料成本未作較大改變，EWMA統(tǒng)計量在接下來的兩次抽樣的預測分別為3.0788和3.0832，且從圖上看明顯超出了EWMA的上控制限。當過程出現(xiàn)較好的適應GM（1，1）模型式的偏移，且使用模型預測未來變化尚未超出EWMA上下控制限時，若清查偏移原因成本較大，對于小批量產(chǎn)品可以不進行處理；而若明顯超出控制限，則應及早查清制造成本增長原因，減少損失。

五、結語

本文提出了一種基于灰色的EWMA控制圖，采用GM（1，1）對控制過程建模，確定制造成本是否出現(xiàn)偏移。利用模型對制造成本偏移過程進行預測，結合上下控制限提出指南性的EWMA控制圖異常判定方式。處在可接受范圍內(nèi)的制造成本偏移將持續(xù)關注；而對于在預測模型中成本出界的警報應立即查找異常，及早減少損失。

【參考文獻】

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[10] 李曉晟. 精益生產(chǎn)、六西格瑪和ERP的結合研究[J]. 中國管理信息化，2012，15（1）：36-38.