機(jī)械系統(tǒng)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的混合鍵合圖建模

胡均平，李科軍

機(jī)械系統(tǒng)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的混合鍵合圖建模

胡均平，李科軍

(中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410083)

針對(duì)鍵合圖難以表達(dá)機(jī)械系統(tǒng)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，以常見(jiàn)的干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)為研究對(duì)象，通過(guò)分析其作用機(jī)理，引入開(kāi)關(guān)類(lèi)量的混合鍵合圖建模方法，運(yùn)用功率結(jié)型結(jié)構(gòu)(簡(jiǎn)稱(chēng)SPG)概念，提出一種新的開(kāi)關(guān)類(lèi)元件鍵合圖建模方法和鍵合圖模型。以包含干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)的機(jī)械系統(tǒng)為例，根據(jù)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的鍵合圖模型，結(jié)合機(jī)械傳動(dòng)的工作原理，建立整個(gè)系統(tǒng)的鍵合圖模型，提取其狀態(tài)方程，并通過(guò)仿真計(jì)算予以驗(yàn)證。研究結(jié)果表明：該模型不僅可以統(tǒng)一表達(dá)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件在系統(tǒng)不同工作模式下的動(dòng)力學(xué)特性，而且其因果關(guān)系在系統(tǒng)處于任何運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)均保持不變；仿真結(jié)果驗(yàn)證了建模方法正確、可行。

機(jī)械系統(tǒng)；開(kāi)關(guān)類(lèi)元件；混合鍵合圖；功率結(jié)型結(jié)構(gòu)；因果關(guān)系

20世紀(jì)60年代初，PAYNTER提出鍵合圖建模理論[1]。與其他動(dòng)力學(xué)建模方法相比，該建模理論具有以下顯著特點(diǎn)：可統(tǒng)一處理機(jī)、電、液等多能域并存的系統(tǒng)；用簡(jiǎn)明的圖形符號(hào)描述系統(tǒng)的能量結(jié)構(gòu)；以規(guī)則化的方式推導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程，便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模。由于鍵合圖建模的多能域特性以及上述優(yōu)點(diǎn)，使得鍵合圖在復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)[2?3]、化學(xué)[4]、故障檢測(cè)[5?6]、核能系統(tǒng)[7]、熱力學(xué)[8?9]等多個(gè)領(lǐng)域得到應(yīng)用。目前，制約鍵合圖理論發(fā)展的主要問(wèn)題有：快速求解多維非線(xiàn)性微分方程全局?jǐn)?shù)值解的計(jì)算方法；大變形柔性桿件、開(kāi)關(guān)類(lèi)元件和移動(dòng)鉸等基礎(chǔ)單元的精準(zhǔn)建模。開(kāi)關(guān)類(lèi)元件廣泛存在于機(jī)電液等系統(tǒng)中，如離合器、電氣開(kāi)關(guān)、單向閥等。當(dāng)這些元件的工作狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)從一個(gè)工作狀態(tài)過(guò)渡到另外一個(gè)工作狀態(tài)，從而造成系統(tǒng)的非連續(xù)性工作過(guò)程。因此，構(gòu)建開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的模塊化鍵合圖模型,對(duì)于建立系統(tǒng)全局耦合動(dòng)力學(xué)模型、深入了解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能具有重要的理論意義和工程價(jià)值。國(guó)外學(xué)者在非連續(xù)系統(tǒng)的鍵合圖建模方面進(jìn)行了大量工作，其中一種比較流行的方法是在鍵合圖中引入邏輯變量控制相關(guān)鍵合圖元件，達(dá)到模擬開(kāi)關(guān)效應(yīng)的目的，并把對(duì)應(yīng)的鍵合圖稱(chēng)為混合鍵合圖。KARNOPP等[1]利用可調(diào)轉(zhuǎn)換器MTF模數(shù)的變化來(lái)描述系統(tǒng)中的離散行為，然而，這種方法在開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，系統(tǒng)很可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的流變量。BORUTZKY[10]提出R元件與MTF元件相結(jié)合的方法，但該元件的引入改變了系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)，而且元件本身的阻性容易導(dǎo)致非理想的開(kāi)關(guān)效應(yīng)。RICHARD等[11]構(gòu)造了新型鍵合圖元件Sw來(lái)描述開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，該方法的困難在于其因果關(guān)系隨著系統(tǒng)工作狀態(tài)的變化而改變。為克服現(xiàn)有方法的不足，解決機(jī)械系統(tǒng)中典型開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的鍵合圖建模問(wèn)題，本文作者運(yùn)用功率結(jié)型結(jié)構(gòu)概念(簡(jiǎn)稱(chēng)SPG)，推導(dǎo)并建立干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)的通用鍵合圖模型。

1 功率結(jié)型結(jié)構(gòu)

功率結(jié)型結(jié)構(gòu)[12](簡(jiǎn)稱(chēng)SPG)是在基本結(jié)型元件1結(jié)和0結(jié)的基礎(chǔ)上，增加了2個(gè)相互排斥的流通口和勢(shì)通口，用fi(i=1,…,4)表示各鍵上的流變量，ei(i=1,…,4)表示各鍵上的勢(shì)變量，并用u1和u2表示1對(duì)布爾變量，則功率結(jié)型結(jié)構(gòu)的因果關(guān)系如圖1所示。

圖1(a)中，1s結(jié)連接了2個(gè)流結(jié)，并且由1對(duì)布爾變量控制。變量u1與鍵1相連，變量u2與鍵2相連，系統(tǒng)的信號(hào)鍵決定了與布爾變量相連的鍵是否生效。具體工作過(guò)程為：當(dāng)u1為1時(shí)，鍵1生效，f1為1s結(jié)的唯一流輸入；當(dāng)u2為1時(shí)，鍵2生效，f2為1s結(jié)的唯一流輸入。因此，1s結(jié)上的流為，通過(guò)

圖1 1s和0s結(jié)因果示意圖Fig.1 Schematic diagram sof causality of 1sjunction and 0sjunction

1s結(jié)的各勢(shì)變量(e1,e2,e3)之和為0，組成關(guān)系式如下：

類(lèi)似地，圖1(b)中，0s結(jié)上有2個(gè)勢(shì)輸入，0s結(jié)上的勢(shì)為u1e1+ u2e2。通過(guò)0s結(jié)的各流變量(f1,f2,f3)之和為0，組成關(guān)系式如下：

根據(jù)需要，運(yùn)用布爾算法，可以有u1，u2，…，un等n個(gè)變量推導(dǎo)出1s結(jié)和0s結(jié)上的組成關(guān)系式。

2 機(jī)械系統(tǒng)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的混合鍵合圖建模

干摩擦、間隙接觸碰撞副及單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)普遍存在于機(jī)械系統(tǒng)中，并對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、載荷傳遞、運(yùn)動(dòng)精度及控制穩(wěn)定性等有重要影響[13?14]。因此，建立這些基礎(chǔ)單元的通用鍵合圖模型，對(duì)于搭建復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)鍵合圖模型、進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

2.1 干摩擦鍵合圖建模

目前有多種摩擦模型和計(jì)算方法，最主要的4種摩擦模型為Bristle摩擦模型、Dahl摩擦模型、LuGre摩擦模型和Leuven摩擦模型。為計(jì)算簡(jiǎn)單，以靜態(tài)摩擦模型為研究對(duì)象，而庫(kù)侖摩擦模型是其中最簡(jiǎn)單的靜態(tài)摩擦模型[15]。庫(kù)侖模型中摩擦力Fslip與接觸面積無(wú)關(guān)，與物體上的正壓力成正比，與相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，但與相對(duì)滑動(dòng)的速度無(wú)關(guān)，其計(jì)算公式為

式中：Fc為庫(kù)侖摩擦力；μ為摩擦因數(shù)；FN為物體上的正壓力；sgn(x˙)為符號(hào)函數(shù)；x˙= x˙a- x˙b，為相對(duì)滑動(dòng)速度。

庫(kù)侖模型只描述了動(dòng)摩擦力，沒(méi)有考慮最大靜摩擦力與動(dòng)摩擦力的差值。當(dāng)2個(gè)物體相對(duì)靜止(相對(duì)滑動(dòng)速度為0)，最大靜摩擦力Fstick大于外力Fext時(shí)，摩擦力可用下式定義：

式(10)表明：當(dāng)接觸面相對(duì)滑動(dòng)速度為0m/s時(shí)，摩擦力取決于外力與最大摩擦力的關(guān)系；當(dāng)作用力小于最大靜摩擦力時(shí)，摩擦力等于作用力；當(dāng)作用力大于或等于最大靜摩擦力時(shí)，摩擦力為最大靜摩擦力。

圖2所示為庫(kù)侖摩擦和靜摩擦同時(shí)作用的摩擦模型，此時(shí)干摩擦有2種工作模式：stick模式和slip模式。通過(guò)接觸面相對(duì)滑動(dòng)速度可以判斷干摩擦處于哪種工作模式。圖3所示為2個(gè)接觸滑塊組成的摩擦系統(tǒng)，運(yùn)用前面介紹的SPG開(kāi)關(guān)鍵合圖建模方法，建立圖4所示摩擦系統(tǒng)鍵合圖模型。圖4中：Fa，Ma和ax˙分別為滑塊A的作用外力、質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)速度；Fb，Mb和bx˙分別為滑塊B的作用外力、質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)速度；0s結(jié)上的調(diào)制阻性元件和可變勢(shì)源對(duì)應(yīng)式(9)和式(10)中的干摩擦力計(jì)算值；布爾變量與摩擦力的2個(gè)工作狀態(tài)對(duì)應(yīng)，在任一時(shí)刻有且僅有1個(gè)變量為1，其他變量為0。因此，0s(Fm)結(jié)的勢(shì)變量可統(tǒng)一表示為

圖2 庫(kù)侖摩擦和靜摩擦模型Fig.2 Model of Coulomb and static friction

圖3 2個(gè)滑塊摩擦系統(tǒng)Fig.3 Frictional system of two bodies in contact

圖4 摩擦系統(tǒng)鍵合圖模型Fig.4 Bond graphmodelof frictionalsystem

可見(jiàn)，摩擦系統(tǒng)有2個(gè)基本狀態(tài)：狀態(tài)1，0v≠ m/s，um1= 1，um2= 0，F(xiàn)m= Fslip；狀態(tài)2，v=0m/s，um1= 0，um2= 1，F(xiàn)m= Fstick。同時(shí)，可以根據(jù)實(shí)際工況對(duì)干摩擦鍵合圖模型進(jìn)行修改，只需在0s(Fm)結(jié)上添加相應(yīng)勢(shì)源和阻性元件，即可表達(dá)更復(fù)雜的摩擦模型。

2.2 間隙接觸碰撞副鍵合圖建模

間隙接觸碰撞副如圖5所示。

圖5 間隙接觸碰撞副Fig.5 Modelof twomechanical partswith backlash

如圖5(a)所示，物體1與物體2之間存在間隙，左右距離均為b，兩者通過(guò)接觸碰撞傳遞位移和力，其等價(jià)的力學(xué)模型[16]如圖5(b)所示。設(shè)2個(gè)物體的相對(duì)位移為x= x1- x2，則基于Hertz線(xiàn)性化模型的彈性力Fk表達(dá)式為

式中：k為Hertz線(xiàn)性化模型的彈性系數(shù)。

根據(jù)Herbert模型的定義，間隙接觸碰撞副黏滯阻尼c可表示為

由式(13)可得兩物體的黏滯阻力為

綜合式(11)和式(14)，可得2個(gè)物體之間的接觸力為

根據(jù)式(15)及鍵合圖建模規(guī)則，可得圖6所示的間隙接觸碰撞副的鍵合圖模型。圖6中：F1和1x˙分別為滑塊1的作用外力與運(yùn)動(dòng)速度；F2和2x˙分別為滑塊2的作用外力與運(yùn)動(dòng)速度。0s(Fj)結(jié)上的勢(shì)源及并聯(lián)的容性、阻性元件用來(lái)表示兩物體接觸、分離時(shí)作用力的變化規(guī)律，鍵上的布爾變量值由兩物體的相對(duì)位移決定。

圖6 間隙接觸碰撞副鍵合圖模型Fig.6 Bond graphmodelofmechanicalsystem with blacklash

0s(Fj)結(jié)的勢(shì)變量可統(tǒng)一表示為

從圖6可見(jiàn)間隙接觸碰撞副有3個(gè)基本狀態(tài)：狀態(tài)1，x≥b，uj1=1，uj2=0，uj3=0，容性元件Cj1起作用，F(xiàn)j= k( x- b)+ cv；狀態(tài)2，?b＜x＜b，uj1=0，uj2=1，uj3=0，勢(shì)源Se:0起作用，F(xiàn)j=0；狀態(tài)3，x≤ b，uj1=0， uj2=0，uj3=1，容性元件Cj3起作用，F(xiàn)j= k( x+ b)+ cv。與干摩擦鍵合圖模型類(lèi)似，可以根據(jù)間隙接觸碰撞模型的復(fù)雜程度，在0s(Fj)結(jié)上添加相應(yīng)勢(shì)源和容性元件，以滿(mǎn)足實(shí)際模型的計(jì)算精度要求。

2.3 單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)鍵合圖建模

圖7所示為棘輪與螺桿副組成的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，該系統(tǒng)結(jié)合了棘輪機(jī)構(gòu)單向傳動(dòng)與螺桿副(具有自鎖功能)不可逆?zhèn)鲃?dòng)的工作特點(diǎn)。具體傳動(dòng)過(guò)程為：當(dāng)棘爪插入棘輪順時(shí)針?lè)较?圖中從左往右看)旋轉(zhuǎn)時(shí)，可推動(dòng)棘輪轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度；當(dāng)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，棘輪靜止不動(dòng)。同時(shí)，棘輪與螺桿連接成一體，利用其順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以實(shí)現(xiàn)螺母沿x軸正向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，但該傳動(dòng)是不可逆的，即在螺母上施加沿x軸方向的力，無(wú)論正、反方向均不能驅(qū)動(dòng)螺桿旋轉(zhuǎn)。

圖7 棘輪與螺桿副傳動(dòng)系統(tǒng)Fig.7 Ratchetwheeland nut-screw system

根據(jù)鍵合圖建模規(guī)則，構(gòu)建圖8所示的單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)鍵合圖模型。圖8中：Ti，Js和rn分別為棘輪螺桿的輸入扭矩、等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)；m為轉(zhuǎn)換器TF的模，即螺桿螺母的傳動(dòng)比；ksn和rsn分別為螺桿副螺紋接觸處的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)；Fn，Mn和rn分別為螺母的作用外力、質(zhì)量與平動(dòng)阻尼系數(shù)；與1s(ωs)結(jié)相連鍵上的布爾變量值由輸入轉(zhuǎn)矩的旋轉(zhuǎn)方向決定；與1s(nx˙)結(jié)相連鍵上的布爾變量值由該結(jié)上的勢(shì)變量決定。

圖8 棘輪與螺桿副鍵合圖模型Fig.8 Bond graphmodelof ratchetw heeland nut-screw mechanism

0s(Ts)結(jié)的輸入轉(zhuǎn)矩可統(tǒng)一表示為

可見(jiàn)，棘輪輸入轉(zhuǎn)矩有2種基本狀態(tài)：狀態(tài)1，Ti為正(根據(jù)右手螺旋法則判定)，us1=1，us2=0，Ts=Ti；狀態(tài)2，Ti為負(fù)，us1=0，us2=1，Ts=0。

1s(ωn)結(jié)的速度可統(tǒng)一表示為

式中：F= Fsn- Fn；布爾變量的取值由F的傳遞方向決定，當(dāng)F≥0時(shí)，力由螺桿傳遞到螺母；當(dāng)F＜0時(shí)，力由螺母?jìng)鬟f到螺桿。因此，螺桿副有2種基本狀態(tài)：狀態(tài)1，F(xiàn)≥0，un1=1，un2=0，ωn=PMs/ Ms，PMs為螺母的動(dòng)量；狀態(tài)2，F(xiàn)＜0，un1=0，un2=0，ωn=0。

需要指出的是：在系統(tǒng)實(shí)際工作過(guò)程中，開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的各個(gè)工作狀態(tài)不是都會(huì)出現(xiàn)，但式(11)，(16)～(18)統(tǒng)一表達(dá)了各開(kāi)關(guān)類(lèi)元件可能出現(xiàn)的所有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且對(duì)應(yīng)鍵合圖模型的因果關(guān)系在系統(tǒng)處于任何運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)均保持不變。

3 含開(kāi)關(guān)類(lèi)元件的機(jī)械系統(tǒng)建模與仿真

以圖9所示的包含干摩擦、間隙接觸碰撞副及單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)的機(jī)械系統(tǒng)為例，驗(yàn)證本文對(duì)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件進(jìn)行混合鍵合圖建模的有效性與可行性。給該系統(tǒng)輸入1個(gè)三角波周期函數(shù)形式的扭矩到棘爪以驅(qū)動(dòng)棘輪，螺桿和棘輪相連將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為螺母的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。螺母上固結(jié)的物體C與滑塊D存在一定間隙，所以，物體C只有運(yùn)動(dòng)一段距離與滑塊D接觸碰撞后，才能將力和位移傳遞到滑塊D，使之克服地面的摩擦力而滑動(dòng)。

圖9 包含干摩擦、間隙接觸碰撞副及單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)的機(jī)械系統(tǒng)Fig.9 M echanical system w ith dry friction,back lash and unidirectional irreversiblemotion

3.1 機(jī)械系統(tǒng)建模

在建立機(jī)械系統(tǒng)的鍵合圖模型之前需作進(jìn)行如下假設(shè)：1)采用集中參數(shù)處理質(zhì)量、阻尼和剛度等；2)除了滑塊D處為干摩擦外，其余各處摩擦力計(jì)算均按黏性摩擦處理。根據(jù)前面建立的干摩擦、間隙接觸碰撞副、單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)的鍵合圖模型，結(jié)合機(jī)械傳動(dòng)的工作原理，可得圖10所示的機(jī)械系統(tǒng)混合鍵合圖模型。圖10中：cM和cx˙分別為物體C(包括螺母)的等效質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)速度；dM和dx˙分別為滑塊D的質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)速度。

圖10 機(jī)械系統(tǒng)混合鍵合圖模型Fig.10 Hybrid bond graphmodel ofmechanical system

根據(jù)鍵合圖模型狀態(tài)方程生成規(guī)則[17?18]，可知棘輪螺桿的動(dòng)力學(xué)平衡方程為

式中：Fsn= ksn( mθs- xc)+ rsn( mωs- x˙c)；θs為螺桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度； Ts由式(17)確定。

螺桿的轉(zhuǎn)速為

螺母的動(dòng)力學(xué)平衡方程為

式中：Fj由式(16)確定。

螺母的速度為

滑塊D的動(dòng)力學(xué)平衡方程為

式中：Fm由式(11)確定。

滑塊D的速度為

3.2 仿真分析

為驗(yàn)證開(kāi)關(guān)類(lèi)元件混合鍵合圖建模方法的正確性，運(yùn)用Matlab軟件對(duì)圖9所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行求解。系統(tǒng)仿真參數(shù)見(jiàn)表1。為計(jì)算簡(jiǎn)單，接觸碰撞副的接觸剛度與阻尼系數(shù)均取常數(shù)，棘爪輸入扭矩曲線(xiàn)如圖11所示。采用四階Runge-Kutta算法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，仿真時(shí)間設(shè)為8 s，得到部分仿真結(jié)果如圖12～15所示。

表1 機(jī)械系統(tǒng)仿真參數(shù)Table1 Simulation parametersofmechanical system

圖11 棘爪輸入扭矩與時(shí)間的關(guān)系Fig.11 Relationship between input torqueof paw land time

圖12 棘輪輸入扭矩與時(shí)間的關(guān)系Fig.12 Relationship between input torque of ratchetwheel and time

圖13 棘輪轉(zhuǎn)速與時(shí)間的關(guān)系Fig.13 Relationship between rotating speed of ratchetwheel and time

圖14 物體C與滑塊D的間隙距離與時(shí)間的關(guān)系Fig.14 Relationship betw een gap distance and time betw een body C and slider D

圖15 摩擦力與時(shí)間的關(guān)系Fig.15 Relationship between contact forceand time

對(duì)比圖11和圖12可知：由于棘輪的單向傳動(dòng)特性，棘爪輸入扭矩的負(fù)值部分沒(méi)有傳遞到棘輪。從圖12和圖13可以看出：在4 s時(shí)，機(jī)械系統(tǒng)的輸入扭矩變?yōu)?，但棘輪螺桿本身的慣性將帶動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行一段時(shí)間的減速運(yùn)動(dòng)，在6.82 s時(shí)運(yùn)動(dòng)停止；螺母上一直作用800N的外力，方向沿x軸正向，但螺桿副的自鎖功能使得傳動(dòng)具有不可逆性，在棘輪螺桿無(wú)扭矩輸入時(shí)，無(wú)論軸向力Fn多大，螺母都不會(huì)滑動(dòng)。為進(jìn)一步說(shuō)明螺桿副的不可逆?zhèn)鲃?dòng)特性，將螺桿傳動(dòng)替換成齒條傳動(dòng)，將同一軸向力作用在齒條上，系統(tǒng)其他參數(shù)不變。圖13表明：齒條傳動(dòng)所在的機(jī)械系統(tǒng)中，棘輪輸出轉(zhuǎn)速始終不為0(零時(shí)刻不包括在內(nèi))，且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中棘輪轉(zhuǎn)速都稍微高出螺桿傳動(dòng)所在的機(jī)械系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速，其原因是齒條傳動(dòng)是雙向的，齒條上的軸向力可以作為系統(tǒng)的動(dòng)力源。

從圖14可以看出：物體C與滑塊D最初的間隙為1mm；在1.4 s時(shí)，兩者發(fā)生接觸碰撞，但由于定義的接觸剛度很大，產(chǎn)生的彈性變形非常小，間隙距離接近于0mm；在1.40～6.82 s內(nèi)，物體C與滑塊D始終保持接觸，但在6.82 s時(shí)，物體C停止向滑塊D傳遞力和位移，而滑塊D由于自身的慣性可以運(yùn)動(dòng)極短的一段時(shí)間，使得兩者又發(fā)生分離，但間隙距離仍然接近于0mm，其原因在于該時(shí)刻滑塊D的初速度很小，其所受庫(kù)侖摩擦力較大；在6.84 s時(shí)，滑塊D就停止運(yùn)動(dòng)。這從圖15的摩擦力變化曲線(xiàn)也可以觀察到。

從圖15可以看出：在0～1.4 s內(nèi)，摩擦力一直為0N；1.4s時(shí)，物體C與滑塊D發(fā)生碰撞，摩擦力由0N突變至?70N(負(fù)號(hào)表示摩擦力的方向沿x軸負(fù)向)，接著又增至?50N，這與文中定義的干摩擦模型相符。其原因是物體C沒(méi)有將位移和力傳遞過(guò)來(lái)之前，滑塊D接觸面的相對(duì)滑動(dòng)速度為0m/s，摩擦力由式(10)確定，最大靜摩擦力為?70N，而在物體C和滑塊D接觸的極短時(shí)間內(nèi)，滑塊D克服最大靜摩擦力開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)摩擦力又由式(11)確定，對(duì)應(yīng)的庫(kù)侖摩擦力為?50N；在6.82～6.84 s時(shí)，摩擦力又由?50N增至0N，其原因是物體C不再傳遞力和位移到滑塊D，而滑塊D在庫(kù)侖摩擦力的作用力下瞬間恢復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)。

4 結(jié)論

1)引入開(kāi)關(guān)類(lèi)量的混合鍵合圖建模方法，運(yùn)用功率結(jié)型結(jié)構(gòu)概念，推導(dǎo)與建立了干摩擦、間隙接觸碰撞副和單向不可逆?zhèn)鲃?dòng)的通用鍵合圖模型，并通過(guò)實(shí)際算例驗(yàn)證了所建模型的有效性和可行性。

2)建立的鍵合圖模型不僅可以統(tǒng)一表達(dá)開(kāi)關(guān)類(lèi)元件在系統(tǒng)不同工作模式下的動(dòng)力學(xué)特性，而且其因果關(guān)系在系統(tǒng)處于任何工作狀態(tài)時(shí)均保持不變，因而使得整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量及維數(shù)不隨時(shí)間變化。

3)干摩擦等開(kāi)關(guān)類(lèi)元件是機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的基礎(chǔ)單元，可將其鍵合圖模型以模塊化的形式嵌入系統(tǒng)的鍵合圖建模中，為多開(kāi)關(guān)類(lèi)元件并存的機(jī)械系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究提供了一種新的方法。

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(編輯 陳燦華)

Hybrid bond graphmodeling ofmechanicalsystem w ith sw itching elements

HU Junping,LIKejun

(School of Mechanicaland Electrical Engineering,Central South University,Changsha 410083,China)

Aim ing at themodeling problem of nonlinear dynam ics of mechanical system w ith sw itching elements using bond graph technology,the dry friction,back lash and one-w ay irreversible motion transm ission w ere chosen as the research object,theirmechanism was analyzed,the hybrid approach m ixing bond graph and the concept of sw itched power junctions(SPJ)were introduced,and the new bond graph model of ideal sw itches was proposed.Taking a mechanical system including all the nonlinear phenomena of interest for an examp le,according to the bond graph model of sw itching elementsmentioned before and combining the working princip le of mechanical transm ission,the efficiency of themodeling approach was illustrated.The results show that themodel can not only express uniform ly the system dynam ic characteristics in differentworkingmodes,butalso keep their causal relations unchanged when the system is in any state ofmotion.The simulation resultsw erify the correctnessand feasibility of themodel.

mechanical system;sw itching elements;hybrid bond graph;sw itched power junctions;causal relation

TH11

A

1672?7207(2017)03?0658?08

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.03.014

2016?04?10；

2016?06?20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175518)；湖南省科技型中小企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新基金立項(xiàng)項(xiàng)目(12C26214305029) (Project(51175518)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project(12C26214305029)supported by the SME Technology Innovation Fund of Hunan Province)

李科軍，博士研究生，從事系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的鍵合圖建模研究；E-mail:likejuncsu@126.com