明晰目標抓特性順勢而為促優(yōu)解
——由兩道導數(shù)試題引發(fā)的思考

安徽省靈璧第一中學(234200) 鄭 良●

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明晰目標抓特性順勢而為促優(yōu)解
——由兩道導數(shù)試題引發(fā)的思考

安徽省靈璧第一中學(234200)
鄭 良●

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.通過對含參不等式恒成立、函數(shù)零點等典型問題的解答與反思，澄清對相關問題的認識與理解，并給出學習方式方法的思考.

函數(shù)最值法；分離參數(shù)法；圖象法；設而不求；數(shù)學素養(yǎng)

學生解題時往往囿于模式而不能根據(jù)特性跳出模式，導致過程冗長，事倍功半.本文對兩道導數(shù)試題進行分析求解，以期幫助學生提高審題的敏感性，思維的深刻性，方法適切性、過程的合理性.

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+∞)內是增函數(shù)，求k的取值范圍；

(Ⅱ)當x>0時，不等式f(x)

分析 判斷函數(shù)單調性的常見方法為定義法、導數(shù)法、復合函數(shù)法、圖象法等，學生更喜歡選擇“功能強大”的導數(shù)法.對于含有參數(shù)的不等式(或方程)問題，確定參數(shù)取值范圍的基本方法是函數(shù)最值法、分離參數(shù)法、圖象法等，學生往往優(yōu)選分離參數(shù)法.

又當k=-1時，f(x)是常數(shù)函數(shù)，所以k>-1.即k的取值范圍為(-1,+∞).

解法2 當x>0時，f(x)0)，則m′(x)=k-1-ln(x+1)，令m′(x)=0，得x=ek-1-1.

(ⅰ)當k≤1時，函數(shù)m(x)在(0,+∞)上單調遞減，當x>0時，都有m(x)≤m(0)=-1<0，符合題意.

(ⅱ)當k>1時，函數(shù)m(x)在(0,ek-1-1)上單調遞增，在(ek-1-1,+∞)上單調遞減.當x>0時，都有m(x)≤m(ek-1-1)=ek-1-k-1，要使f(x)1)，h′(x)=ex-1-1>0，所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增.又h(2)=e-3<0，h(3)=e2-4>0，所以正數(shù)k的最大值為2.

(ⅰ)當k≤0時，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上單調遞減，所以g(x)

點評 對于第(Ⅰ)問，解法1用導數(shù)法判斷函數(shù)單調性，判定條件務必準確(函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞增?f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立，且f′(x)不恒為0，減函數(shù)類似)，f(x)的分母為一次式，分子中x(最高次)的系數(shù)為參數(shù)k，故有可能為常數(shù)函數(shù).解法2通過等價變形直接利用反比例型函數(shù)的結論，事半功倍.當然也可以用函數(shù)單調性定義來求解.對于第(Ⅱ)問，解法1分離參數(shù)，此法解題的關鍵是原不等式(或方程)能分離出來參數(shù)，且分離后得到的新函數(shù)相對簡單，為后續(xù)研究函數(shù)性質奠定基礎.在判斷n(x)單調性時，遭遇h(x)零點“不可求”，通過“設而不求”遇水搭橋，求n(x)最小值時采用整體代換實現(xiàn)化歸與轉化，對學生的能力要求較高.解法4為圖象法，此法的關鍵要求兩個函數(shù)的圖象盡可能準確且差異明顯，對圖象局部模糊的部分進行放大或代數(shù)化處理，解題時盡可能規(guī)避函數(shù)的凹凸性.解答中用到了“設而不求”及下凸函數(shù)的性質.解法2與解法3均為函數(shù)最值法，通過研究函數(shù)的(定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性)性質，畫出函數(shù)的圖象，此處主要用到函數(shù)的最值性，不同的是，解法2將問題模式化：化分式為整式，此法可通過規(guī)避分式函數(shù)分子與分母求導繁雜的運算來優(yōu)化解題過程，考慮到f(x)的分子與分母均為x的“一次”式，且ln(x+1)的真數(shù)恰為f(x)的分母，直接作差(解法3)求導更容易確定導數(shù)的零點，進而判斷原函數(shù)的單調性.通過對函數(shù)特性的分析，解法3更貼近學生認知，效果更好.

解法3 由題意知f(0)=f(2)=0，即無論a為何值時，f(x)有兩個不同的零點0，2.

解無定法，貴在得法.平時學習時要各種方法一起抓，經(jīng)歷思維從膚淺到深刻的過程，比較解法差異與優(yōu)劣，力爭既見樹木又見森林，以便宏觀規(guī)劃、細微入手.

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