基于對(duì)數(shù)似然估計(jì)的目標(biāo)定位跟蹤新方法①

劉 哲, 衛(wèi)軍胡, 黃文準(zhǔn), 黃世奇(西京學(xué)院 電子信息工程系, 西安 703 )(西安交通大學(xué) 電信學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系, 西安 70049)

基于對(duì)數(shù)似然估計(jì)的目標(biāo)定位跟蹤新方法①

劉 哲1, 衛(wèi)軍胡2, 黃文準(zhǔn)1, 黃世奇11(西京學(xué)院 電子信息工程系, 西安 710123 )2(西安交通大學(xué) 電信學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系, 西安 710049)

為避免無源定位中的迭代運(yùn)算, 本文針對(duì)多站測(cè)角無源定位非線性觀測(cè)方程, 提出利用對(duì)數(shù)似然估計(jì)將其進(jìn)行偽線性化處理, 從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)位置的閉式解算. 首先, 在基于二維測(cè)角觀測(cè)量的前提下, 提出利用對(duì)數(shù)似然估計(jì)法將非線性觀測(cè)方程轉(zhuǎn)化為偽線性觀測(cè)方程的數(shù)學(xué)模型, 并推導(dǎo)出用于目標(biāo)定位算法的閉式解. 接著, 利用“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)機(jī)動(dòng)模型和卡爾曼濾波, 實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的精確跟蹤定位. 并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該閉式解的漸近最優(yōu)性,從而驗(yàn)證文中理論的有效性.

似然估計(jì); 無源定位; 目標(biāo)跟蹤; 卡爾曼濾波

無源定位技術(shù)是一種定位設(shè)備本身不發(fā)射信號(hào),僅僅是依靠被動(dòng)地接收輻射源的信息來實(shí)現(xiàn)定位的技術(shù). 它可以利用未知位置的輻射源的輻射信息, 確定出該輻射源的類型、空間和地理位置; 或者利用已知地理位置的輻射源來確定航行中物體的空間和地理位置, 這也是導(dǎo)航和制導(dǎo)定位中的一項(xiàng)重要技術(shù)手段.與有源定位技術(shù)相比, 無源定位技術(shù)具有作用距離遠(yuǎn)、隱蔽接收、不易被對(duì)方發(fā)覺等優(yōu)點(diǎn), 是現(xiàn)代一體化防空系統(tǒng)、機(jī)載對(duì)地對(duì)海攻擊以及對(duì)付隱身目標(biāo)的遠(yuǎn)程預(yù)警系統(tǒng)的重要組成部分, 對(duì)于提高系統(tǒng)在電子戰(zhàn)環(huán)境下的生存能力和作戰(zhàn)能力具有重要作用, 因此無源定位跟蹤技術(shù)一直是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn).

無源定位是通過觀測(cè)站接收來自目標(biāo)的無線電信號(hào), 并從信號(hào)中挖掘出用于定位的觀測(cè)量. 一般的觀測(cè)量包括到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival, TOA)[1], 接受信號(hào)強(qiáng)度(Received Signal Strength, RSS)[2], 到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival, TDOA)[3-7], 到達(dá)方位角和俯仰角(ngle of Arrival, AOA)[8,9],到達(dá)頻率差(Frequency Difference of Arrival, FDOA)[10-16]等. 根據(jù)上述觀測(cè)信息均能夠建立關(guān)于目標(biāo)位置或速度與觀測(cè)站位置之間的(非線性)方程, 再通過優(yōu)化求解該方程即可獲得關(guān)于目標(biāo)位置或速度的參數(shù)信息. 近些年來, 基于上述觀測(cè)量的目標(biāo)定位算法已相繼提出, 其中包括Taylor 級(jí)數(shù)迭代算法[8,13], 總體最小二乘(Total Least Squares, TLS) 算法[12], 約束加權(quán)最小二乘(Constrained Weighted Least Squares, CWLS)算法[17], 約束總體最小二乘(Constrained Total Least Squares, CTLS)算法[7,14], 結(jié)構(gòu)總體最小二乘(Structured Total Least Squares, STLS)算法[9]. 然而, 上述算法大都需要迭代運(yùn)算, 這除了帶來較復(fù)雜的運(yùn)算量外, 還會(huì)出現(xiàn)迭代發(fā)散和局部收斂等問題.

為避免無源定位中的迭代運(yùn)算, 本文針對(duì)多站測(cè)角無源定位非線性觀測(cè)方程, 提出利用對(duì)數(shù)似然估計(jì)將其進(jìn)行偽線性化處理, 從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)位置的閉式解算. 首先, 在基于二維測(cè)角(方位角和俯仰角)觀測(cè)量的前提下, 提出利用對(duì)數(shù)似然估計(jì)法將非線性觀測(cè)方程轉(zhuǎn)化為偽線性觀測(cè)方程的數(shù)學(xué)模型, 并推導(dǎo)出用于目標(biāo)定位算法的閉式解. 接著, 利用“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)機(jī)動(dòng)模型和卡爾曼濾波, 實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的精確跟蹤定位. 并通過仿真實(shí)驗(yàn)證明閉式解的定位性能均能夠達(dá)到克拉美羅下限(Cramér-Rao Bound, CRB), 從而驗(yàn)證文中理論分析的有效性.

1 問題描述

在直角坐標(biāo)系下, 假設(shè)觀測(cè)站i的位置分別為(xi, yi, zi), i=1,2,…,N, 飛行目標(biāo)的空間位置在k時(shí)刻為(xk,yk,zk), 觀測(cè)站i測(cè)得飛行目標(biāo)在k時(shí)刻的方位角為Ai,k和俯仰角為Ei,k. 在存在測(cè)量噪聲情況下, Ai,k和Ei,k可以用下式表示:

重新定義測(cè)量序列, 用向量ak表示為:

由于噪聲序列ni,k和ei,k是互不相關(guān)的零均值高斯隨機(jī)變量, 方差分別為σi2,k和εi2,k. 噪聲序列bk是2N.維向量, 均值為0, 方差矩陣由下式給出:

為了利用含噪聲項(xiàng)向量ak估計(jì)飛行目標(biāo)在k時(shí)刻的位置(xk,yk,zk), 我們定義如下向量sk:

向量元素(xk,yk,zk)給出了飛行器在k時(shí)刻的位置, (,)給出了k時(shí)刻飛行器在x, y, z方向上的飛行速度,給出了k時(shí)刻飛行器在x, y, z方向上的飛行加速度.

假定sk的最大似然估計(jì)和它的誤差協(xié)方差矩陣pk/k-1先于ak被計(jì)算出來. s?k/k-1和pk/k-1定義如下形式向量:

我們研究的問題是如何用新的量測(cè)序列ak更新sk的最大似然估計(jì)和誤差協(xié)方差矩陣pk/k-1. sk的更新估計(jì)將用表示, 更新誤差協(xié)方差矩陣用pk/k表示.

2 對(duì)數(shù)似然估計(jì)的目標(biāo)定位跟蹤法

2.1 對(duì)數(shù)似然函數(shù)求解

因?yàn)樽畲笏迫还烙?jì)是漸近的高斯函數(shù)分布, 因此我們可以假定估計(jì)值s?k/k-1的概率密度函數(shù)是均值為sk, 方差為pk/k-1的高斯函數(shù).的概率密度函數(shù)f( s?k/k-1)定義為:

因?yàn)樵谑?7)中, bk是均值為0, 方差為Rk的高斯高斯隨機(jī)向量, 所以向量a是均值為ao, 方差為Rkkk的高斯隨機(jī)向量. 因此ak的概率密度函數(shù)g( ak)由下式給出:

這里常數(shù)項(xiàng)被省略. 在給定s?k/k-1和ak的條件下,為了得到sk的最大似然估計(jì), 必須最小化-L( sk), 表示如下:

2.2 近似對(duì)數(shù)似然估計(jì)函數(shù)推導(dǎo)

根據(jù)式(13)和式(14), 飛行目標(biāo)位置坐標(biāo)狀態(tài)變量xk, yk, zk與測(cè)量值A(chǔ)i,k和Ei,k存在非線性形式.為了得到狀態(tài)變量與測(cè)量量之間的線性關(guān)系, 我們將在線性化這兩個(gè)等式.

對(duì)式(13)在s?k/k-1進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開, 忽略掉高次項(xiàng), 得到下式:

通過對(duì)量測(cè)Ai,k和Ei,k重復(fù)上面提到的線性化過程, 可以得到下面?zhèn)螠y(cè)量向量:

這里:

將上式計(jì)算結(jié)果代入式(15), 可以得到-L( sk)另外一個(gè)表達(dá)式:

因此, 為了得到狀態(tài)向量sk在k時(shí)刻的最大似然估計(jì),,我們必須最小化-L( sk).

因?yàn)?▽2(-L( s))=2(p-1+HTR-1H)≥0, 所以式k k/ k-1kkk (23)求出的s?k/k是全局最小值. 在式(23)中Gk的定義為:

矩陣Gk叫增益矩陣, , 經(jīng)變換后得到得到下面的等式:

第二步: 計(jì)算

第三步: 計(jì)算

這里, F表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣, T表示采樣間隔, ax, ay,az表示x, y, z方向機(jī)動(dòng),a表示隨機(jī)加速度的均值(加速據(jù))時(shí)間常數(shù)的倒數(shù). W表示狀態(tài)噪聲, 服從零均值高斯分布, 方差為Q:

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證算法的可行性, 我們作以下三種仿真分析.

第一種: 設(shè)目標(biāo)在平面上作勻加速運(yùn)動(dòng), 起始坐標(biāo)在原點(diǎn), 起始速度v=2m/s, 加速度a=0.2m/s2.

00角度測(cè)量誤差服從均值為0, 方差為0.001o的高斯分布.仿真中取T＝1s, 機(jī)動(dòng)常數(shù)為10, 兩個(gè)觀測(cè)站的位置o1(0,50)、o2(0,100). 圖1給出了跟蹤曲線結(jié)果, 圖2給出了速度估計(jì)結(jié)果, 圖3給出了加速度估計(jì)結(jié)果. 由圖可以看出位置、速度, 加速度估計(jì)值和理論值很接近.位置的均方根誤差0.032, 速度的均方根誤差為0.0897,加速度均方根誤差0.176.

第二種: 設(shè)目標(biāo)在平面上作s型運(yùn)動(dòng), 起始坐標(biāo)在原點(diǎn). 其運(yùn)動(dòng)曲線由下面方程決定:

初始條件同上. 圖4給出了跟蹤曲線結(jié)果, 圖5給出了速度估計(jì)結(jié)果, 圖6給出了加速度估計(jì)結(jié)果. 由圖可以看出位置、速度, 估計(jì)值和理論值很接近, 加速度估計(jì)值與理論值相差25%, 在一定誤差范圍內(nèi), 這種估計(jì)結(jié)果可以接受. 經(jīng)過計(jì)算位置的均方根誤差0.16, 速度的均方根誤差為0.267, 加速度均方根誤差0.47.

在經(jīng)過100次蒙特卡羅仿真后, 雖然每次估計(jì)的曲線不同, 但統(tǒng)計(jì)結(jié)果基本相同, 尤其是位置估計(jì)相對(duì)誤差小于4%. 這說明采用上述不僅可以獲得高精度目標(biāo)定位精度, 而且提供了精度較高的速度和加速度估計(jì). 但是, 當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜時(shí), 加速度的估計(jì)精度可能下降.

圖1 位置估計(jì)曲線

圖2 速度估計(jì)曲線

圖3 加速的估計(jì)曲線

圖4 位置估計(jì)曲線

圖5 速度估計(jì)曲線

圖6 加速度估計(jì)曲線

第三種, 仿真條件兩觀測(cè)站的位置坐標(biāo)分別為: (-40km, 0, 0), (-40km, 0, 0), 采樣時(shí)間間隔為1s, 方位角和俯仰角的觀測(cè)誤差為5mrad, 目標(biāo)的初始位置是( - 10 km ,50 km ,10 km). 運(yùn)動(dòng)軌跡分三個(gè)階段:

運(yùn)動(dòng)階段1: 勻速直線運(yùn)動(dòng),各方向分速度為: vx=0.2,vy=0.1,vz=0, 運(yùn)行時(shí)間為1500s;

運(yùn)動(dòng)階段2: 勻速圓周運(yùn)動(dòng), 角速度為0.157rad/s,向心加速度為74m/s2, 線速度為471m/s , 圓半徑為3km, 運(yùn)行時(shí)間為500s;

運(yùn)動(dòng)階段3: 勻速直線運(yùn)動(dòng),各方向分速度為:vx=0.2,vy=0.1,vz=0, 運(yùn)行時(shí)間為1000s.

本文經(jīng)過100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn), 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示, 有實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出, 利用本文方法對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行計(jì)算, 其位置估計(jì)均方根誤差(RMS)漸近達(dá)到了克拉美羅下限.

圖7 本文方法位置估計(jì)RMS與克拉美羅下限

4 結(jié)論

根據(jù)信號(hào)估計(jì)理論, 最大似然估計(jì)精度可以達(dá)到克拉美羅下限, 是一種漸近的最優(yōu)估計(jì), 所以為避免無源定位中的迭代運(yùn)算, 本文針對(duì)多站測(cè)角無源定位非線性觀測(cè)方程, 提出利用對(duì)數(shù)似然估計(jì)將其進(jìn)行偽線性化處理, 從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)位置的閉式解算. 首先,在基于二維測(cè)角(方位角和俯仰角)觀測(cè)量的前提下,提出利用對(duì)數(shù)似然估計(jì)法將非線性觀測(cè)方程轉(zhuǎn)化為偽線性觀測(cè)方程的數(shù)學(xué)模型, 并推導(dǎo)出用于目標(biāo)定位算法的閉式解. 接著, 利用“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)機(jī)動(dòng)模型和卡爾曼濾波, 實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的精確跟蹤定位. 并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證閉式解的定位性能均能夠達(dá)到克拉美羅下限,從而驗(yàn)證文中理論分析的有效性.

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New Object Tracking and Location Method Based on Logarithm Likelihood Estimation

LIU Zhe1, WEI Jun-Hu2, HUANG Wen-Zhun1, HUANG Shi-Qi11(Department of Electronic and Information Engineering, Xijing University, Xi’an 710123, China)2(Computer Science and Technology Department of Telecommunications College, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

In order to avoid the iterative computations in passive location, based on the nonlinear observation equation of multi station passive location, a closed calculation is presented by converting the nonlinear measurement equations into the pseudo-linear equalities, utilizing Logarithm Likelihood Estimation method. First, a mathematical model for the pseudo-linearization of two dimensional nonlinear angle measurement equations is formulated and then the closed form solution for the target location algorithm is derived. Subsequently, we realize precisely tracking and location of objects based on current statistical model. Their theoretical location performances are proved to be able to attain the corresponding Cramér-Rao bound (CRB) and the simulation experiments are conducted to verify the effectiveness of the theoretical analysis in this paper.

likelihood estimation; passive location; object location; Kalman filtering

國(guó)防重點(diǎn)預(yù)研項(xiàng)目(20157648)

2016-07-02;收到修改稿時(shí)間:2016-10-08

10.15888/j.cnki.csa.005724