交換環(huán)上上三角矩陣李代數(shù)的李三次導子

周麗麗

(晉中學院數(shù)學系，山西 晉中 030600)

交換環(huán)上上三角矩陣李代數(shù)的李三次導子

周麗麗

(晉中學院數(shù)學系，山西 晉中 030600)

為進一步研究導子，給出了李三次導子的概念，并利用其在矩陣基上的作用, 將含有單位元的交換環(huán)上上三角矩陣李代數(shù)的任意一個李三次導子分解為內三次導子、中心三次導子之和, 推廣了導子的概念.

上三角矩陣李代數(shù); 導子; 李三次導子; 交換環(huán)

引言

設R為含單位元的交換環(huán),L為R上的李代數(shù). 對任意的X,Y∈L，若存在一個映射φ：L→L,有φ([X,Y])=[φ(X),Y]+[X,φ(Y)], 則稱φ為L上的一個導子.

導子在現(xiàn)代數(shù)學的研究中,發(fā)揮了不可缺少的作用.例如在20世紀40年代，Picard和Vessiot就是利用導子這個工具發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的Galois理論可以轉化為通常的線性微分方程的理論.近幾十年來，關于導子及導子推廣的課題不斷提出，大量的結論不斷涌現(xiàn),參看文獻[2]～[11].本文給出了李代數(shù)上李三次導子的概念，它是導子概念的另一種推廣，并進而決定了含有單位元的交換環(huán)上上三角矩陣李代數(shù)的所有李三次導子的具體形式.

1 基本概念和主要定理

設R是含有單位元的交換環(huán),L是R上的李代數(shù),φ:L→L是一個映射,且對任意的X,Y,Z∈L, 有

φ([[X,Y],Z])=[[φ(X),Y],Z]+[[X,φ(Y)],Z]+[[X,Y],φ(Z)]

則稱φ為L上的李三次導子.

從而易見, 當φ是L上的導子時, 它必定是L上的李三次導子，故李三次導子概念是導子概念的一種推廣.但是反過來, 卻不一定成立.以下例子說明了這點.

例 1 設Nn(R)為含幺環(huán)上嚴格上三角矩陣組成的李代數(shù)，

可以驗證這是Nn(R)的一個李三次導子，但它不是導子.

設N1=N,N2=[N,N1],N3=[N,N2],…則它們?yōu)镹的降中心鏈, 且每一Nk都為Tn(R)的理想.

對大于1的正整數(shù)n, 設1≤k≤n-1, 則存在兩個非負整數(shù)q、r，且r≤k-1，使得n=kq+r, 令Dk=Diag(Ek,2Ek,…,qEk,(q+1)Er)∈Dn(R),k=1,2,…,n-1.式中Ek為k×k單位矩陣.如果r=0，則令Dk=Diag(Ek,2Ek,…,qEk).

現(xiàn)在構造Tn(R)的幾個標準的李三導次子.

1) 內三次導子

對任意的X∈Tn(R),那么映射adX:Tn(R)→Tn(R),Y[X,Y]是由X誘導的Tn(R)的一個導子, 稱它為內三次導子.

2) 中心三次導子

φ(D+X)=(D)E,?D∈Dn(R),X∈Nn(R)

可以證得φ是Tn(R)上的一個李三次導子, 稱其為由誘導的中心三次導子.

主要定理：

定理1 設R是含有單位元的交換環(huán)，Tn(R)為其上的n階上三角矩陣組成的李代數(shù).若映射φ:

Tn(R)→Tn(R)為Tn(R)上的李三次導子，則φ=adT+φ，其中adT為內三次導子,φ為中心三次導子.

2 主要定理的證明

下面分三步來證明定理1.

第一步: 設φ為Tn(R)上的李三次導子, 對任一個對角矩陣H∈Dn(R), 存在上三角矩陣T∈Tn(R),有(φ-adT)(H)∈Dn(R).

對任意的H∈Dn(R), 假設

因[D1,[D1,H]]=0,用φ作用于兩端，可得：

[φ(D1)，[D1,H]]+[D1,[φ(D1),H]]+[D1,[D1,φ(H)]]=0

由于[φ(D1),[D1,H]]=0，進而有[D1,[H,φ(D1)]]=[D1,[D1,φ(H)]],因此

比較等式兩端,對任意的1≤i

(i(H)-j(H))aij(D1)=(i(D1)-j(D1))aij(H)

取j=i+1,有：(i(H)-i+1(H))ai,i+1(D1)=(i(D1)-i+1(D1))ai,i+1(H).

ai,i+1(H)=(i+1(H)-i(H))ai,i+1(D1),i=1,2,…,n-1

φ(H)∈Dn(R)+N2.若n=2, 則定理的證明已完成; 若n>2,對任意的H∈Dn(R),可設

由[D2,[D2,H]]=0, 可得：

[φ(D2),[D2,H]]+[D2,[φ(D2),H]]+[D2,[D2,φ(H)]]=0

由于[φ(D2),[D2,H]]=0,進而有[D2,[H,φ[D2]]=[D2,[D2,φ(H)]]

因此可得：

比較等式兩端,對任意的1≤i

(i(H)-j+1(H))bi,j+1(D2)=(i(D2)-j+1(D2))bi,j+1(H),

取j=i+1,有

(i(H)-i+2(H))bi,i+2(D2)=(i(D2)-i+2(D2))bi,i+2(H).

bi,i+2(H)=(i+2(H)-i(H))bi, i+2(D2),i=1,2,…,n-2

φ(H)∈Dn(R)+N3，若n=3,定理的證明已完成.

若n>3,重復上述步驟,經過n-2步,可設φ(H)∈Dn(R)+Nn-1.對任意的H∈Dn(R), 設：

φ(H)≡C1,n(H)E1,n(mod(Dn(R)),C1,n(H)∈R

同理由[Dn-1,[Dn-1,H]]=0, 可得：

[φ(Dn-1),[Dn-1,H]]+[Dn-1,[φ(Dn-1),H]]+[Dn-1,[Dn-1,φ(H)]]=0

由于[φ(Dn-1),[Dn-1,H]]=0,進而有[Dn-1,[H,φ[Dn-1]]=[Dn-1,[Dn-1,φ(H)]]，

因此可得:

(1(H)-n(H))(1(Dn-1)-n(Dn-1))c1,n(Dn-1)=

(1(Dn-1)-n(Dn-1))(1(Dn-1)-n(Dn-1))c1,n(H)

取Tn=c1,n(Dn-1)E1,n.則(φ-adTn)(H)∈Dn(R). 記T=T1+T2+…+Tn,則(φ-adT)(H)∈Dn(R). 記φ1=φ-adT, 則φ1(H)∈Dn(R).

第二步： 對任意的H∈Dn(R), 若φ1(H)∈Dn(R), 則存在H0∈Dn(R), 對任意的1≤i

對任意的1≤i

取D∈Dn(R), 使得i(D)-j(D)=0, 則有：

氣象站位于甘肅酒泉市金塔縣境內，地處東經98°30'00"，北緯 40°19'58.8"，北靠黑山，地處戈壁，地勢平坦，場地開闊。金塔縣位于甘肅省河西走廊中段北部邊緣，東、北與內蒙古額濟納旗毗連，西面與甘肅嘉峪關、玉門、肅北接壤，南與酒泉市和張掖地區(qū)的高臺縣為鄰。

[D,[D,Eij]]=(i(D)-j(D))(i(D)-j(D))Eij=0

用φ1作用等式兩端可得：

[φ1(D),[D,Eij]+[D,[φ1(D),Eij]]+[D,[D,φ1(Eij)]]=0

進一步可得：

(φ1-adH0)(Ei,i+1)=0. 記φ2=φ1-adH0. 則有：

φ2(Ei,i+1)=0,i=1,2,…,n-1

φ2(Eij)=bijEij,j=i+2,…,n

對任意的H∈Dn(R)，有[H,[H,Ei,i+1]]=(i(H)-i+1(H))2Ei,i+1,用φ2作用于兩端可得：

2(i(H)-i+1(H))(i(φ2(H))-i+1(φ2(H)))Ei,i+1=0

由于H的任意性,故i(φ2(H))-i+1(φ2(H))=0,所以φ2(H)=rHE,rH∈R.

當n≥3時,由[[Ei,i+1,Ei+1,i+2],H]=(i+2(H)-i(H))Ei,i+2，用φ2作用于兩端可得φ2(Ei,i+2)=0.

當1≤k

φ2(Ekl)=0.

故對任意1≤i

第三步:對任意的H∈Dn(R)，存在φ，使得(φ2-φ)(H)=0.

由第二步知,?H∈Dn(R),φ2(H)=rHE.取=rH,則(H)=rH.故存在φ,使得

(φ2-φ)(H)=0,記φ3=φ2-φ.

綜上,對任意的1≤i≤j≤n,有φ3(Eij)=0.從而φ3=0.故φ=adT+φ.

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Lie Triple Derivations of the Lie Algebra of Upper Triangular Matrice over Commutative Rings

ZHOU Li-li

(Department of Mathematics, Jinzhong University, Jinzhong Shanxi 030600, China)

For the further study of derivations, the paper gives the concept of Li triple derivations and uses its effect in the matrix basis to decompose any triple derivation of Lie algebras of triangular matrices over commutative rings with unit elements into the sum of three inner derivations and the central three derivations, which generalizes the concept of derivations.

Lie algebra of upper triangular matrices; derivations; Lie triple derivation; commutative rings

1673-2103(2017)02-0001-04

2016-11-20

周麗麗(1985-)，女，山東菏澤人，助教，碩士，研究方向：代數(shù)及應用.

O152.5

A