一類 Rosenau方程Cauchy問題解的存在性和爆破

付庭鵬, 王 穎

(電子科技大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 611731)

一類 Rosenau方程Cauchy問題解的存在性和爆破

付庭鵬, 王 穎*

(電子科技大學 數(shù)學科學學院, 四川 成都 611731)

在一維空間中研究一類帶阻尼Rosenau方程的Cauchy問題,首先用壓縮映射原理得到局部解的存在性和唯一性,討論整體解的存在性,最后用凸性原理得到解的爆破.

Rosenau方程; Cauchy問題; 整體解; 爆破

1 預(yù)備知識

本文討論帶阻尼Rosenau方程的Cauchy問題

(1)

u(x,t)是未知函數(shù),f(s)是已知非線性函數(shù),φ(x)和ψ(x)是已知初值函數(shù),α是常量,下標t表示對t的偏導.

經(jīng)典Rosenau方程為

(2)

和

(3)

文獻[1]證明了(1)式Cauchy問題解的存在性和唯一性;文獻[2]證明了Rosenau方程(2)的解在活動邊界區(qū)域的存在性;文獻[3]用Galerkin有限元方法討論了(2)式在一維空間中的數(shù)值逼近,并得到了最優(yōu)H2估計和次最優(yōu)L2模估計;文獻[4]給出了(3)式Cauchy問題解的存在性和唯一性證明;文獻[5]證明了在α+β+γ=1時小振幅解的衰減性和散射;文獻[6]研究了如下含流體阻尼項IMBq方程的Cauchy問題

(4)

并得到其解的整體存在性和爆破;文獻[7]得到廣義阻尼IBq方程(4)的小振幅解的整體存在性和漸近行為,結(jié)果表明阻尼項對Cauchy問題的解有影響;文獻[8]考慮了推廣的多維非線性方程的Cauchy問題

(5)

2 局部解的存在唯一性

用壓縮映射原理證明問題(1)局部解的存在唯一性.

引理 2.1[9]假設(shè)f(u)∈Ck(R),f(0)=0,u∈Hs∩L∞,且k=[s]+1,s≥0,則當‖u‖∞≤M有

K1(M)是依賴于M的常數(shù).

引理2.2[9-10]假設(shè)f(u)∈Ck(R),f(0)=0,u∈Hs∩L∞,且k=[s]+1,s≥0,則當‖u‖∞≤M,‖v‖∞≤M有

‖u‖Hs≤M,‖v‖Hs≤M,其中K2(M)是依賴于M的常數(shù).

引理 2.3[8]若1≤p≤∞,對幾乎所有的t,u(x,t)∈Lp(R),且若I?[0,∞),函數(shù)t→‖u(·,t)‖p屬于L1(I),則有

引理 2.4 設(shè)s∈R,T>0,φ∈Hs,ψ∈Hs,且h∈L1([0,T];Hs-2),則Cauchy問題

(6)

存在唯一解u∈C([0,T];Hs)∩C1([0,T];Hs),且對于所有的0≤t≤T,u滿足

(7)

證明 對(6)式做Fourier變換得

(8)

注意到

并且

所以有

和

于是(7)式得證.

定義函數(shù)空間

其范數(shù)為

易知X(T)為Banach空間.由s>1/2和初值條件φ∈Hs,ψ∈Hs,令A(yù)=‖φ‖Hs+‖ψ‖Hs有

顯然,對于任一固定的A>0和T>0,Y(A,X)是X(T)的一個非空有界閉凸子集.

由Sobolev嵌入定理,若u∈X(T),u∈C([0,T];L∞),則‖u‖L∞≤CS‖u‖Hs.

令ω∈Y(A,T),考慮如下線性方程

(9)

令S表示ω到(9)式的解的映射,初值為(1)式中已知條件.需要證明:若選擇適當?shù)腡、S,有唯一指向Y(A,T)的映射,需要用到壓縮映射原理和引理2.1.首先證明下面的引理.

引理 2.5[11]假設(shè)s>1/2,φ∈Hs,ψ∈Hs且f(u)∈C[s]+1(R),若T相對于A足夠小,則S是Y(A,T)到自身的一個壓縮映射.

證明 首先證明T足夠小時,S是自身的映射.設(shè)ω∈Y(A,T)已知,定義

由引理2.3易知

其中K1(A)是依賴于A的常數(shù).由上面不等式得到h(x,t)∈L1([0,T];Hs).由引理2.4知,若給定(6)式中初值,則(9)式的解u=S(ω)屬于C([0,T];Hs)∩C1([0,T];Hs)且

讓T足夠小,滿足

(10)

則‖Sω‖X(T)≤A,所以S(Y(A,T))?Y(A,T).

(11)

由引理2.3和2.4得

所以有

令T足夠小,使(10)式成立,且

于是得到‖U‖X(T)<‖W‖X(T),則S:Y(A,T)→Y(A,T)是完全壓縮的,引理得證.

定理 2.1 假設(shè)引理2.5的條件成立,則(1)式存在定義在最大時間區(qū)間[0,T0)上唯一局部解,且u(x,t)∈C([0,T0);Hs)∩C1([0,,T0);Hs),并且若

則T0=∞.

證明 由引理2.5和壓縮映射原理,選擇合適的T>0,S有唯一固定的解u(x,t)∈Y(A,T),且是(1)式的強解.對于每一個T>0,不難證明解u∈X(T′)的唯一性.

事實上,令u1,u2∈X(T′)是(1)式的2個解,令u=u1-u2,則有

(13)

由空間X(T′)的定義,s>1/2和Sobolev嵌入定理,有‖ui(t)‖∞≤C1(T′),i=1,2,且0≤t≤T′

其中C2(T′)是依賴于C1(T′)的常數(shù).由Young不等式、Poincaré不等式,即‖w‖2≤λ0‖w‖2,?是正常數(shù)得

C3(T′)是依賴于C2(T′)的常數(shù),于是得

(14)

由Gronwall不等式,得到‖u‖2+‖ut‖2≡0,0≤t≤T′,于是u≡0,0≤t≤T′,所以(1)式有至多一個解屬于S(T′).

現(xiàn)令[0,T0)為u∈X(T0)的最大存在區(qū)間.下面證明若(12)式滿足,則T0=∞.

假設(shè)(14)式成立,且T0<∞.對于每一個T′∈[0,T0),考慮Cauchy問題

由(12)式得

K是獨立于T′∈[0,T0)的正常數(shù).由引理2.2和壓縮映射原理可知:存在一個常數(shù)T1∈(0,T0),使得對每個T′∈[0,T0),(15)式有唯一解v(x,t)∈X(T1).令T′=T0-T1/2且定義

(16)

3 整體解的存在唯一性

證明(1)式整體解的存在唯一性.首先對(1)式作一個局部解的先驗估計.

(17)

其中Λ-αu=F-1[|ξ|-αFu],F和F-1分別表示在R上的Fourier變換和Fourier逆變換.

證明 由(1)式得

(18)

(·,·)表示L2空間的內(nèi)積運算.(18)式在區(qū)間[0,t]上對t積分,得到(17)式.引理得證.

定理 3.1 設(shè)s>2,φ∈Hs,ψ∈Hs,Λ-1ψ∈L2,F(φ)∈L1,f(u)∈C[s]+1(R),F(u)≥0,或f′(u)有下界,即對任意s∈R,存在一個常數(shù)A0,使得f′(s)≥A0.(1)式存在一個整體解u∈C([0,∞);Hs)∩C1([0,∞);Hs).

證明 首先證明s=2的情況.若F(u)≥0,則由(17)式得

再由Gronwall不等式得

(19)

有

再由Gronwall不等式得

(20)

由文獻[10]知

(21)

由定理2.1,可知(1)式存在唯一的整體解

現(xiàn)證明s>2的情況.由(7)式中的估計得

(22)

由(21)、(22)式和‖u(t)‖∞<∞得

綜上所述,(1)式存在唯一的整體解u∈C([0,∞);Hs)∩C1([0,∞);Hs),且Λ-1ut∈H2.

4 解的爆破

根據(jù)凸性原理來討論(1)式解的爆破[12-16].首先,給出引理4.1.

引理4.1[17]設(shè)t≥0,I(t)是一個二階可導的正函數(shù),滿足不等式

(23)

如果以下條件有一個成立:

3)E(0)>0且

則(1)式的解u(x,t)在有限時間內(nèi)爆破.

證明 設(shè)T=+∞,令

(24)

其中β,τ>0(會在后面給出其定義),則有

(25)

因此

(26)

由(1)式得

(27)

由Cauchy不等式得

(28)

由(24)～(28)式知

(29)

由(17)式得到

則由(23)和(29)式知

(30)

若E(0)=0,令β=0,由(29)式知

(31)

定義J(t)=(I(t))-λ,其中λ=μ/4,則有

(32)

由條件3)知J′(0)<0,令

(33)

由J′(t)的連續(xù)性知,t*是正的,在(32)式的兩邊乘以2J′(t)得

(34)

對(34)式兩邊積分得

由條件3)知

因此,由J′(t)的連續(xù)性知

(35)

其中0≤t

存在T1滿足J(T1)=0,其中

0

因此,I(t)在T1處趨于無窮大,在條件1)、2)、3)任何一個滿足的情況下,I(t)在T1處均趨于無窮大,這與最大時間存在值是無限的相矛盾,因此最大時間存在值是有限的.完成證明.

[1] MI A P. On the Rosenau equation[J]. Comput Appl Math,1990,9(2):145-152.

[2] BARRETO R K, DE CALDAS C S Q, GAMBOA P, et al. Existence of solutions to the rosenau and benjamin-bona-mahony equation in domains with moving boundary[J]. Elec J Diff Eqns,2004,35(2):281-286.

[3] CHUNG S K, HA S N. Finite element Galerkin solutions for the Rosenau equation[J]. Appl Anal,1994,54(1):39-56.

[4] WANG S, XU G. The Cauchy problem for the Rosenau equation[J]. Nonlinear Anal:TMA,2009,71:456-466.

[5] WANG H, WANG S. Decay and scattering of small solutions for Rosenau equation[J]. Appl Math Comput,2011,218(1):115-123.

[6] POLAT N, KAYA D, TUTALAR H I. Blow-up of solutions for the damped boussinesq equation[J]. Zeitschrift Für Naturforschung,2014,A60(7):473-476.

[7] WANG S, XU H. On the asymptotic behavior of solution for the generalized IBq equation with hydrodynamical damped term[J]. Zeitschrift Für Angewandte Mathematik Und Physik Zamp,2012,252(252):4243-4258.

[8] POLAT N, ERTAS A. Existence and blow-up of solution of Cauchy problem for the generalized damped multidimensional Boussinesq equation[J]. J Math Anal Appl,2009,349(1):10-20.

[9] WANG S, XU G. The Cauchy problem of the generalized double dispersion equation[J]. Nonlinear Anal:TMA,2006,64(1):159-173.

[10] DURUK N, ERKIP A, ERBAY H A. A higher-order Boussinesq equation in locally nonlinear theory of one-dimensional non-local elasticity[J]. IMA J Appl Math,2009,74(1):97-106.

[11] 賴紹永. 一類高階波動方程解的漸近理論[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2000,23(1):7-9.

[12] DURUK N, ERBAY H A, ERKIP A. Global existence and blow-up for a class of nonlocal nonlinear Cauchy problems arising in elasticity[J]. Nonlinearity,2009,23(1):107-118.

[13] WANG Y P, GUO B L. Blow-up of solution for a generalized Boussinesq equation[J]. Appl Math Mech,2007,28(11):1437-1443.

[14] WANG Y, MU C. Global existence and blow-up of the solutions for the multidimensional generalized Boussinesq equation[J]. Math Methods Appl Sci,2007,30(12):1403-1417.

[15] CHEN X, CHEN G. Asymptotic behavior and blow-up of solutions to a nonlinear evolution equation of fourth order[J]. Nonl Anal:TMA,2008,68(4):892-904.

[16] 蔣毅,蒲志林,孟憲良. 一類非線性Schr?dinger方程組的整體解和爆破解[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2006,29(1):22-25.

[17] POLAT N, KAYA D. Existence, asymptotic behaviour, and blow up of solutions for a class of nonlinear wave equations with dissipative and dispersive terms[J]. Zeitschrift Für Naturforschung,2014,A64(5/6):315-326.

2010 MSC：35L30; 35Q35

(編輯 鄭月蓉)

Existence and Blow-up of the Solution of the Cauchy Problem for the Generalized Rosenau Equation

FU Tingpeng, WANG Ying

(DepartmentofMathmaticsandScience,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,Sichuan)

This paper considers the well-posedness of solution for the Cauchy problem of the generalized damped Rosenau equation in R. Frist, we prove the existence and uniqueness of the local solution for the problem by the contraction mapping principle. Then the existence of the global solution of the problem is proved. Finally, we study the blow-up of the solution for the problem by the concavity method.

Rosenau equation; Cauchy problem; global solution; blow-up of solution

2016-01-19

國家自然科學基金(11571063)

O175.29

A

1001-8395(2017)01-0038-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.006

*通信作者簡介：王 穎(1979—),女,副教授,主要從事偏微分方程應(yīng)用的研究,E-mail:18215596503@163.com