基于雙動(dòng)軸數(shù)學(xué)模型的牽引電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩模擬及觀測(cè)

徐詩(shī)孟，王 英，沈 飛

1 引言

在以往研究列車牽引電機(jī)運(yùn)行特性和性能的過(guò)程中，常采用單動(dòng)軸模型［1、2］，對(duì)一臺(tái)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行模擬。但動(dòng)車組普遍為架控或車控模式，即一臺(tái)牽引逆變器同時(shí)向2～4臺(tái)牽引電機(jī)供電。為對(duì)單個(gè)轉(zhuǎn)向架上的兩臺(tái)并聯(lián)牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行模擬，本文在考慮輪軌黏著的條件下，建立了列車轉(zhuǎn)向架的雙動(dòng)軸數(shù)學(xué)模型。

文獻(xiàn)［3］采用最小階降維觀測(cè)器對(duì)電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行觀測(cè)。但動(dòng)車組電磁環(huán)境惡劣，包含大量的接觸器、繼電器、斷路器及高頻變換器等，信號(hào)測(cè)量過(guò)程中含有較大的噪聲，且易受外界干擾，使得最小階觀測(cè)器產(chǎn)生較壞的系統(tǒng)性能。本文采用全維狀態(tài)觀測(cè)器，可避免因噪聲干擾或測(cè)量誤差而對(duì)系統(tǒng)的性能造成影響。

2 轉(zhuǎn)向架雙動(dòng)軸數(shù)學(xué)模型

2.1 輪軌黏著機(jī)理

動(dòng)輪與鋼軌接觸處，在車軸載荷Wg作用下會(huì)產(chǎn)生彈性變形，形成橢圓形的接觸面。由于正壓力而出現(xiàn)的保持輪軌接觸處相對(duì)靜止而不出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)的現(xiàn)象稱為“黏著”。黏著狀態(tài)下的靜摩擦力Fμ又稱為黏著力。牽引電機(jī)作用在動(dòng)輪上的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩Mi在輪軌接觸處會(huì)形成切向力Fi，在其作用下，動(dòng)輪在鋼軌上滾動(dòng)時(shí)，車輪和鋼軌的粗糙接觸面會(huì)產(chǎn)生新的彈性形變，接觸面間會(huì)出現(xiàn)微量滑動(dòng)，即所謂“蠕滑”。輪軌黏著-蠕滑現(xiàn)象示意圖如圖1所示。

圖1 輪軌黏著-蠕滑現(xiàn)象示意圖

為反映輪軌間的蠕滑程度和黏著力的大小，提出如下兩個(gè)概念：

式中：vslip為蠕滑速度，vw是輪對(duì)輪周的線速度，vt是車體速度，F(xiàn)μ為黏著力，μ為黏著系數(shù)，W為平均軸重，g為重力加速度常數(shù)。

圖2 輪對(duì)受力分析

圖2所示為輪對(duì)的受力分析，可得到公式（3）-（5）：

牽引電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程：

輪對(duì)驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程：

齒輪箱傳動(dòng)特性表達(dá)式：

由式（3）～（5）可推得：

由輪軌黏著機(jī)理可知，當(dāng)動(dòng)輪處于純滾動(dòng)（非空轉(zhuǎn)、打滑）狀態(tài)時(shí)，圖 1 中的 Fi＝Fμ，所以 Fi與 Fμ對(duì)應(yīng)的歸算到牽引電機(jī)側(cè)的轉(zhuǎn)矩相等，即：

式（8）為各參量歸算到牽引電機(jī)側(cè)的電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)方程。Jm為牽引電機(jī)與主傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和；Jw為輪對(duì)與從動(dòng)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和；Tm為牽引電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；Ti為牽引電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩；R為輪對(duì)半徑；ig為齒輪傳動(dòng)比；ηgear為齒輪傳動(dòng)效率；ωm為單機(jī)轉(zhuǎn)速；ωw為輪對(duì)轉(zhuǎn)速；Bm，Bw為主、從動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)黏滯系數(shù)；Jequ為電機(jī)側(cè)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為電機(jī)側(cè)等效轉(zhuǎn)動(dòng)黏滯系數(shù)。

2.2 考慮黏著的轉(zhuǎn)向架雙動(dòng)軸數(shù)學(xué)模型

為了更準(zhǔn)確地對(duì)并聯(lián)電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行模擬，并分析引起并聯(lián)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩不平衡的各因素，本文采用了基于一臺(tái)轉(zhuǎn)向架的雙動(dòng)軸模型，如圖3所示。

在單軸模型基礎(chǔ)上，結(jié)合式（1）-（8）可得轉(zhuǎn)向架“雙動(dòng)軸數(shù)學(xué)模型”的表達(dá)式為：

其中：M為列車質(zhì)量；NM為動(dòng)軸數(shù)；Fd（vt）為列車單位基本阻力；μ1，μ2為動(dòng)輪 1、2與軌道間的黏著系數(shù)；ωm1、ωm2為電機(jī) 1、2 的轉(zhuǎn)子角速度；R1、R2分別為動(dòng)輪 1、2 的輪對(duì)半徑；Tm1、Tm2分別為電機(jī)1、2的轉(zhuǎn)矩；ωs為同步角速度。

圖3 雙動(dòng)軸模型

3 并聯(lián)牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩

3.1 并聯(lián)牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩模擬

列車實(shí)際運(yùn)行時(shí)，由于機(jī)械結(jié)構(gòu)的制約，同一轉(zhuǎn)向架上兩個(gè)輪對(duì)輪周線速度（vw）是近似相等的，因此

將等式（10）進(jìn)行微分處理，結(jié)合式（8）且忽略轉(zhuǎn)動(dòng)黏滯系數(shù)，可得

假設(shè)同一轉(zhuǎn)向架下兩臺(tái)牽引電機(jī)特性完全相同或相近，且忽略定子電阻Rs和漏感Lls，那么感應(yīng)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩Tm為：

其中，p為電機(jī)極對(duì)數(shù)，Rr為轉(zhuǎn)子電阻，Us為定子電壓，ωsl為轉(zhuǎn)差角速度。

因?yàn)橥晦D(zhuǎn)向架下并聯(lián)的兩臺(tái)牽引電機(jī)由一臺(tái)牽引變流器拖動(dòng)，因此，對(duì)應(yīng)電機(jī)1和2的轉(zhuǎn)矩Tm1和 Tm2，在（12）中的 Us和 ωs是相同的，所以

令 ωs＝ωm1+ωsl，根據(jù)式（10）可得，將上式帶入式（13）中可得

將式（14）帶入式（11）中可得

所以，為了真實(shí)模擬列車轉(zhuǎn)向架的機(jī)械制約關(guān)系，兩臺(tái)牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩應(yīng)滿足式（15）的要求。由式（8）可知，若忽略轉(zhuǎn)動(dòng)黏滯系數(shù)，則驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩Ti可視為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)方程中的等效負(fù)載，因此可得如圖4所示的并聯(lián)牽引電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩模型框圖。

圖4 同一轉(zhuǎn)向架制約的并聯(lián)電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩模型

上圖中的車體速度vt由圖5所示的轉(zhuǎn)向架動(dòng)力學(xué)模型產(chǎn)生，ωm1、Tm1、ωsl由圖 6 所示電機(jī)轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向矢量控制模塊給出。

圖5 轉(zhuǎn)向架動(dòng)力學(xué)模型原理框圖

圖6 轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向矢量控制模塊

3.2 并聯(lián)電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩不平衡的影響因素

3.2.1 輪徑差異

圖7 牽引電機(jī)的轉(zhuǎn)矩-轉(zhuǎn)差率曲線

設(shè)一臺(tái)轉(zhuǎn)向架上的兩組動(dòng)輪半徑分別為R1和R2，兩動(dòng)軸上的并聯(lián)電機(jī)轉(zhuǎn)速分別為n1和n2，如果 R1＞R2，則 n1＜n2。如圖 7 所示，異步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩特性偏硬，即使轉(zhuǎn)差率有細(xì)微變化，也會(huì)對(duì)并聯(lián)電機(jī)間的負(fù)荷分配造成很大的影響。輪徑差異越大，兩牽引電機(jī)間的轉(zhuǎn)矩不平衡程度就愈嚴(yán)重。

3.2.2 車速大小

由于輪徑差異的存在，同一轉(zhuǎn)向架下并聯(lián)的兩牽引電機(jī)間存在轉(zhuǎn)子角速度差值。設(shè)ω1和ω2分別為電機(jī)1和2的轉(zhuǎn)子角速度，S1和S2分別為電機(jī)1和2的轉(zhuǎn)差率，ωs為同步角速度，則

由式（16）可以看出，隨著列車運(yùn)行速度vt的提高，電機(jī)1和2之間的轉(zhuǎn)子角速度差值越來(lái)越大，電機(jī)轉(zhuǎn)差率差異也越來(lái)越大。由于電機(jī)轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)差率近似呈正比，所以同一逆變器驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)電機(jī)之間的轉(zhuǎn)矩不平衡程度會(huì)愈加嚴(yán)重。

4 牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩觀測(cè)

4.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器的建立

在列車正常運(yùn)行時(shí)，即軌面狀態(tài)（干燥/潮濕）固定，列車未發(fā)生空轉(zhuǎn)或打滑，輪軌間的黏著系數(shù)只在一個(gè)很小的范圍內(nèi)波動(dòng)，因此，在建立狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，可認(rèn)為牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩Ti為一常數(shù)。本文在此僅以一臺(tái)電機(jī)為例進(jìn)行研究。

根據(jù)式（7）和式（8）可得如下的狀態(tài)空間表達(dá)式：

由式（17）可知，狀態(tài)矢量［ω Ti］T可由Tm和ω進(jìn)行重構(gòu)（即建立狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)結(jié)果無(wú)限接近實(shí)際值）?；谑剑?7）構(gòu)建具有反饋增益矩陣的全維狀態(tài)觀測(cè)器［4、5］如下：

4.2 觀測(cè)量的估計(jì)誤差

由于本文設(shè)計(jì)的是具有反饋增益的閉環(huán)漸進(jìn)狀態(tài)觀測(cè)器，通過(guò)研究所觀測(cè)變量的估計(jì)誤差的衰減情況，便可確定觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。

牽引電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩的估計(jì)誤差［6］為：

由齊次方程的解法可得：

其中，e（0）為初始值，

5 仿真分析

基于CRH2A型動(dòng)車組參數(shù)，在Matlab/Simulink中搭建了同一轉(zhuǎn)向架制約下的并聯(lián)電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩模型和全維狀態(tài)觀測(cè)器模型。牽引電機(jī)參數(shù)可參考文獻(xiàn)［7］，表1為轉(zhuǎn)向架相關(guān)參數(shù)設(shè)置值。

表1 轉(zhuǎn)向架相關(guān)參數(shù)

圖8為牽引電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩特性仿真曲線。如圖8（a）、（b）所示，由于 R1＞R2，故 n1＜n2。牽引工況時(shí)，電機(jī)2的轉(zhuǎn)差率小于電機(jī)1的轉(zhuǎn)差率，且在同一時(shí)刻，其電磁轉(zhuǎn)矩比電機(jī)1要小，故而電機(jī)2的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩也比電機(jī)1要小。由圖8（a）、（b）還可以看出，隨著車體速度的增大，并聯(lián)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩不平衡程度愈加嚴(yán)重，且滿足式（16）的推導(dǎo)關(guān)系。由于牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩平均值與電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩平均值十分接近，故而可把列車牽引特性曲線中的電磁轉(zhuǎn)矩用驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩來(lái)替換。如圖8（c）所示，仿真結(jié)果滿足該特性曲線，低速區(qū)牽引力準(zhǔn)恒定，即隨速度升高而略有下降，這與列車黏著特性隨速度增加而下降的趨勢(shì)相適應(yīng)。

圖8 牽引電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩特性仿真曲線

P1＝-10、P2＝-10情況下的轉(zhuǎn)矩觀測(cè)特性曲線和誤差曲線如圖9所示。P1＝-100、P2＝-100情況下的轉(zhuǎn)矩觀測(cè)特性曲線和誤差曲線如圖10所示，e（0）初始值設(shè)為［1.5 0］T。

圖9 P1＝-10、P2＝-10情況下觀測(cè)器輸出特性

圖10 P1＝-100、P2＝-100情況下觀測(cè)器的輸出特性

圖9和圖10的Ti1為實(shí)際值，為觀測(cè)值。對(duì)比圖9和圖10的仿真結(jié)果可以看到，當(dāng)極點(diǎn)P1、P2均取負(fù)值且距虛軸越遠(yuǎn)時(shí)，觀測(cè)結(jié)果越好。極點(diǎn)值的合理配置，能夠加快觀測(cè)器的收斂速度，改善其動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力。

為保證全維狀態(tài)觀測(cè)器的性能穩(wěn)定和快速收斂，可按文獻(xiàn)［9］提出的方法對(duì)極點(diǎn)進(jìn)行配置。綜上所述，本文進(jìn)行仿真時(shí)，觀測(cè)器極點(diǎn)取P1＝-100，P2＝-100。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文以列車單動(dòng)軸模型為基礎(chǔ)，結(jié)合轉(zhuǎn)向架機(jī)械制約，提出了單轉(zhuǎn)向架的雙動(dòng)軸數(shù)學(xué)模型?；谠撃Ｐ蛯?shí)現(xiàn)了并聯(lián)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩模擬，建立了全維狀態(tài)觀測(cè)器，有效降低了噪聲干擾和測(cè)量誤差對(duì)值的影響?；贛atlab/Simulink的觀測(cè)器仿真結(jié)果，反映出關(guān)鍵因素對(duì)轉(zhuǎn)矩不平衡程度的影響，說(shuō)明通過(guò)恰當(dāng)?shù)臉O點(diǎn)配置，全維狀態(tài)觀測(cè)器能夠準(zhǔn)確有效地對(duì)牽引電機(jī)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行觀測(cè)。

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