測電源電動勢和內(nèi)阻實驗數(shù)據(jù)的處理方法

許文

測電源的電動勢E與內(nèi)阻r的實驗涉及到電路的設(shè)計、器材的選擇、實物連線、數(shù)據(jù)處理、結(jié)果求解、誤差分析等典型問題，具有方法靈活、內(nèi)涵豐富、綜合性強、考查頻度大等特點，深受高考命題者的青睞。該實驗原理是閉合電路的歐姆定律，而閉合電路歐姆定律的數(shù)學表達式有幾種不同的表達形式，因此這個實驗有很多變化之處與創(chuàng)新之點，特別是關(guān)于實驗數(shù)據(jù)的線性圖像處理技巧，要求學生能夠明確實驗原理，并能基于用線性圖像處理實驗數(shù)據(jù)的要求對歐姆定律的表達式進行數(shù)學推導變換，再通過線性圖像的物理意義，對問題靈活地分析與求解。本實驗能很好的考查學生的實驗遷移能力和創(chuàng)新能力。本文通過對典型實例的分析，幫助學生認識該實驗的創(chuàng)新設(shè)計思路與用線性圖像處理數(shù)據(jù)的方法，希望給考生的實驗備考復習帶來一些啟迪。

1 伏安法

1.1 實驗原理

U=E-Ir。

1.2 電路設(shè)計

伏安法電路設(shè)計一般如圖1（a）所示。

1.3 數(shù)據(jù)處理

改變R的值，測出多組U、I值，作出U-I圖線，如圖1（b）所示。圖線與U軸交點的縱坐標即為電源電動勢E的大小，電源內(nèi)阻r為圖線斜率的相反數(shù)。

例1：某研究性學習小組利用伏安法測定某一電池組的電動勢和內(nèi)阻，實驗原理如圖2（a）所示，其中，虛線框內(nèi)為用靈敏電流計G改裝的電流表A，V為標準電壓表，E為待測電池組，S為開關(guān)，R為滑動變阻器，R0是標稱值為4.0 Ω的定值電阻。

（1）已知靈敏電流計G的滿偏電流Ig=100 μA、內(nèi)阻rg=2.0 kΩ，若要改裝后的電流表滿偏電流為200 mA，應并聯(lián)一只______Ω（保留一位小數(shù)）的定值電阻R1。

（2）根據(jù)圖2中實驗原理圖，用筆畫線代替導線將圖2（b）連接成完整電路。

（3）某次實驗的數(shù)據(jù)如下，見表1：該小組借鑒“研究勻變速直線運動”實驗中計算加速度的方法（逐差法），計算出電池組的內(nèi)阻r=_________ Ω（保留兩位小數(shù)）；為減小偶然誤差，逐差法在數(shù)據(jù)處理方面體現(xiàn)出的主要優(yōu)點是_________ 。

（4）該小組在前面實驗的基礎(chǔ)上，為探究圖2（a）所示的電路中各元器件的識記阻值對測量結(jié)果的影響，用一已知電動勢和內(nèi)阻的標準電池組通過上述方法多次測量后發(fā)現(xiàn)：電動勢的測量值與已知值幾乎相同，但內(nèi)阻的測量值總是偏大。若測量過程無誤，則內(nèi)阻測量值總是偏大的原因是___________ 。（填選項前的字母）

A.電壓表內(nèi)阻的影響

B.滑動變阻器的最大阻值偏小

C.R1的識記阻值比計算值偏小

D.R0的識記阻值比標稱值偏大

解析：（1）改裝電流表擴大量程I=Ig+IgrgR1，則R1=IgrgI-Ig=1.0 Ω。

（2）連接圖如圖3所示。

（3）電流表相鄰兩次讀數(shù)之差為ΔI=20 mA，r+R0=-（U5+U6+U7+U8）-（U1+U2+U3+U4）16ΔI=5.66 Ω，可得r=1.66 Ω。這樣做的優(yōu)點是可以充分利用每一組數(shù)據(jù)。

（4）由題給出“用一已知電動勢和內(nèi)阻的標準電池組通過上述方法多次測量后發(fā)現(xiàn)：電動勢的測量值與已知值幾乎相同”，這說明電壓表內(nèi)阻很大，其分流作用很小可以忽略不計。如果電壓表的分流作用不可忽略，這會導致電源電動勢與內(nèi)阻的測量值均偏小，故A選項錯誤；滑動變阻器的作用是調(diào)節(jié)電路中總電阻的變化，不會對實驗測量帶來誤差，B選項錯誤；R1實際值偏小，計算值偏大，會導致計算電流時電流值偏小。設(shè)與靈敏電流計G并聯(lián)的電阻的計算值為R1，實際值為R1′（R1′

點評：本題中安培表由電流計G與電阻R1并聯(lián)改裝而成。當被測電源的內(nèi)阻較小時，可用一個已知阻值的定值電阻R0與電源串聯(lián)以保護電源。本題對實驗數(shù)據(jù)的處理采用了“逐差法”，體現(xiàn)出知識的遷移能力與應用能力。該題第（4）問關(guān)于實驗誤差的分析是本題的一個難點，在以上的求解中采用U-I圖像進行誤差分析，有效地突破了這個難點。

2 伏伏法

在無電流表時，可用一只電壓表測電源路端電壓，用兩只電壓表的示數(shù)差與一定值電阻來測電流，作U1-U2圖像。

例2：某同學用如圖5所示的電路測量電動勢和內(nèi)電阻。電源電動勢約為3 V，內(nèi)阻為幾歐姆；兩只直流電壓表V1、V2，量程均為0～3 V，內(nèi)阻約為3 kΩ；定值電阻R0=5 Ω；滑動變阻器R的最大阻值為50 Ω。實驗中移動滑動變阻器觸頭，讀出電壓表V1和V2的多組數(shù)據(jù)U1、U2，描繪出U1-U2圖像，如圖6所示，圖中直線斜率為k，與橫軸的截距為a，則電源的電動勢E=___________，內(nèi)阻r=___________（用k、a、R0表示）。

解析：某次實驗中兩電壓表V1和V2的示數(shù)分別為U1、U2，由閉合電路的歐姆定律有：

U2=E-U2-U1R0r

變形得：U1=-ER0r+R0+rrU2

由測量數(shù)據(jù)繪出的U1-U2圖像知，當U1=0時U2=ER0R0+r=a，k=R0+rr

解得：E=kak-1，r=R0k-1

點評：本題用V-V法測電源的E與r。在無電流表或電流表的量程不合適時，可以用雙電壓表與一定值電阻配合進行測電流。此方法是V-A法的深化與拓展。由測量數(shù)據(jù)繪出的U1-U2圖像，應由閉合電路的歐姆定律導出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合圖像的物理意義進行分析與求解。

3 安安法

在無電壓表時，可用一只電流表和定值電阻來測電壓，用兩只電流表之和測電源的電流，作I1-I2圖像。

例3：如圖7所示的電路是利用兩個電流表A1和A2測量干電池電動勢E和內(nèi)阻r的電路原理圖。圖中S為開關(guān)，R為滑動變阻器，固定電阻R1和A1內(nèi)阻之和為10 000 Ω（比r和滑動變阻器的總電阻都大得多），A2為理想電流表。實驗中移動滑動變阻器的觸頭，測出一組A1表與A2表的示數(shù)，見表2。

以I1為縱坐標、I2為橫坐標畫出所對應的I1-I2曲線。利用所得曲線求的電源的電動勢E=___________V，內(nèi)阻r=___________Ω（保留兩位小數(shù)）。

解析：設(shè)某次測量時A1表與A2表的示數(shù)分別為I1、I2。由閉合電路的歐姆定律得：E=I1（R1+RA1）+（I2+I1）r

由于A2為理想電流表，且R1和A1內(nèi)阻之和比r和滑動變阻器的總電阻都大得多，則有：

I2I1。

可得：I1=ER1+RA1-rR1+RA1I2

將表2中數(shù)據(jù)作出如圖8所示的圖線。

由圖線知I1-I2圖線在縱軸上的截距為：

ER1+RA1=1.49

直線的斜率的絕對值為：

rR1+RA1=0.6×10-3

得：E=1.49 ，r=0.60 Ω。

點評：本題用A-A法測電源的E與r。在無電壓表或電壓表的量程不合適時，可以用一電流表與一定值電阻配合進行測電壓，此方法也是V-A法的深化與拓展。問題求解時要明確實驗原理與實驗條件。本題的實驗原理是E=I1（R1+RA1）+（I2+I1）r，但由于實驗條件是A2為理想電流表，且R1和A1內(nèi)阻之和比r和滑動變阻器的總電阻都大得多，則有：I2I1，可得I1=ER1+RA1-rR1+RA1I2。這就是由測量數(shù)據(jù)繪出的I1-I2圖像的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合圖像的物理意義進行分析與求解。

4 安阻法

4.1 實驗原理

E=I（R+r）。

4.2 電路設(shè)計

安阻法電路設(shè)計如圖9（a）所示。

4.3 數(shù)據(jù)處理

方法1：將原理表達式變形為R=EI-r，改變R的值，測出多組R、I值，作出R-1/I圖線，如圖9（b）所示。圖線與R軸交點的縱坐標即為電內(nèi)阻的相反數(shù)-r，圖線斜率的絕對值即為電源電動勢E的大小。

方法2：將原理表達式變形為1I=1ER-rE，改變R的值，測出多組R、I值，作出1/I-R圖線，如圖9（c）所示。此直線的斜率的倒數(shù)為電動勢E值，直線在縱軸上的截距的絕對值乘以電動勢E為電源內(nèi)阻r。

例4：利用如圖10所示電路，可以測量電源的電動勢和內(nèi)阻，所用的實驗器材有：待測電源、電阻箱R（最大阻值999.9 Ω）、電阻R0（阻值3.0 Ω）、電阻R1（阻值3.0 Ω）、電流表A（量程為200 mA、內(nèi)阻為RA=6.0 Ω）、開關(guān)S。實驗步驟如下。

（1）將電阻箱阻值調(diào)到最大，閉合開關(guān)S。

（2）多次調(diào)節(jié)電阻箱，記下電流表的示數(shù)I和電阻箱相應阻值R。

（3）以1I為縱坐標，R為橫坐標，作1I-R圖線（用直線擬合）。

（4）求出直線的斜率k和在縱軸上的截距b?；卮鹣铝袉栴}：

①分別用E和r表示電源的電動勢和內(nèi)阻，則1/I與R的關(guān)系式為___________。

②用實驗得到的部分數(shù)據(jù)在1I-R坐標系中描出點如圖11所示。作出1I-R圖線，根據(jù)圖線求得斜率k=___________A-1Ω-1，截距b=___________A-1。

③根據(jù)圖線求得電源電動勢E=___________V，內(nèi)阻r=___________Ω。

解析：①由閉合電路的歐姆定律知I與R的關(guān)系為：

E=IRA+（I+IRAR1）（r+R0+R）

將上式變形并代入相關(guān)數(shù)據(jù)有：

1I=（R1+RA）（R0+r）+R1RA+（R1+RA）RER1

=3RE+3r+15E

②1/I-R圖線如圖12所示，k=1 A-1Ω-1；截距b=6A-1。

③1/I與R的圖線是直線，直線的k斜率為：

k=3/E=1，則E=3 V。

直線在縱軸上的截距為：3r+15E=b=6。

可得：r=1.0 Ω。

點評：本題用A-R法測電源的E與r。實驗電路設(shè)計對安培表的量程進行了擴展，且用定值電阻R0與電源串聯(lián)保護電源。由實驗原理知I與R的關(guān)系不是線性關(guān)系，不符合我們通常用函數(shù)圖像處理實驗數(shù)據(jù)的習慣，需要從數(shù)學上分析I與R的關(guān)系，將圖線化曲為直進行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合線性圖像的物理意義進行求解。

5 伏阻法

5.1 不知伏特表內(nèi)阻，可用并聯(lián)式

具體電路設(shè)計如圖13（a）。

（1）實驗原理：E=U+URr。

（2）數(shù)據(jù)處理：將原理表達式變形為1U=1E+rE·1R，改變R，測出多組R、U值，作出1/U-1/R圖線，如圖13（b）所示。圖線與1/U軸交點的縱坐標為電動勢的倒數(shù)，即：

1/E，圖線斜率的絕對值即為r/E。

5.2 已知伏特表內(nèi)阻，可用串聯(lián)式

具體電路設(shè)計如圖14（a）所示。

（1）實驗原理：E=U+URV（r+R）。

（2）數(shù)據(jù)處理：將原理表達式變形為1U=1E+rERV+1ERVR，改變R，測出多組R、U值，作出1/UR圖線，如圖14（b）所示。圖線與1/U軸交點的縱坐標為1E+rERV，圖線斜率的絕對值即為1ERV。

例5：要測量一電源的電動勢E（小于3 V）和內(nèi)阻r（約1 Ω）?，F(xiàn)有下列器材：電壓表V（0～3 V）、電阻箱（0～999.9 Ω）、定值電阻R0=2 Ω、開關(guān)和導線。某實驗小組根據(jù)所給器材設(shè)計了如圖15甲所示的實驗電路。

（1）電路中定值電阻R0的作用是保護___________（填“電源”或“電壓表”）。

（2）A同學調(diào)節(jié)電阻箱阻值R，讀出對應的電壓表讀數(shù)U，得到兩組數(shù)據(jù)：R1=2.0 Ω時，U1=224 V；R2=4.0 Ω時，U2=2.40 V。由這兩組數(shù)據(jù)可求得電源的電動勢為E=___________V，內(nèi)阻r=___________Ω（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。

（3）B同學計劃用作圖法處理數(shù)據(jù)，他調(diào)節(jié)電阻箱阻值R，得出了若干組數(shù)據(jù)，并描點連線得出了如圖16所示的圖線。圖線縱坐標表示電壓表讀數(shù)的倒數(shù)1U。圖線的橫坐標表示1R+R0。若所得圖線的斜率為k，在1U坐標軸上的截距為b，則該電源的電動勢E=___________，內(nèi)阻r=___________（用k和b表示）。

（4）比較A、B兩位同學的做法，___________同學得出的結(jié)果誤差更小。

解析：（1）電路中定值電阻R0的作用：在調(diào)節(jié)電阻箱時，使電路中的電流不至于太大而燒壞電源。

（2）由閉合電路歐姆定律得：I=ER+R0+r=UR+R0。

將題給數(shù)據(jù)代入得：E=2.8 V，r=1.0 Ω。

（3）將上式整理可得：1U=rE·1R+R0

+1E。

直線的斜率為：k=rE，直線在縱軸上的截距為：b=1E。

解得：E=1b，r=kb。

（4）B同學運用圖像處理數(shù)據(jù)，涉及的測量數(shù)據(jù)較多，誤差更小。

點評：本題用V-R法測電源的E與r。將一個已知的定值電阻R0與電阻箱串聯(lián)，以避免電源的電流過大而燒壞電源。在用線性圖像處理實驗數(shù)據(jù)時，應根據(jù)實驗原理，弄清測量的物理間的函數(shù)關(guān)系式，通過數(shù)學分析知線性圖像1U-1R+R0的物理意義，問題才能順利求解。

總之，測電源的電動勢E與內(nèi)阻r的實驗，基本方法有V-A法、A-R法、V-R法、V-V法與A-A法。但每種方法都有一些變化點與創(chuàng)新之處。如無相關(guān)電表或給出的電表量程不合適時，可將電表改裝或擴大其量程；當電源內(nèi)阻較小時，可用已知的定值電阻與電源串聯(lián)以保護電源；當電表的內(nèi)阻已知時，可將電表內(nèi)阻等效到為電源內(nèi)阻的一部分。無論哪種方法一般都需要進行多次測量以減小實驗誤差。實驗數(shù)據(jù)的處理通常采用線性圖像法，同學們要切實加強實驗基本原理的理解，從實驗原理出發(fā)，并通過相應的數(shù)學變形找出兩被測量相關(guān)的線性函數(shù)關(guān)系，作出線性圖像，利用圖像的物理意義進行分析與求解。

最后，在測電源E、r實驗操作中應注意以下幾點：①選用較舊電池。為了使電路的路端電壓變化明顯，電池的內(nèi)阻宜大些。②電流不要過大，讀數(shù)要快。干電池在大電流放電時，電動勢E會明顯下降，內(nèi)阻r會明顯增大。因此讀電表要快，且每次讀完立即斷電。③要求多次測量，且測量值的變化范圍要適當大些。④實驗數(shù)據(jù)處理時，應從實驗原理出發(fā)，用相關(guān)線性圖像處理實驗數(shù)據(jù)，得出E、r的平均值。