利用特殊點(diǎn)巧解數(shù)形結(jié)合題

王進(jìn)林

摘 要：在高考中，解決函數(shù)、解析幾何等問(wèn)題常用到數(shù)形結(jié)合思想方法。如何更好地根據(jù)代數(shù)式子所隱含的信息，發(fā)現(xiàn)圖象的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。由于條件的限制，圖象不會(huì)“漂浮不定”，總會(huì)經(jīng)過(guò)某些特殊點(diǎn)，抓住這些特殊點(diǎn)進(jìn)行研究，就可以有效地引導(dǎo)學(xué)生找到解題的突破口。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；特殊點(diǎn)；定點(diǎn)

數(shù)形結(jié)合就是要以數(shù)解形，以形助數(shù)，是高考熱點(diǎn)但也是難點(diǎn)。但對(duì)于數(shù)或形稍微復(fù)雜的題目，特別是含參數(shù)的題目，學(xué)生就一籌莫展，主要原因是不知如何畫(huà)圖、用圖，找不到解題的切入點(diǎn)。如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？我們先來(lái)了解學(xué)生的作圖習(xí)慣，畫(huà)二次函數(shù)圖象時(shí)，學(xué)生會(huì)先描出其頂點(diǎn)（或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)）；畫(huà)指數(shù)函數(shù)時(shí)，也會(huì)先描出點(diǎn)（0，1）（1，a），顯然，學(xué)生對(duì)圖象的理解，都是從某些特殊點(diǎn)開(kāi)始的。所以，為了能整體把握?qǐng)D象，我們可以先從圖象上的某些特殊點(diǎn)開(kāi)始研究，這些特殊點(diǎn)作為圖象的基本要素，影響著圖象的變化，對(duì)它們進(jìn)行重點(diǎn)分析，就容易找到解題的突破口，讓思路更清晰、準(zhǔn)確。以下我將通過(guò)幾個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明：

一、抓住函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，利于畫(huà)圖，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論的過(guò)程

例1.設(shè)a>0，討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的單調(diào)性。

這是2011年廣東省高考文科第19題，是判斷函數(shù)單調(diào)性的高考常規(guī)題型，但是全省的平均分才2.94分，足以見(jiàn)學(xué)生解答得并不好。該題中如何對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)后又如何結(jié)合定義域?qū)懗龊瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)學(xué)生而言都有一定難度。因f′（x）=■不妨令函數(shù)g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，注意到無(wú)論a取何值，函數(shù)y=g（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），且對(duì)稱(chēng)軸x=■在y軸右側(cè)。從所過(guò)定點(diǎn)（0，1）開(kāi)始分析，就能找到對(duì)a的分類(lèi)。具體解法如下：

解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）。f′（x）=■

令g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1。

①當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=1，f′（x）=■>0（x>0），f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)；

②當(dāng)a≠1時(shí)，g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1為二次函數(shù)，圖象過(guò)定點(diǎn)（0，1），且對(duì)稱(chēng)軸為x=■>0（a>0）

■

（1）當(dāng)2a（1-a）<0，即a>0時(shí)，y=g（x）圖象如圖1所示，g（x）=0在（0，+∞）只有一正根x1，此時(shí)f（x）在（0，x1）單調(diào)遞增；f（x）在（x1，+∞）單調(diào)遞減。

（其中x1=■-■）

（2）當(dāng)2a（1-a）>0且？駐=4（a-1）（3a-1）≤0，即■≤a<1時(shí)，y=

g（x）圖象，如圖2所示，g（x）≥0在定義域內(nèi)恒成立，所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

■

（3）當(dāng)2a（1-a）>0且？駐=4（a-1）（3a-1）>0，即0

■

此時(shí)f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；f（x）在（x1，x2）內(nèi)單調(diào)遞減；

綜上所述：（略）

本解法符合了學(xué)生的抓住關(guān)鍵點(diǎn)畫(huà)圖的習(xí)慣，并根據(jù)現(xiàn)有的對(duì)二次函數(shù)圖象的認(rèn)知，輕松找到分類(lèi)討論的依據(jù)，本解法的優(yōu)點(diǎn)還在于簡(jiǎn)化了對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域間的討論，使得對(duì)參數(shù)的分類(lèi)更明確，思路更為清晰，結(jié)果更明顯。

但若函數(shù)圖象所過(guò)特殊點(diǎn)不是一個(gè)定點(diǎn)，還能不能這樣處理呢？請(qǐng)看下題：

例2.已知函數(shù)f（x）=x+■+lnx，其中a∈R，求f（x）的單調(diào)區(qū)間。

本題完全可以借鑒例1的解法，具體解法如下：

解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=■，令g（x）=x2+x-a。

y=g（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，-a），對(duì)稱(chēng)軸為x=-■，開(kāi)口向上。

①當(dāng)-a≥0，即a≤0時(shí)，如圖4所示，g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

■

②當(dāng)-a<0，即a>0時(shí)，如圖5所示，g（x）=0只有一個(gè)正根x1=■且x∈（0，x1），g（x）<0即f′（x）<0；f（x）在（0，x1）內(nèi)單調(diào)遞減x∈（x1，+∞），g（x）>0即f′（x）>0；f（x）在（x1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)a≤0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a>0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，■），單調(diào)增區(qū)間為（■，+∞）。

■

雖然g（x）=x2+x-a圖象所過(guò)點(diǎn)（0，-a）中含有參數(shù)a，但由定義域的限定，點(diǎn)（0，-a）作為一個(gè)端點(diǎn)值，仍然可以以小見(jiàn)大，揭示圖象變化的規(guī)律，簡(jiǎn)化分類(lèi)討論的情況，降低難度。抓住了特殊點(diǎn)，就可以把圖象的“脈”了。

二、抓住圓錐曲線中的特殊點(diǎn)，利于用圖，找到解題思路

例3.已知直線y=k（x-2）（k>0）與拋物線y2=8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若FA=2FB，則k的值為 .

分析：如圖6，本題中拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），結(jié)合直線的方程，不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論k取何值，直線也必經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0），從這焦點(diǎn)的特殊性出發(fā)，常規(guī)的解題思路就容易形成了：運(yùn)用拋物線的定義來(lái)解題！

■

解：記拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)A作AP⊥l交于點(diǎn)P，

過(guò)B作BQ⊥l交于點(diǎn)Q，作BM⊥AP交于點(diǎn)M，

則BQ=PM=AM=■AB，所以BM=2■AM，

可得k=tan∠AFx=tan∠MAB=■=2■。

例4.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為■，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12。圓Ck：x2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點(diǎn)Ak。

（1）求橢圓G的方程；（2）求△AkF1F2的面積；（3）問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓G？請(qǐng)說(shuō)明理由。

■

這是2009年廣東高考文科19題，易求（1）：橢圓G的方程為：■+■=1，（2）：■=■×F1F2×2=■×6■×2=6■。以下重點(diǎn)分析第三問(wèn)。

A1，A2，B1，B2是橢圓G的四個(gè)頂點(diǎn)，決定著橢圓G的位置，圓Ck的半徑為■，圓心是Ak（-k，2），雖然Ak是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但Ak有其特殊性，即Ak恒在直線y=2上。不妨先判斷四頂點(diǎn)與圓Ck的位置關(guān)系，根據(jù)條件中的數(shù)量關(guān)系畫(huà)出圖象如圖7所示，顯然橢圓下頂點(diǎn)B1（0，-3）在圓Ck上，借助圖象可以猜想圓Ck不能包圍橢圓G。

嚴(yán)格證明如下：

若k≤0時(shí)，A1Ak=■>■，說(shuō)明A1在圓Ck外；

若k>0時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)A2在圓Ck外。

所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.（詳解略）

例5.已知拋物線C：y=x2的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B.問(wèn)：是否存在常數(shù)？姿（？姿>0），使得∠PFA=？姿∠PFB恒成立？若存在，求出？姿的值；若不存在，說(shuō)明理由。

這是一道探索性問(wèn)題，直接做很復(fù)雜，而根據(jù)特殊與一般的原理，我們可以在直線 上找一個(gè)特殊點(diǎn)來(lái)探路，猜想一般可能成立的結(jié)論，這樣做往往可以快速找到解題的突破口。既然要找點(diǎn)就找出特殊點(diǎn)，方便分析研究。具體解法如下：

■

解：假設(shè)存在常數(shù)？姿，使得∠PFA=？姿∠PFB成立，

如圖8取直線l與y軸的交點(diǎn)P，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知∠PFA=∠PFB，此時(shí)？姿=1。

下面只需證明點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有∠PFA=∠PFB成立。

設(shè)A（x1，x12）、B（x2，x22），易求得切線PA、PB的方程分別為：

y=2x1x-x12，……①，y=2x2x-x22，……②

由①，②知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（■，x1x2），

所以■=（x1，x12-■），■=（■，x1x2-■），■=（x2，x22-■），所以cos∠AFP=■=■，

同理cos∠BFP=■=■，所以∠PFA=∠PFB恒成立。

即存在？姿=1，使得∠PFA=？姿∠PFB恒成立。

上題的解答過(guò)程中，若沒(méi)有利用特殊點(diǎn)，解題難度可想而知，可見(jiàn)，特殊點(diǎn)如一盞明燈，照亮了我們迷茫的心，能讓我們盡快找到解題的思路。由于特殊點(diǎn)在圖形中并不難找，所以利用特殊點(diǎn)解數(shù)形結(jié)合題是可行的，也是有必要的。

通過(guò)以上例子的分析，我們清楚認(rèn)識(shí)到，以特殊點(diǎn)為突破口的解題策略，順應(yīng)學(xué)生的思維習(xí)慣，降低了解題的難度。所以，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)要充分了解學(xué)生的思維習(xí)慣，進(jìn)行合理的分析引導(dǎo)，才能讓學(xué)生深刻掌握解題方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫維剛.孫維剛高中數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2005-01.

[2]徐根弟.普遍性與特殊性在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2007（7）.