基于仿射變換下對橢圓的探討

賈慧美

[摘 要] 橢圓是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它通常會以壓軸題的形式呈現(xiàn)在各種考試中. 由于學(xué)生的運算能力以及對解析幾何方法的深層次認(rèn)識有待進(jìn)一步的提高，所以圓錐曲線方面題失分率很高. 圓作為一個基本的幾何圖形， 與圓有關(guān)的定理舉不勝舉，但對于橢圓則不然.通過仿射變換可以實現(xiàn)橢圓到圓的變換，從而利用研究圓的方法來研究橢圓，從而大大降低難度.

[關(guān)鍵詞] 橢圓；圓；仿射變換

由仿射變換可知，橢圓通過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q可變成圓，從而大大降低研究難度. 因此，和橢圓相關(guān)的解析幾何問題可以先轉(zhuǎn)化為和圓相關(guān)的問題來研究，然后再回到橢圓中解決. 有關(guān)橢圓的問題在高考中也是一個重點、熱點，很多有關(guān)橢圓的問題，只能通過解析幾何的方法來解決，這就給我們解題帶來了不少麻煩. 因此，我們自然期望有一種方法，使得處理有關(guān)橢圓的問題和處理有關(guān)圓問題一樣容易，而由仿射變換性質(zhì)可知，橢圓通過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q可變成圓，從而大大降低研究難度. 因此，和橢圓相關(guān)的解析幾何問題可以先轉(zhuǎn)化為和圓相關(guān)的問題來研究，然后再回到橢圓中解決.在利用仿射變換時主要利用以下定理：

定理1：兩條平行直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線.

推論1：兩條相交直線經(jīng)仿射變換后仍變成兩相交直線.

推論2：共點的直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)楣颤c直線.

定理2：兩條平行線段之比是仿射不變量.

推論：一直線上兩線段之比是仿射不變量.

定理3：兩封閉圖形（如三角形、平行四邊形、橢圓等）面積之比是仿射不變量.

下面我們以一些實例加以說明.

例1：證明：橢圓的外切三角形A′B′C′的頂點與對邊上的切點連線交于一點.

分析：此題是關(guān)于線共點的問題，由于橢圓的一般性以及三角形的一般性，如果用初等幾何方法來解決比較難入手，但是可以用仿射變換的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由于仿射變換保持同素性、結(jié)合性，所以將橢圓變成圓以后點與線的結(jié)合性以及相切等都不發(fā)生改變.

證明：易證在一個正三角形ABC中，其內(nèi)切圓在對邊上的切點與頂點連線交于一點K，可以用仿射變換方法. 因?qū)τ凇鰽BC與△A′B′C′存在唯一的一個仿射變換Ψ，使A→A′，B→B′，C→C′（如圖1）.

由于仿射變換保持結(jié)合性不變，△ABC的內(nèi)切圓與各邊切點分別為A1，B1，C1. 由于仿射變換是一一變換，切點仍應(yīng)變?yōu)榍悬c. 所以A1→A′1，B1→B′1，C1→C′1，K→K′. 所以由AA1，BB1，CC1共點K，可知A′1A′，B′1B′，C′1C′共點K′.

例2：求橢圓+=1的面積.

分析：橢圓是一個二次曲線，用初等幾何和微積分的知識進(jìn)行推導(dǎo)比較煩瑣. 考慮到圓經(jīng)過仿射變換對應(yīng)一個橢圓，所以橢圓也可以通過一個適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q對應(yīng)成一個圓. 再利用定理3即可.

解：在直角坐標(biāo)系下，橢圓+=1，

經(jīng)過仿射變換

x′=x，

y′=y，Δ=1 0

0

=≠0.

于是，橢圓的對應(yīng)圖形為圓x′2+y′2=a2.

如圖2，橢圓內(nèi)的△OAB：O（0，0），A（a，0），B（0，b），經(jīng)過以上的仿射變換，△OAB的對應(yīng)圖形△OA′B′，其中A與A′重合，B′（ 0，a），由于兩個封閉圖形的面積之比為仿射不變量，

所以=，

x′2+y′2=a2.

BC經(jīng)過變換后為圓的直徑B′C′，A變?yōu)閳A上的一點A′，

由圓的性質(zhì)可知，kA′B′·kA′C′=-1，所以=·，

即kAB·kAC=-.

若焦點在y軸上時證明類似（略）.

例4：已知橢圓方程為+=1，過長軸定點A（-4，0）的兩條直線斜率乘積為-，交橢圓于B，C兩點，問是否存在所有直線BC一定過定點D，若存在，請求出D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：易知a=4，b=3，作仿射變換

x′=x，

y′=y，Δ=1 0

0

=，如圖5

所以=·.

又因為kAB·kAC=-，

所以kA′B′·kA′C′=-1，

即A′B′⊥A′C′，所以B′C′恒過原點O′.

所以在橢圓中BC恒過原點O，即D（0，0）.

證法1：（初等幾何方法）

設(shè)弦AB的直線方程為y=kx+m，點A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），C（x3，y3）.

則有

x3=，y3==+m.

故所求直徑方程為

y=x=

k+

x.

將橢圓方程與弦方程聯(lián)立方程組，可求得x1+x2=. 代入上述直徑方程得b2x+a2ky=0.

證法2：（仿射變換方法）

設(shè)弦AB的直線方程為y=kx+m，則經(jīng)仿射變換有

x′=x，

y′=y，即

x=x′，

y=y′.

將橢圓方程變?yōu)閤′2+y′2=b2，將弦方程變?yōu)閥′=kx′+m. 而弦的共軛直徑在圓中是與此弦垂直的，其方程顯然是y′= -x′，此方程經(jīng)上述仿射變換還原到橢圓中去即為所給弦的共軛直徑方程y= -·x，即b2x+a2ky=0.

例6：（2007年寧夏、海南高考理科第19題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點（0，）且斜率為k的直線與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.

（1）求k的取值范圍；

（2）設(shè)橢圓與x軸的正半軸、y軸的正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k使得向量+與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

分析：利用仿射變換將橢圓變換為圓后，可利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來刻畫直線與圓的位置關(guān)系，從而間接地刻畫了直線與橢圓的位置關(guān)系，這樣處理極大地降低了計算量. 在第二問中，若記+=，根據(jù)向量加法的意義可知PQ，OC相互平分，根據(jù)仿射變換的同素性知P′Q′，O′C′也互相平分，又因為O′C′過圓心，那么在圓中有P′Q′⊥O′C′，這樣有助于將問題簡單化.

解：（1）作仿射變換，令x′=

，

y′=y，則得到仿射坐標(biāo)系x′O′y′，在此坐標(biāo)系中，將上述橢圓變換為圓x′2+y′2=1，直線l：y=kx+變換為l′：y′=kx′+，

即kx′-y′+=0.

若直線l′與圓x′2+y′2=1的交點有兩個，則<1，即k2>，

所以k>或k<-.

（2）已知橢圓與x軸的正半軸、y軸的正半軸的交點分別為A（，0），B（0，1），經(jīng)仿射變換后變?yōu)锳′（1，0），B′（0，1），P，Q分別變?yōu)镻′，Q′，則P′，Q′必在圓上，記直線A′B′的斜率為k1，則k1=-1，直線P′Q′的斜率為k.

若+與共線，則必有+與共線.

設(shè)+=，則必有⊥.

當(dāng)∥時，⊥，此時有k=-=1?k=.

由（1）知k>或k<-，所以沒有符合題意的常數(shù)k.

點評：相對參考答案本題利用仿射變換后結(jié)合圓的性質(zhì)，幾乎沒有代數(shù)運算就得到了結(jié)論，極大地降低了運算量，節(jié)省了寶貴的時間.

變換思想是一類主要的數(shù)學(xué)思想.應(yīng)用變換的方法去解題可使問題得到簡化，從而在解題中取得較好的效果. 仿射變換就是幾何變換中的一類重要變換. 從上述討論中可以得出應(yīng)用仿射變換解題的步驟可概括如下：①判斷求解的問題是否能利用仿射不變性質(zhì)，仿射不變量求解，一般涉及點共直線、直線共點、線段比、面積比等一類問題皆可應(yīng)用仿射變換解題；②選擇合適的仿射變換，找出所給圖形的合適的仿射圖形；③在仿射圖形中求證，寫出具體的仿射變換及解題過程.