一道源于課本例題的高考題的分析與思考

龔永輝

[摘 要] 從歷年來的高考數(shù)學(xué)題中可以發(fā)現(xiàn)，有很多題目都是源自于課本例題，因此，讓學(xué)生掌握課本例題將有助于學(xué)生高考成績(jī)的提升.

[關(guān)鍵詞] ：高考題；課本例題；橢圓

[?] 試題再現(xiàn)

2016年四川高考文科第20題是這樣的：已知橢圓E：+=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P

，

在橢圓E上.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MA·MB=MC·MD.

解析：（Ⅰ）橢圓E的方程是+y2=1.

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由方程組

+y2=1，

y=x+m，得x2+2mx+2m2-2=0. ①

方程①的判別式為Δ=4（2-m2），由Δ>0，即2-m2>0，解得-

由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，

所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為

-m，

，直線OM方程為y=-x.

由方程組

+y2=1，

y=-x，得C

-，

，D

，-

.

所以MC·MD=（-m+）·（+m）=（2-m2）.

又MA·MB=AB2=[（x1-x2）2+（y1-y2）2]=[（x1+x2）2-4x1x2]=·[4m2-4（2m2-2）]=（2-m2），

所以MA·MB=MC·MD.

本題是一道有關(guān)圓錐曲線中的相交弦問題，涉及的知識(shí)面廣，運(yùn)算量大，上手容易，得滿分難，尤其是對(duì)于基礎(chǔ)較薄弱的文科生而言，有一定的難度.筆者通過對(duì)此題的再研究發(fā)現(xiàn)此題源于一道課本例題，又高于課本，活于課本，請(qǐng)看：

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第38頁(yè)，

例4：如圖1所示，AB，CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦AB，CD與橢圓長(zhǎng)軸的交角為∠1=∠2，求證：PA·PB=PC·PD.

從兩道題目的條件和結(jié)論來看都非常的相似，解法也應(yīng)該差不多，如果用參考答案的方法直接計(jì)算往往會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算量過大或未知量過多而失分或無從下手，但換一個(gè)角度深入研究可以發(fā)現(xiàn)兩道題目其實(shí)都等價(jià)于證明四點(diǎn)共圓問題，對(duì)于此類問題是否有更一般的解法或結(jié)論呢？筆者通過對(duì)這兩題的進(jìn)一步研究探索發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有關(guān)圓錐曲線中四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件，可以妙解此類問題.

[?] 發(fā)現(xiàn)定理

定理1：已知橢圓Mx2+Ny2=1（M>0，N>0，M≠N）與直線l1交于A，B兩點(diǎn)，與直線l2交于C，D兩點(diǎn)，其中A，B，C，D為不同的四點(diǎn)，則“A，B，C，D”四點(diǎn)共圓的充要條件是“l(fā)1與l2的斜率互為相反數(shù)或斜率均不存在”.

證明：（1）當(dāng)l1與l2的斜率均存在時(shí)

設(shè)兩條直線li：y-y0=ki（x-x0）（i=1，2），則經(jīng)過它與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線一定能表示為（λ，μ不同時(shí)為0）以下形式：

λ（Mx2+Ny2-1）+μ[y-y0-k1（x-x0）]·[y-y0-k2（x-x0）]=0. ①

必要性： 若四個(gè)交點(diǎn)共圓，則存在λ，μ使方程①表示圓，故式①左邊展開式含xy項(xiàng)的系數(shù)-μ（k1+k2）=0. 而μ≠0，否則①表示曲線，不表示圓，所以k1+k2=0.

充分性：當(dāng)k1+k2=0時(shí)，式①左邊的展開式中不含xy的項(xiàng)，取μ=1時(shí)，令式①左邊的展開式中含x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相等，即λM-k=λN+1，得λ=.

此時(shí)曲線①即x2+y2+C′x+D′y+E′=0②的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個(gè)圓，一個(gè)點(diǎn)，無軌跡，而題中的四個(gè)交點(diǎn)在曲線②上，所以方程②表示圓. 這就證得了四個(gè)交點(diǎn)共圓.

（2）當(dāng)l1與l2的斜率均不存在時(shí)，有AB∥CD∥y軸，易知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，反之也成立.

類比于定理1的證明，我們可得定理2、3如下：

定理2：已知雙曲線Mx2-Ny2=1（MN>0）與直線l1交于A，B兩點(diǎn)，與直線l2交于C，D兩點(diǎn)，其中A，B，C，D為不同的四點(diǎn)，則“A，B，C，D”四點(diǎn)共圓的充要條件是“l(fā)1與l2的斜率互為相反數(shù)或斜率均不存在”.

定理3：已知拋物線y2=2px（p>0）與直線l1交于A，B兩點(diǎn)，與直線l2交于C，D兩點(diǎn)，其中A，B，C，D為不同的四點(diǎn)，則“A，B，C，D”四點(diǎn)共圓的充要條件是“l(fā)1與l2的斜率互為相反數(shù)或斜率均不存在”.

繼續(xù)深入研究定理1、2、3的極限情形可得：

推論1：設(shè)點(diǎn)A是定圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線）E上的定點(diǎn)但不是頂點(diǎn)，C，D是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AC，AD的斜率互為相反數(shù)，則直線CD的斜率為曲線E過點(diǎn)A的切線斜率的相反數(shù)（定值）.

證明：由定理1可知，kAC=-kBD?A，B，C，D四點(diǎn)共圓?kAB=-kCD，當(dāng)點(diǎn)A，B重合時(shí)，直線AB即為二次曲線L：Mx2+Ny2+Ex+Fy+Q=0（M≠N）的切線，于是有kAB=-kCD的充要條件是點(diǎn)A處的切線的斜率kA=-kCD.

通過以上四個(gè)問題的研究我們得到了圓錐曲線有關(guān)四點(diǎn)共圓的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)和推論，下面我們用以上結(jié)論妙解高考試題.

[?] 定理應(yīng)用

例1：（2016年四川高考文科第20題第2問）（見上文）

解析：（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由方程組

+y2=1，

y=x+m，得x2+2mx+2m2-2=0，①

方程①的判別式為Δ=4（2-m2），由Δ>0，即2-m2>0，解得-

由①得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2.

所以M點(diǎn)坐標(biāo)為

-m，

，直線OM的斜率為kOM=-，從而有kAB+kOM=0.

由定理1可知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，再由圓的相交弦定理可知

MA·MB=MC·MD成立.

例2：（2014年高考全國(guó)大綱卷理科第21題（文科22題））

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且

QF

=

PQ

.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.

解析：（Ⅰ）y2=4x.

（Ⅱ）由題意可知直線AB，直線MN的斜率必存在，設(shè)直線AB的斜率為k1，直線MN為k2，則由已知和定理3可知k1+k2=0，

k1·k2=-1，從而得到k1=±1，直線方程為x±y-1=0.

例3：（2002年廣東卷）設(shè)A，B是雙曲線x2-=1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C，D兩點(diǎn)，那么A，B，C，D四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上，為什么？

解析：（Ⅰ）直線AB的方程為y-2=x-1，即y=x+1.

（Ⅱ）因?yàn)镃D是AB的垂直平分線，所以直線CD的方程為y-2=-（x-1），即y=-x+3，故kAB+kCD=1+（-1）=0，由定理知A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

例4：（2009年遼寧卷理科第20題） 已知A

1，

是橢圓C：+=1上的定點(diǎn)，E，F(xiàn)是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AE，AF的斜率互為相反數(shù)，證明：EF直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

解析：由推論1可知EF直線的斜率為定值，等于過A點(diǎn)的切線的斜率.

除了上題，在2004年北京文（理）科17題中如果用推論1來解答也非常的精妙.

由此可見，高考試題大都來源于教材，教材就是高考試題的“根”，教材中設(shè)置的不少例題很具有典型性、探究性，教師在教學(xué)中學(xué)會(huì)用一雙“慧眼”去發(fā)現(xiàn)具有典型性、可拓展性的例題或習(xí)題，善于做解后的反思，方法歸類，規(guī)律的總結(jié)和技巧的揣摩，在探究過程中讓學(xué)生去收集、整理、歸納，獲得新知識(shí)，在知識(shí)的聯(lián)系中進(jìn)行有效整合，這對(duì)學(xué)生能力的提高和思維的發(fā)展大有益處，同時(shí)也能優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性.