高中數(shù)學(xué)教學(xué)視野中問題與思維的關(guān)系探究

侯軍

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注問題，要從其促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的角度進(jìn)行. 問題與思維的關(guān)系，需要在這種研究的過程中才能凸顯出來，從而為教師實(shí)現(xiàn)更好的教學(xué)服務(wù). 有效地切入研究，可以從教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中預(yù)設(shè)的問題以及學(xué)生提出的問題兩個(gè)角度來進(jìn)行.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；問題；思維

問題，歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個(gè)熱點(diǎn)話題，因?yàn)橛行У膯栴}能夠打開學(xué)生的思維，可以讓學(xué)生迅速地進(jìn)入高效學(xué)習(xí)的狀態(tài). 相信這樣的判斷每一個(gè)數(shù)學(xué)教師都能夠接受.但可以肯定的是，只建立這樣的認(rèn)識(shí)，并不能讓我們的課堂變得高效，因?yàn)檫@樣的因果關(guān)系界定，還只是一種基于表面的描述，也就是說盡管我們知道有效的問題可以實(shí)現(xiàn)高效的教學(xué)，但并不知道問題是如何撬動(dòng)學(xué)生的思維的，因而這也就是一個(gè)知其然不知其所以然的關(guān)系. 這樣的認(rèn)知顯然對(duì)于教學(xué)來說，只具有經(jīng)驗(yàn)的積累作用，不具有用理論推進(jìn)實(shí)踐的作用. 反之，如果能夠理清問題與思維之間的關(guān)系，那就可以讓教師在設(shè)計(jì)問題、提出問題的時(shí)候多一些智慧的成分，從而讓師生之間能夠基于問題進(jìn)行更好的對(duì)話. 由于有了這樣的認(rèn)識(shí)，筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中問題與思維的關(guān)系進(jìn)行了探究，也取得了一些新的認(rèn)識(shí). 在此借助本文，與同行們分享，并請(qǐng)同行專家們提出寶貴的批評(píng)意見.

[?] 教師的問題設(shè)計(jì)，要考慮思維因素

實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂上，問題可以說是頻頻出現(xiàn)的. 這其中既有教師預(yù)設(shè)的問題，也有課堂上臨時(shí)產(chǎn)生的問題，通常情況下，預(yù)設(shè)的問題往往都是關(guān)系到課堂結(jié)構(gòu)或者是知識(shí)結(jié)構(gòu)的問題，對(duì)于課堂來說具有提綱挈領(lǐng)的作用.而對(duì)于一些相對(duì)較小的問題，往往都是為了讓課堂的過渡更為順利而提出的. 這些問題中，真正從思維角度去研究的，其實(shí)并不多見（當(dāng)然，客觀上對(duì)學(xué)生的思維也會(huì)有促進(jìn)作用）. 筆者的觀點(diǎn)是，問題的提出，還是要考慮其中的思維因素的.

我們可以來看一個(gè)教學(xué)案例：在“對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的教學(xué)中，有教師為了吸引學(xué)生的注意力，借助于馬王堆千年女尸不腐之謎，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)二百多字的圖文并茂的情境（用幻燈片向?qū)W生呈現(xiàn)），并就其中的辛追為什么保存了兩千多年這個(gè)細(xì)節(jié)而提出問題：科學(xué)家是怎么知道辛追已經(jīng)距今兩千多年的？在教師明確了這個(gè)問題與數(shù)學(xué)有關(guān)之后，該教師又引導(dǎo)學(xué)生從碳14的殘留量與時(shí)間之間存在的對(duì)數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)本課要學(xué)習(xí)的主題. 這樣的案例當(dāng)中，教師所創(chuàng)設(shè)的情境可謂是新穎的，而對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系也是明確的，但效果如何呢？相信有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師一定可以意識(shí)到這個(gè)情境以及所提出的問題，其實(shí)對(duì)于學(xué)生的思維來說并不具有明顯的促進(jìn)作用，甚至于對(duì)于不少學(xué)生而言，這個(gè)作用可能還是負(fù)面的. 具體分析如下：

其一，情境所用的素材，不利于學(xué)生將注意力集中到問題本身. 縱觀這一教學(xué)環(huán)節(jié)，可以發(fā)現(xiàn)教師在題材的選擇上是花了時(shí)間的，問題在于這個(gè)題材本身對(duì)于學(xué)生來說就是極為新奇的. 而這又意味著什么呢？意味著學(xué)生在接觸到這個(gè)題材的時(shí)候，學(xué)生的注意力會(huì)集中在素材本身上，反而忽視了其中的那個(gè)“與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題”，因此激發(fā)學(xué)生思維的前提本身就是不成立的. 事實(shí)上，利用碳14的殘留量來給出對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，其實(shí)也是有問題的，因?yàn)閷?duì)于高中的學(xué)生而言，他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的邏輯思維是很重要的，而很多學(xué)生恰恰是因?yàn)樵趯?duì)碳14衰變規(guī)律不理解的情況下，對(duì)教師所提出的問題給予了有意無意的忽視，因?yàn)閷W(xué)生的注意力還集中到素材本身呢.

其二，問題本身亦不具有促進(jìn)思維的作用. 再分析教師提出的問題本身：科學(xué)家是怎么知道辛追已經(jīng)距今兩千多年的？（包括教師所提醒的“這個(gè)問題與數(shù)學(xué)有關(guān)”）問題是否與數(shù)學(xué)有關(guān)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生自己去體驗(yàn)，而這本身就是開發(fā)學(xué)生思維的有效途徑. 但這個(gè)問題并不具有這樣的功效，因?yàn)閷?duì)于年代的判斷途徑是多樣的，學(xué)生不可能想到其與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān). 而這原本應(yīng)當(dāng)是問題設(shè)計(jì)時(shí)最應(yīng)當(dāng)考慮的問題，即情境呈現(xiàn)之后提出的問題如何更好地與研究的問題相關(guān).

基于以上的分析，筆者在教學(xué)中沒有過于重視素材本身的選擇，而只是讓學(xué)生做了一個(gè)簡(jiǎn)單的體驗(yàn)活動(dòng)，就是將一張練習(xí)本上的紙進(jìn)行數(shù)次對(duì)半撕. 學(xué)生很顯然可以體會(huì)其中由1變成2，由2變成4，由4變成8等這樣的過程，對(duì)于這個(gè)過程，提出的問題也很簡(jiǎn)單：如果給你一個(gè)對(duì)半撕的數(shù)值，你能否求出撕了多少次？

這個(gè)問題與學(xué)生體驗(yàn)的過程密切相關(guān)，即使是體驗(yàn)，學(xué)生的注意力也不會(huì)過多地集中在體驗(yàn)本身，因?yàn)樗杭埉吘故侨粘Ｉ钪械某Ｒ娦袨? 也因?yàn)闈M足了這一條件，學(xué)生的注意力可以更好地集中在問題本身. 而提出的問題中，對(duì)于已知與未知的關(guān)系并未給出，但數(shù)學(xué)要素即變量與函數(shù)卻是齊全的，因而學(xué)生的思維可以迅速集中到其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系上，而這不正是對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)所追求的嗎？因此，筆者以為這樣的問題設(shè)計(jì)是基于學(xué)生思維同時(shí)又是能夠開發(fā)學(xué)生思維的，是真正的以問題策動(dòng)學(xué)生思維的過程.

[?] 學(xué)生提出的問題，要研究思維脈絡(luò)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，還常常會(huì)面臨著學(xué)生所提出的問題. 通常情況下，教師對(duì)于學(xué)生提出的問題往往是直接予以回答，對(duì)于其中的一些簡(jiǎn)單的問題，教師的態(tài)度則常常是一種批判的態(tài)度：怎么還會(huì)問出這樣簡(jiǎn)單的問題？即使在課程改革強(qiáng)調(diào)了尊重學(xué)生之后，教師所表現(xiàn)出來的“理性態(tài)度”，實(shí)際上也不能掩蓋對(duì)學(xué)生問題的一種失望或者是批評(píng). 筆者以為，這種基于直覺而對(duì)學(xué)生的問題所作出的判斷，往往是經(jīng)驗(yàn)性的，且不是從學(xué)生思維角度出發(fā)的. 要知道，在高中數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生所提出的問題其實(shí)都是很寶貴的，都是有研究?jī)r(jià)值的. 而研究的角度，自然就是學(xué)生思維的邏輯規(guī)律，說得通俗一點(diǎn)，就是學(xué)生為什么會(huì)問出這樣的問題.

在“橢圓”這一知識(shí)的教學(xué)中，筆者曾經(jīng)遇到了學(xué)生提出這樣的問題：橢圓的定義是從“兩個(gè)固定點(diǎn)”與“距離”兩個(gè)角度進(jìn)行的，為什么它要這么定義呢？這確實(shí)是一個(gè)約定俗成的問題，筆者第一反應(yīng)是告訴學(xué)生：這是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中優(yōu)化選擇的結(jié)果，其很簡(jiǎn)單且又能體現(xiàn)橢圓的特征，因此特別適合作為高中階段學(xué)習(xí)橢圓的定義. 但事后感覺這樣的解釋實(shí)際上過于蒼白，然后筆者就思考學(xué)生怎么會(huì)如此提問. 在與學(xué)生進(jìn)行了交流之后，筆者才知道了學(xué)生的所思所想，也才發(fā)現(xiàn)其中竟然包含著一個(gè)寶貴的教學(xué)契機(jī).

原來，學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓的過程中帶著一點(diǎn)突發(fā)奇想的意思：橢圓定義是以“兩固定點(diǎn)”為參照的，如果把這個(gè)條件改一下，會(huì)不會(huì)得到其他曲線呢？當(dāng)時(shí)學(xué)生想到的變化有將兩固定點(diǎn)改為“一個(gè)固定點(diǎn)與一條直線”以及“兩條直線”. 但是他們怕這樣直接問出問題，會(huì)引發(fā)教師的批評(píng)，因此才以上一個(gè)問題作為鋪墊. 但筆者當(dāng)時(shí)并不知道學(xué)生的這一思考過程，因而給予的回答根本就解決不了學(xué)生的疑問. 在了解了學(xué)生的這一思路之后，筆者立即意識(shí)到這一問題具有很大的價(jià)值：第一，學(xué)生將對(duì)橢圓的定義的理解進(jìn)行拓展；第二，這樣的拓展意味著學(xué)生認(rèn)識(shí)到了對(duì)于不同的曲線的定義，是可以從點(diǎn)、線、面的角度來考慮的；第三，基于學(xué)生的問題，可以引導(dǎo)全班學(xué)生參與討論，以發(fā)現(xiàn)其對(duì)所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的包容作用，與對(duì)后面需要新學(xué)的知識(shí)的啟發(fā)作用.

果然，當(dāng)筆者將這一問題呈現(xiàn)給全班學(xué)生時(shí)，學(xué)生非常感興趣. 其實(shí)，學(xué)生產(chǎn)生興趣幾乎是必然的，因?yàn)閺膶W(xué)習(xí)心理的角度來看，這兩個(gè)學(xué)生提出的問題實(shí)際上是一種變式思想的體現(xiàn)，其最容易打破學(xué)生的認(rèn)知平衡，因而自然就會(huì)激發(fā)學(xué)生的興趣. 而在回答這一問題的過程中，學(xué)生的思維受開放性問題的刺激，顯得十分活躍，這客觀上證明了學(xué)生的思維也得到了培養(yǎng). 而反觀這一段過程，其實(shí)就是因?yàn)楣P者注意到了學(xué)生的思維脈絡(luò)且及時(shí)地把握住了.

[?] 有效的問題互動(dòng)，促進(jìn)思維的碰撞

從提出問題者的角度來看，有學(xué)生、教師之分，而從問題的回答來看，其實(shí)并沒有截然的師生差距. 尤其是在高中數(shù)學(xué)課堂上，問題可以讓師生、生生之間有效地互動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)思維的碰撞.

仔細(xì)地分析數(shù)學(xué)課堂上的每一個(gè)問題，尤其是能夠讓學(xué)生更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的問題，可以發(fā)現(xiàn)其中的思維含量是十分充足的. 這種思維含量主要體現(xiàn)在學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的過程中，不需要教師太多的講解，甚至還有學(xué)生自覺拒絕教師的灌輸，因?yàn)樗麄兇竽X中構(gòu)建出來的數(shù)學(xué)概念，已經(jīng)能夠很好地概括數(shù)學(xué)本質(zhì). 而教師的作用，往往更多地體現(xiàn)在學(xué)生最迫切需要的地方，如難點(diǎn)的突破，數(shù)學(xué)語言的最終組織等. 像這樣的教學(xué)過程，應(yīng)當(dāng)說就是有效教學(xué)的充分體現(xiàn).

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)從問題開始，研究其與思維的關(guān)系以及如何以問題促進(jìn)學(xué)生的思維，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧發(fā)展，生成有效課堂的關(guān)鍵，需要數(shù)學(xué)同行們?cè)趯?shí)踐過程中不斷地嘗試、創(chuàng)新.