聚焦核心素養(yǎng)案例研討專(zhuān)題二：體驗(yàn)編程計(jì)算，初步了解算法

編者按：本欄目特邀教育部基礎(chǔ)教育課程教材專(zhuān)家工作委員會(huì)成員、普通高中信息技術(shù)課標(biāo)修訂核心組成員、四川省教育科學(xué)研究所技術(shù)教育研究室主任、正高級(jí)教師、特級(jí)教師李維明主持，望大家踴躍參與研究與討論（聯(lián)系郵箱：358211798@qq.com）。

主題闡釋

算法是普通高中信息技術(shù)內(nèi)容體系中重要的大概念，它是一個(gè)有窮規(guī)則的集合，其中之規(guī)則規(guī)定了解決某一特定類(lèi)型問(wèn)題的一個(gè)運(yùn)算系列；而計(jì)算是指數(shù)據(jù)在運(yùn)算符的操作下，按規(guī)則進(jìn)行的數(shù)據(jù)變換。這里無(wú)論是算法還是計(jì)算都提到了“規(guī)則”，可以理解為算法規(guī)定了任務(wù)執(zhí)行或問(wèn)題求解的一系列步驟，而計(jì)算是這些任務(wù)執(zhí)行或問(wèn)題求解的具體實(shí)現(xiàn)。

在教學(xué)中我們不必為算法、計(jì)算的概念去繞口地解釋?zhuān)鴳?yīng)當(dāng)領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，利用計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)去設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的規(guī)則和實(shí)現(xiàn)的方法。例如，累加器S=S+X，就利用了變量賦值的特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了迭代的方法；斐波那契數(shù)列問(wèn)題，使用了遞歸的思路；等等。這些都需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考：如何建立模型，實(shí)現(xiàn)有效的自動(dòng)計(jì)算？如何方便、高效地實(shí)現(xiàn)自動(dòng)計(jì)算？編程是解決具體問(wèn)題的途徑之一。

本期提供的三個(gè)案例，分別用不同的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生體驗(yàn)編程計(jì)算，初步了解算法。

教學(xué)案例

案例1：用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率

學(xué)業(yè)要求：能提取割圓術(shù)問(wèn)題的基本特征，進(jìn)行抽象處理，并用形式化的方法表述問(wèn)題，運(yùn)用算法設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，能使用編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)這一方案，把利用信息技術(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程遷移到其他相關(guān)問(wèn)題中，并能采用恰當(dāng)?shù)姆椒▋?yōu)化解決方案。

知識(shí)要點(diǎn)：割圓術(shù)，迭代算法，近似值，精度。

教學(xué)方法：通過(guò)自主學(xué)習(xí)、推導(dǎo)分析、歸納總結(jié)，了解用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率的思想與方法；并通過(guò)運(yùn)行觀察程序，感知計(jì)算機(jī)近似運(yùn)算的高效。

活動(dòng)步驟：

①教師展示從古至今，不同的人對(duì)π的推導(dǎo)和計(jì)算到的數(shù)字。②給學(xué)生閱讀材料，自主學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的思想方法。③請(qǐng)學(xué)生計(jì)算半徑為1的圓的內(nèi)接三角形的面積。④請(qǐng)學(xué)生計(jì)算半徑為1的圓的內(nèi)接六邊形的面積。 ⑤請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)嘗試計(jì)算半徑為1的圓的內(nèi)接十二邊形的面積，并歸納計(jì)算規(guī)律。⑥教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)計(jì)算半徑為1的圓的內(nèi)接二十四邊形的面積，并總結(jié)計(jì)算規(guī)律，用自然語(yǔ)言描述此算法。⑦將“割圓術(shù)”程序的可執(zhí)行文件發(fā)給學(xué)生，學(xué)生運(yùn)行程序，觀察結(jié)果，感知計(jì)算機(jī)近似運(yùn)算。⑧請(qǐng)學(xué)生利用“割圓術(shù)”，通過(guò)分析初始狀態(tài)為正方形的正多邊形嘗試近似計(jì)算圓周率，并編寫(xiě)程序。⑨學(xué)生程序展示，相互評(píng)價(jià)討論，提出優(yōu)化或改進(jìn)意見(jiàn)。

教學(xué)思路：

（1）按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：針對(duì)給定的問(wèn)題進(jìn)行分析，明確割圓術(shù)的思想方法；能提取割圓術(shù)問(wèn)題的基本特征，進(jìn)行抽象處理，并用形式化的方法表述問(wèn)題；運(yùn)用算法設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，能使用編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)這一方案；把利用信息技術(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程遷移到其他相關(guān)問(wèn)題中，并能采用恰當(dāng)?shù)姆椒▋?yōu)化解決方案。具體的知識(shí)要點(diǎn)包括割圓術(shù)、迭代算法，近似值及精度。在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把“能提取割圓術(shù)問(wèn)題的基本特征，進(jìn)行抽象處理，并用形式化的方法表述問(wèn)題；運(yùn)用算法設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，能使用編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)這一方案”作為教學(xué)重點(diǎn)，而“把利用信息技術(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程遷移到其他相關(guān)問(wèn)題中，并能采用恰當(dāng)?shù)姆椒▋?yōu)化解決方案”是教學(xué)的難點(diǎn)。

（2）古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計(jì)算。為了計(jì)算出圓周率的越來(lái)越好的近似值，一代代的數(shù)學(xué)家為這個(gè)神秘的數(shù)貢獻(xiàn)了無(wú)數(shù)的時(shí)間與心血。古人計(jì)算圓周率，一般是用割圓術(shù)。

（3）所謂“割圓術(shù)”，就是用單位半徑圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法。學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)這一思想方法，嘗試手工計(jì)算單位半徑圓內(nèi)接三角形、六邊形、十二邊形的面積，在其中體會(huì)這種基于幾何的算法計(jì)算量大，速度慢。在計(jì)算機(jī)程序中，成倍地增加正多邊形的邊數(shù)n，讓所求得的π逐漸接近真實(shí)的π值，讓學(xué)生感受計(jì)算機(jī)在近似計(jì)算中的高效。

（4）在此基礎(chǔ)上，兩人一組，利用“割圓術(shù)”，通過(guò)分析初始狀態(tài)為正方形的正多邊形嘗試近似計(jì)算圓周率，并編寫(xiě)程序。學(xué)生程序展示，相互評(píng)價(jià)討論，提出優(yōu)化或改進(jìn)意見(jiàn)。

（5）本活動(dòng)設(shè)計(jì)課時(shí)為1課時(shí)。

案例2：遞歸算法的教學(xué)

學(xué)業(yè)要求：掌握遞歸算法的基本特征，能夠用遞歸算法解決相關(guān)問(wèn)題，了解遞歸算法的執(zhí)行過(guò)程。

知識(shí)要點(diǎn)：遞推算法，遞歸算法，遞歸的結(jié)束條件、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句。

教學(xué)方法：講授法，任務(wù)驅(qū)動(dòng)法，小組活動(dòng)法。

活動(dòng)步驟：

①教師通過(guò)講授法，復(fù)習(xí)前面的知識(shí)——遞推算法的編程思路，引出本課實(shí)例——斐波那契數(shù)列問(wèn)題。②請(qǐng)學(xué)生分組討論斐波那契數(shù)列問(wèn)題的編程解題思路，總結(jié)出解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵條件，得出遞推關(guān)系式：F[1]=1，F(xiàn)[2]=1，F(xiàn)[N]=F[N-1]+F[N-2]（N>=3），并獨(dú)立編制出遞推算法的相關(guān)程序。③教師展示學(xué)生的編程結(jié)果，讓大家總結(jié)、提煉出遞推的條件及循環(huán)語(yǔ)句的組成，分析遞推程序的執(zhí)行過(guò)程：從小到大，直到目標(biāo)實(shí)現(xiàn)。④教師總結(jié)另一種編寫(xiě)程序的方法：從大到小，引出遞歸算法。⑤請(qǐng)學(xué)生自學(xué)教材內(nèi)容，分組討論、總結(jié)出遞歸算法的定義、思路以及使用遞歸算法的注意事項(xiàng)，并獨(dú)立編制出遞歸算法的相關(guān)程序。⑥教師展示遞歸程序執(zhí)行過(guò)程，歸納總結(jié)出編寫(xiě)遞歸程序的一般思路：用過(guò)程或函數(shù)方式實(shí)現(xiàn)遞歸程序；從底到頂分析，從頂?shù)降浊蠼猓幌扰袛噙f歸條件再遞歸，否則容易出現(xiàn)死循環(huán)。⑦請(qǐng)學(xué)生分組或獨(dú)立完成以下程序（任選一題完成）：分解質(zhì)因數(shù)（任給一正整數(shù)，將其分解成質(zhì)因數(shù)并輸出）；上樓梯問(wèn)題（有一十級(jí)的樓梯，上樓時(shí)可以一步一級(jí)，也可以一步兩級(jí)，求出共有多少種上樓梯的方法）；漢諾塔問(wèn)題。⑧同學(xué)間成果展示，相互評(píng)價(jià)，討論，提出改進(jìn)方案。

教學(xué)思路：

（1）按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：熟練掌握遞推算法的應(yīng)用，掌握遞歸算法的特點(diǎn)，能利用遞歸算法編制程序解決常見(jiàn)問(wèn)題，樹(shù)立遞推、遞歸算法解決問(wèn)題的基本計(jì)算思維。本課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容是遞歸算法。具體知識(shí)點(diǎn)是：遞推算法、遞歸算法、遞歸算法的特點(diǎn)，遞推、遞歸算法的結(jié)束條件，用遞歸算法編制程序解決相關(guān)問(wèn)題。本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)是：遞歸算法的執(zhí)行過(guò)程和遞歸的結(jié)束條件。

（2）遞推算法是按照從小到大的思維方式依次求出各級(jí)問(wèn)題，思維較清楚，程序執(zhí)行過(guò)程符合人的求解過(guò)程，比較好理解，但在有些較大問(wèn)題上，程序的編制過(guò)程比較難。而遞歸算法是在遞推算法的基礎(chǔ)上，采用從小到大的分析方式。從大到小的求解過(guò)程，編制程序比較容易，但程序的執(zhí)行過(guò)程比較難理解，因?yàn)橐玫蕉褩５睦斫夥绞?，堆棧的概念在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)詳細(xì)介紹，這里只是打下伏筆。

（3）遞推、遞歸兩者的共同點(diǎn)是：一要找到遞推的關(guān)系式；二要找到結(jié)束條件（初始化條件）。不同點(diǎn)是：求解過(guò)程的順序不同，遞推在編制程序時(shí)采用的是從小依次向大逐步求解的方式，而遞歸在編制程序時(shí)采用的是降低問(wèn)題規(guī)模的思維方式。

（4）基于上述認(rèn)識(shí)，這一節(jié)課中設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)。

這兩個(gè)活動(dòng)，重點(diǎn)是要讓學(xué)生理解兩個(gè)程序的執(zhí)行過(guò)程（求解過(guò)程），理解遞推、遞歸算法各自的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的遞推、遞歸算法思想，并能根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，選擇用不同的算法編程實(shí)現(xiàn)。

（5）在上述這兩個(gè)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生有選擇地完成相關(guān)問(wèn)題，既能達(dá)到分層教學(xué)的目的，又能加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的理解。

（6）本活動(dòng)可用兩2節(jié)課完成。

案例3：計(jì)算朋友圈人數(shù)

學(xué)業(yè)要求：能夠針對(duì)限定條件的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)據(jù)抽象，運(yùn)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)合理組織、存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，選擇合適的算法（排序、查找、迭代、遞歸）編程實(shí)現(xiàn)、解決問(wèn)題。

情境設(shè)置：小明所在學(xué)校有N個(gè)學(xué)生，形成M個(gè)俱樂(lè)部。每個(gè)俱樂(lè)部的學(xué)生都有著相似的愛(ài)好，形成一個(gè)朋友圈。一個(gè)學(xué)生可以同時(shí)屬于若干個(gè)不同的俱樂(lè)部。根據(jù)“我的朋友的朋友也是我的朋友”這個(gè)推論可以得出，如果A和B是朋友，且B和C是朋友，則A和C也是朋友。小明想知道，在這些朋友圈中最大的有多少人。

研究題目：根據(jù)情境分析題意，確定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型，探索解題思路，編程為小明同學(xué)找到答案。

項(xiàng)目活動(dòng)：

①（或選修課）的情況，假設(shè)一個(gè)組（或一門(mén)課）為一個(gè)朋友圈，試試能否找出最大朋友圈；記下尋找過(guò)程數(shù)據(jù)，分析結(jié)構(gòu)，探索計(jì)算模型、方法。②設(shè)N=7，M=4。且第一俱樂(lè)部有3人，學(xué)號(hào)為1、2、3；第二俱樂(lè)部有2人，學(xué)號(hào)為1、4；第三俱樂(lè)部有3人，學(xué)號(hào)為5、6、7；第四俱樂(lè)部有1人，學(xué)號(hào)為6。模擬計(jì)算機(jī)解決此問(wèn)題。③根據(jù)前述思路，編程計(jì)算最大的朋友圈中有多少人。

教學(xué)說(shuō)明：

①確定總的學(xué)生學(xué)號(hào)Total，即Total=[1、2、3、4、5、6、7]。②將4個(gè)俱樂(lè)部分為4個(gè)數(shù)組：N1=1、2、3，N2=1、4，N3=5、6、7，N4=6。③以學(xué)號(hào)1為例，尋找能與學(xué)號(hào)1成朋友關(guān)系的學(xué)號(hào)，將含有學(xué)號(hào)1的俱樂(lè)部合并在一起，即M1=N1 U N2=1、2、3、4。學(xué)號(hào)2、3、4現(xiàn)在都是學(xué)號(hào)1的朋友，根據(jù)朋友的朋友也是我的朋友，因此學(xué)號(hào)2、3、4的朋友也是學(xué)號(hào)1的朋友，因此學(xué)號(hào)1的朋友圈M1還有可能擴(kuò)大，依次查詢(xún)包含學(xué)號(hào)2、3、4的俱樂(lè)部并與原本M1朋友圈進(jìn)行合并，即M2=M1 U N1 U N2=1、2、3、4。據(jù)此，得出第一個(gè)朋友圈為1、2、3、4。④同理，現(xiàn)在只剩下學(xué)號(hào)5、6、7沒(méi)有劃分朋友圈，以學(xué)號(hào)5為例，按照上述步驟依次查詢(xún)得出M3朋友圈5、6、7。⑤所有學(xué)號(hào)分圈完畢，得出兩個(gè)朋友圈：M2=1、2、3、4，M3=5、6、7。⑥比較兩個(gè)朋友圈數(shù)量大小，最大的即為最大朋友圈，數(shù)組長(zhǎng)度即為最大朋友圈中人的個(gè)數(shù)，數(shù)組內(nèi)容即為朋友圈的具體人員。⑦如果學(xué)生人數(shù)和俱樂(lè)部的組成發(fā)生變化，只需要相應(yīng)的在矩形數(shù)組里修改對(duì)應(yīng)參數(shù)。

運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。

專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)

案例1

我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明的割圓術(shù)，是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”來(lái)無(wú)限逼近“圓面積”，即割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣。這里應(yīng)用近似計(jì)算的方法，充分體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧。該案例正是讓學(xué)生從計(jì)算半徑為1的圓的內(nèi)接三角形的面積出發(fā)，逐漸增加邊數(shù)，尋找其規(guī)律；同時(shí)，將“割圓術(shù)”程序的可執(zhí)行文件發(fā)給學(xué)生，學(xué)生運(yùn)行程序，觀察結(jié)果，感知計(jì)算機(jī)近似運(yùn)算；在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生利用“割圓術(shù)”，通過(guò)分析初始狀態(tài)為正方形的正多邊形嘗試近似計(jì)算圓周率，并用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算。這一思路既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的極限思想，又符合計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題所使用的近似方法，思路正確，方法得當(dāng)，值得肯定。

但從案例本身來(lái)看，對(duì)計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題使用的近似計(jì)算方法中的近似值及精度的要求體現(xiàn)不夠充分，學(xué)生探究的目的不太明確。新課標(biāo)要求學(xué)生依據(jù)解決問(wèn)題的需要，設(shè)計(jì)和表示簡(jiǎn)單算法。在本案例中，算法如何體現(xiàn)是引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的關(guān)鍵：需不需要使用通項(xiàng)式，什么地方使用迭代算法，怎么實(shí)現(xiàn)預(yù)定的精度等思想和方法，在案例中體現(xiàn)得不夠充分，不利于學(xué)生計(jì)算思維的形成，應(yīng)當(dāng)改進(jìn)。

（案例1提供：成都石室中學(xué) 唐佩、杜妮香、曾貴勝；點(diǎn)評(píng)人：四川省教育科學(xué)研究所 李維明）

案例2

新課標(biāo)要求學(xué)生能夠針對(duì)限定條件的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)據(jù)抽象，運(yùn)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)合理組織、存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，選擇合適的算法（排序、查找、迭代、遞歸）編程實(shí)現(xiàn)、解決問(wèn)題。而該案例正是從討論斐波那契數(shù)列問(wèn)題的編程解題思路出發(fā)，讓學(xué)生總結(jié)出解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵條件，得出遞推關(guān)系式并引出遞推算法，并在此基礎(chǔ)上，采用從小到大的分析方式、從大到小的求解過(guò)程，引出實(shí)現(xiàn)遞歸的算法，教學(xué)思路清晰。在具體活動(dòng)中讓學(xué)生解決諸如分解質(zhì)因數(shù)、上樓梯問(wèn)題、漢諾塔問(wèn)題等實(shí)例問(wèn)題，由簡(jiǎn)至繁，體驗(yàn)遞歸思想，感受計(jì)算樂(lè)趣，處理得當(dāng)。如果在案例整體設(shè)計(jì)上，能以具體的實(shí)際問(wèn)題解決的例子為項(xiàng)目活動(dòng)的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析，理解迭代、遞歸的含義，進(jìn)而形成解決此類(lèi)問(wèn)題的思路，找到解決此類(lèi)問(wèn)題的方法，達(dá)到發(fā)展計(jì)算思維的目的，項(xiàng)目活動(dòng)的效果就更好了。

（案例2提供：四川省教育廳教育物資裝備中心 李大國(guó)；點(diǎn)評(píng)人：四川省教育科學(xué)研究所 李維明）

案例3

新課標(biāo)要求學(xué)生能夠在掌握常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的概念、特點(diǎn)、操作、編程實(shí)現(xiàn)方法等內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)問(wèn)題進(jìn)行分析，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用一種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)，在問(wèn)題解決過(guò)程中對(duì)數(shù)據(jù)抽象、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的思想與方法有初步的認(rèn)識(shí)。該案例在解決問(wèn)題時(shí)，首先將4個(gè)俱樂(lè)部設(shè)為4個(gè)數(shù)組，然后查找數(shù)組中的等價(jià)元素，并將各數(shù)組等價(jià)集合并，通過(guò)比較等價(jià)集的規(guī)模，找出最大朋友圈，這一方法，正是課標(biāo)要求的具體呈現(xiàn)。

本案例是按選修I中模塊1“數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”的要求設(shè)計(jì)的，其核心素養(yǎng)水平屬于水平2，是用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的案例。教學(xué)時(shí)要充分利用活動(dòng)①、②的探索，明確其數(shù)學(xué)問(wèn)題的歸屬。解決問(wèn)題時(shí)需要用到集合、樹(shù)的概念和方法，也需要使用遞歸的思想和方法來(lái)提高其查詢(xún)效率，所以有一定的難度。教學(xué)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生分步實(shí)現(xiàn)，逐步形成正確的解題思路，提高數(shù)字化學(xué)習(xí)與創(chuàng)新能力，強(qiáng)化信息意識(shí)，提升計(jì)算思維水平。

（案例3提供：四川省教育廳教育科學(xué)研究所 張馨月；點(diǎn)評(píng)人：四川省教育科學(xué)研究所 李維明）