數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)策略研究

鄭大鵬

[摘 要] 數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容. 本文從數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的基本概念出發(fā)，立足于高中數(shù)學(xué)課堂的實(shí)際，多方面地探討數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)策略

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要體現(xiàn). 數(shù)學(xué)教師要深刻研究數(shù)學(xué)建模的相關(guān)理論，并在課堂教學(xué)中積極探索對(duì)此進(jìn)行教學(xué)的方法.

[?] 數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型是基于現(xiàn)實(shí)世界中某具體事物的特征以及數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，并輔以適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型化，并最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的方法稱為數(shù)學(xué)模型方法.

數(shù)學(xué)建模則是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，即對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行提煉，從中抽象出數(shù)學(xué)模型，最終求出模型的解，并對(duì)其合理性進(jìn)行驗(yàn)證的過(guò)程. 數(shù)學(xué)建模不僅是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法，更是一種數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的有機(jī)融合，也是人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的一種較為獨(dú)特的視角.

[?] 數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)建模如此重要，那么如何在高中數(shù)學(xué)課堂對(duì)此展開(kāi)教學(xué)呢？筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面著手.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過(guò)程

廣義層面來(lái)講，每一項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)和定理的形成都是建模過(guò)程的結(jié)果，因此學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程也就是學(xué)生進(jìn)行建模操作的過(guò)程. 最新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們的教學(xué)要關(guān)注學(xué)生知識(shí)的形成過(guò)程，要引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并從問(wèn)題中逐步抽象出模型，即便是我們平常提供給學(xué)生的練習(xí)題或例題，也應(yīng)該讓學(xué)生從中體會(huì)相關(guān)模型的建立過(guò)程. 因此教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)鮮活的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生從中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)建模過(guò)程.

例如，高一數(shù)學(xué)必修一模塊，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“函數(shù)”和“指數(shù)”等概念，都可以結(jié)合具體的問(wèn)題情境進(jìn)行教學(xué)導(dǎo)入. 當(dāng)然，教師也可以結(jié)合自身的教學(xué)特點(diǎn)，并充分聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際情況，從指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)等內(nèi)容的基本特征出發(fā)來(lái)設(shè)計(jì)情境，由此激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解.

2. 設(shè)計(jì)問(wèn)題，促成學(xué)生訓(xùn)練建模能力

雖然應(yīng)用性問(wèn)題和數(shù)學(xué)建模有所差別，但是應(yīng)用題卻是數(shù)學(xué)理論知識(shí)與建模思想最為有效的關(guān)聯(lián). 高中階段正是學(xué)生抽象思維迅速發(fā)展的時(shí)期，將應(yīng)用題植入我們的課堂教學(xué)將有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行訓(xùn)練.

現(xiàn)在的應(yīng)用題大多數(shù)都是命題教師根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行一定程度的提煉，并進(jìn)行抽象概括而形成的. 命題教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)就已經(jīng)完成數(shù)學(xué)建模操作的前兩個(gè)步驟：分析問(wèn)題與假設(shè)模型，需要學(xué)生完成的任務(wù)是建立模型和求解模型.由此可見(jiàn)，應(yīng)用題的確是一項(xiàng)能很好訓(xùn)練學(xué)生建模能力的素材. 教師在組織教學(xué)時(shí)，應(yīng)該關(guān)注學(xué)生處理應(yīng)用題的過(guò)程，研究學(xué)生的思維特點(diǎn)，并積極輔以建模思想的滲透，即引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)變量關(guān)系來(lái)建立相關(guān)模型，從而在對(duì)模型進(jìn)一步研究的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

3. 聯(lián)系實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生在生活中學(xué)習(xí)建模

建模教學(xué)的最終目的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并將數(shù)學(xué)知識(shí)和相關(guān)方法應(yīng)用于生活問(wèn)題的解決. 在建模能力培養(yǎng)的初級(jí)階段，學(xué)生直接運(yùn)用建模方法來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題的確存在一定困難，但是教師卻不能因此而回避這一問(wèn)題. 長(zhǎng)期的應(yīng)試教育對(duì)學(xué)生建模能力的發(fā)展產(chǎn)生了很大程度的束縛，這使得學(xué)生沒(méi)有在生活中進(jìn)行問(wèn)題發(fā)現(xiàn)的意識(shí)，因此教師要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和搜集，并嘗試著建立與此適應(yīng)的問(wèn)題庫(kù). 當(dāng)然這種建模意識(shí)的培養(yǎng)不能到高中階段才開(kāi)始，而在初中，甚至小學(xué)，數(shù)學(xué)教師就應(yīng)該進(jìn)行針對(duì)性的滲透和培養(yǎng).

例如天然氣供氣系統(tǒng)有階梯式收費(fèi)、用電部分也存在階梯式供電、寄送快遞也有首重和續(xù)重之說(shuō)，這些生活中隨處可見(jiàn)的情境都蘊(yùn)含著分段函數(shù)的模型，教師適當(dāng)進(jìn)行提醒，喚醒學(xué)生對(duì)生活的回憶，這樣則必能激起學(xué)生的心理共鳴，從而對(duì)建模產(chǎn)生更加濃厚的興趣，同時(shí)也將深刻領(lǐng)會(huì)建模方法的價(jià)值.

4. 顯化教育，引導(dǎo)學(xué)生明確建模操作的具體方法

數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的教育本來(lái)應(yīng)側(cè)重于滲透教育，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行自主感悟和體會(huì)，但是建模教學(xué)卻不能僅僅依賴于這樣的隱性教育，適當(dāng)?shù)仫@化處理，能夠更加有效地引導(dǎo)學(xué)生理順相關(guān)思路，明確建模操作的具體方法. 在高一數(shù)學(xué)課堂上，當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生初次接觸建模方法時(shí)，教師就要有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法總結(jié)，幫助學(xué)生明確以下三個(gè)問(wèn)題：何為建模、為何建模以及如何建模. 對(duì)于這些問(wèn)題，教師要結(jié)合具體問(wèn)題的解析來(lái)向?qū)W生進(jìn)行直接說(shuō)明，讓學(xué)生在建模能力培養(yǎng)的初期就能產(chǎn)生更加明確的認(rèn)識(shí).

例如，高一數(shù)學(xué)必修一的第三章“函數(shù)模型及其應(yīng)用”就是一個(gè)很好的契機(jī)，在學(xué)生已經(jīng)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)有所掌握的前提下，引導(dǎo)學(xué)生逐步用函數(shù)思想來(lái)解讀實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而從更加真實(shí)的問(wèn)題情境中提煉出函數(shù)模型，在這一過(guò)程中，教師不僅要做好方法的引導(dǎo)，更要在學(xué)生完整經(jīng)歷建模過(guò)程后，要明確指明該過(guò)程中數(shù)學(xué)建模的定義、方法以及意義.

5. 組織興趣小組，讓學(xué)生在社團(tuán)活動(dòng)中發(fā)展建模能力

數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和思維方法，更是可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的重要載體，學(xué)生細(xì)細(xì)對(duì)其進(jìn)行品味能深刻感受到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣. 對(duì)于那些由此感受到興趣的學(xué)生，教師要有意識(shí)地將他們組織起來(lái)，以建模興趣小組的形式開(kāi)展活動(dòng)，并以此為平臺(tái)來(lái)發(fā)展相應(yīng)的能力. 在這樣的學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)中，教師應(yīng)該積極創(chuàng)造條件，幫助他們選擇研究的方向，并鼓勵(lì)他們從現(xiàn)實(shí)生活中選擇素材來(lái)進(jìn)行建模練習(xí). 在活動(dòng)的初期，教師的指導(dǎo)要較為明確一點(diǎn)，主要以數(shù)據(jù)和變量關(guān)系較為清晰的問(wèn)題為主，讓學(xué)生能從中體會(huì)較為完整的建模過(guò)程. 例如銀行存款和貸款的復(fù)利問(wèn)題、工廠折舊、利潤(rùn)以及勞資分配問(wèn)題、公路交通規(guī)劃的最優(yōu)化問(wèn)題等等，都可以讓學(xué)生在嘗試中進(jìn)行處理.

隨著學(xué)生社團(tuán)的不斷發(fā)展，教師要逐漸隱身于幕后，鼓勵(lì)學(xué)生以更加獨(dú)立自主的姿態(tài)來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，并在和同學(xué)交流的過(guò)程中對(duì)具體思路和有關(guān)方案進(jìn)行探討和評(píng)價(jià). 社團(tuán)活動(dòng)的優(yōu)勢(shì)還包括學(xué)生在相互協(xié)作中能彼此啟發(fā)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)方案的優(yōu)化，而且相互之間的取長(zhǎng)補(bǔ)短還能促進(jìn)后進(jìn)生的發(fā)展和進(jìn)步. 因?yàn)樯鐖F(tuán)活動(dòng)主要是課堂學(xué)習(xí)的進(jìn)一步延伸，所以活動(dòng)內(nèi)容還可以更加靈活一些，比如教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)嘗試處理更加復(fù)雜的建模問(wèn)題，當(dāng)然還可以從網(wǎng)絡(luò)中選擇更加新穎的建模素材來(lái)充實(shí)學(xué)生的認(rèn)識(shí).

6. 研讀案例，在學(xué)習(xí)他人經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中提升能力

學(xué)生有了一定的建模認(rèn)識(shí)之后，教師要組織學(xué)生研讀一些成功且典型的數(shù)學(xué)建模案例，以此來(lái)拓展學(xué)生的視野和思維，并為學(xué)生的進(jìn)一步研究創(chuàng)造機(jī)會(huì). 為此，教師要善于對(duì)相關(guān)素材進(jìn)行整合，例如可以從數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程、數(shù)學(xué)雜志或外文資料上搜集相關(guān)信息，適當(dāng)取舍后，以適合學(xué)生閱讀習(xí)慣和閱讀能力的形式呈現(xiàn)給學(xué)生.

教師還要積極在學(xué)校圍繞數(shù)學(xué)建模開(kāi)設(shè)學(xué)術(shù)講壇，以學(xué)術(shù)報(bào)告的形式為學(xué)生呈現(xiàn)詳細(xì)的建模案例和鮮活的建模知識(shí)，由此依托校園文化的建設(shè)活動(dòng)來(lái)營(yíng)造數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)氛圍.

學(xué)生從簡(jiǎn)單問(wèn)題開(kāi)始逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，到最后研讀學(xué)術(shù)性的數(shù)學(xué)建模文章，這將是一個(gè)逐步深入的能力發(fā)展過(guò)程，到此為止，學(xué)生的建模能力就已經(jīng)有了質(zhì)的飛躍.

7. 自我研究，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中展示建模能力

當(dāng)學(xué)生的建模能力有了較為完備的發(fā)展之后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生從自己的生活實(shí)際出發(fā)，逐步搜集相應(yīng)的資料和信息，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并積極進(jìn)行模型假設(shè)、模型建立、模型求解和模型驗(yàn)證，在這一完整的建模過(guò)程中，體驗(yàn)整體性的建模方法和思想，同時(shí)教師也要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行論文的撰寫(xiě)，并踴躍投稿，以此讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模成功的快樂(lè).

當(dāng)前，各地的數(shù)學(xué)教研組織也會(huì)組織一些應(yīng)用數(shù)學(xué)的競(jìng)賽，當(dāng)學(xué)生的能力發(fā)展到一定程度時(shí)，教師要適時(shí)地鼓勵(lì)他們參與此類競(jìng)賽，讓他們?cè)诒荣愔羞M(jìn)一步錘煉自己的能力，并通過(guò)比賽來(lái)檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)效果，從而實(shí)現(xiàn)自我能力的展示.