挖掘教材，鏈接高考

任小平

[摘 要] 高考命題體現(xiàn)“植根于教材，來(lái)源于課本，著眼于提高”的原則，本文以圓錐曲線的復(fù)習(xí)為例，引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，挖掘教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，深入研究課本典型例題、習(xí)題及其引申、演變. 高考圓錐曲線模塊知識(shí)點(diǎn)：定義與方程、軌跡、定點(diǎn)、定值、最值、共線等.

[關(guān)鍵詞] 教材；挖掘；高考

教育部考試中心姜鋼主任在解讀2017全國(guó)高考新修訂考綱的文章中指出：通過(guò)“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”四層考查目標(biāo)；通過(guò)“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四翼考查要求. 解讀中指出：“必備知識(shí)”強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生長(zhǎng)期學(xué)習(xí)的知識(shí)儲(chǔ)備中的基礎(chǔ)性、通用性知識(shí)，是學(xué)生今后進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)以及終身學(xué)習(xí)所必須掌握的. 高考盡管是選拔性考試，但也至少有60%的基礎(chǔ)題，這些知識(shí)絕大部分都在教材上有明確體現(xiàn).

事實(shí)上，其他三個(gè)層面及“四翼”的培養(yǎng)與形成有較大一部分取決于學(xué)生對(duì)教材的學(xué)習(xí)與掌握程度，無(wú)論是全國(guó)卷，還是自主命題的省、市卷，各份試卷都特別注重高考與教材的緊密聯(lián)系，因而用好教材以及對(duì)教材的挖掘至關(guān)重要.

在高考備考的學(xué)習(xí)中對(duì)照考綱，用好教材，盡量把“目標(biāo)”與“要求”的考查用課本例題、習(xí)題或變式題這些熟悉的背景呈現(xiàn)給學(xué)生，更有利于學(xué)生各個(gè)方面的能力的培養(yǎng)與形成.

由于高考命題充分體現(xiàn)了“植根于教材，來(lái)源于課本，著眼于提高”的原則，本文以圓錐曲線的復(fù)習(xí)為例，引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，挖掘教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，深入研究課本典型例題、習(xí)題及其引申、演變，關(guān)注高考圓錐曲線模塊知識(shí)點(diǎn)：定義與方程、軌跡、定點(diǎn)、定值、最值、共線等在教材的生長(zhǎng)點(diǎn)，使高考備考事半功倍.

[?] 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

高考重視學(xué)科素養(yǎng)的考查，重視學(xué)生的概念形成過(guò)程，重視學(xué)生對(duì)概念的理解及通用性知識(shí)的考查.

（1）人教A版《選修2-1》第40頁(yè)例1：

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

，

-，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

課本提出了兩種解決方法：①定義法；②待定系數(shù)法.

2013年高考四川理科卷第20題：

已知橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

，

. 其第一問(wèn)“求橢圓C的離心率”就是以該例為背景改編而成的.

采用課本的定義法求解如下：2a=

PF1

+

PF2

=+=2，所以a=. 又由已知得c=1，所以橢圓C的離心率e===.

（2）人教A版《選修2-1》習(xí)題2.2A組第7題：

如圖1，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn). 線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

人教A版《選修2-1》習(xí)題2.3A組第5題與該習(xí)題類(lèi)似. 學(xué)生探究后容易求解這兩個(gè)問(wèn)題.

軌跡問(wèn)題可以優(yōu)先考慮運(yùn)用定義法：連接QA，由于l是線段AP的垂直平分線，Q∈l，所以QA=QP. 又OP=OQ+QP=r，從而QO+QA=r.由橢圓的定義可知，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓.

2016年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷第20題：

如圖2，設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. 其第一問(wèn)“證明EA+EB為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程”的生長(zhǎng)點(diǎn)就是該習(xí)題.

學(xué)生在此基礎(chǔ)上容易完成此問(wèn)題的求解：因?yàn)锳D=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以EB=ED，故EA+EB=EA+ED=AD. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，從而AD=4，所以EA+EB=4. 由題設(shè)得A（-1，0），B（1，0），AB=2. 由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1（y≠0）.

[?] 三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題

教材部分典型例題、習(xí)題及其演變是考試內(nèi)容的具體化，教材是高考較大一部分中低檔試題的直接來(lái)源.

人教A版《選修2-1》“2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”練習(xí)第3題：

已知經(jīng)過(guò)橢圓+=1的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn). （1）求△AF1B的周長(zhǎng)；（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長(zhǎng)有變化嗎？為什么？

2012年四川卷理科第15題、2014年全國(guó)卷第6題兩試題命制的生長(zhǎng)點(diǎn)選擇的就是這題.

2014年全國(guó)卷第6題：

已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為（ ）

A. +=1 B. +y2=1

C. +=1 D. +=1

2012年四川卷理科15題：

如圖3，橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是________.

設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接AF′，BF′. △FAB的周長(zhǎng)=AF+BF+AB=4-AF′+4-BF′+AB=8+AB-（AF′+BF′）≤8.

當(dāng)直線AB過(guò)右焦點(diǎn)F′時(shí)“=”成立. 此時(shí)AB=3，F(xiàn)F′=2，△FAB的面積為3.

該題進(jìn)一步還可以演變?yōu)椋篈，B是橢圓+=1上的兩動(dòng)點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F，則△FAB的周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)________.

學(xué)生用同樣的方法可以得到△FAB的周長(zhǎng)的最大值為8.

[?] 位置關(guān)系與最值問(wèn)題

高考是選拔性考試，高考部分試題必須有一定難度，這部分試題大多數(shù)也是根據(jù)教材的基本內(nèi)容、基本方法編擬的，只不過(guò)是在綜合性和靈活性上提出了較高要求.

（1）人教A版《選修2-1》“2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”例7：

如圖4，已知橢圓的方程為+=1，直線l：4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點(diǎn)，使它到直線l的距離最??？最小距離是多少？

作出直線l與橢圓（如圖4所示），觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，利用平行于直線l且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線（直線與橢圓相切），可以求得相應(yīng)的最小距離.

學(xué)生根據(jù)分析容易提出課本求解方法（判別式法），引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究其他方法. 經(jīng)過(guò)探究后，學(xué)生提出用參數(shù)法設(shè)出橢圓上點(diǎn)M的坐標(biāo)（5cosφ，3sinφ），表示出M到直線l：4x-5y+40=0的距離d=，然后采用三角函數(shù)的輔助角公式可以求出d的最小值.

還可以更進(jìn)一步探究：一般情況下直線l：Ax+By+P=0與橢圓+=1（a>0，b>0，a≠b）相切時(shí)，A，B，P，a，b滿足的關(guān)系. 學(xué)生分組探究后得到滿足的關(guān)系式為：A2a2+B2b2=P2. 這在練習(xí)中或考試中解決小題會(huì)顯得非?？旖?、準(zhǔn)確.

如：已知以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）

A. 3 B. 2

C. 2 D. 4

運(yùn)用結(jié)論可得12a2+（）2b2=42，即a2+3b2=16，又a2-b2=4，從而a2=7，a=，選C.

（2）人教A版《必修2》“3.3.3點(diǎn)到直線的距離”以及人教A版《選修2-1》“2.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”的練習(xí)第7題：

經(jīng)過(guò)橢圓+y2=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng).

2016年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ第20題：

設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. 其中第二問(wèn)“設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍”.

該問(wèn)就是將教材知識(shí)點(diǎn)交匯后以此為背景綜合改編而成的. 具體求解如下：

當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x-1），

，0

，由后面計(jì)算的結(jié)果知道該點(diǎn)仍然是（2p，0）.

通過(guò)這兩個(gè)題目的分析、探究，引導(dǎo)學(xué)生改編、演變，適當(dāng)時(shí)提出問(wèn)題：

已知拋物線y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)為O，A，B為其上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時(shí)，直線AB是否一定過(guò)定點(diǎn)（2p，0）？反過(guò)來(lái)，直線AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）時(shí)，是否一定有OA⊥OB？

各個(gè)學(xué)習(xí)小組討論、交流，學(xué)生給出問(wèn)題的解決辦法：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+t.

由x=my+t，

y2=2px，得y2-2pmy-2pt=0.

所以y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

所以x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=-2ptm2+2pm2t+t2=t2.

因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0.

所以t2-2pt=0，所以t=2p，直線AB的方程為x=my+2p，直線AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

學(xué)生通過(guò)課本兩個(gè)習(xí)題的研究容易得到：

已知拋物線y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)為O，A（x1，y1），B（x2，y2）為其上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時(shí)，直線AB一定過(guò)定點(diǎn)（2p，0）；反之，直線AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）時(shí)，一定有OA⊥OB，且x1x2=4p2，y1y2=-4p2.

事實(shí)上，還可以演變、引申出結(jié)論：

已知拋物線y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)為O，A（x1，y1），B（x2，y2）為其上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)·=-p2時(shí)，A，B，M（p，0）三點(diǎn)共線；反之，直線AB過(guò)定點(diǎn)M（p，0）時(shí)，一定有·=-p2，且x1x2=p2，y1y2=-2p2.

在高考備考中，其他模塊與圓錐曲線模塊的復(fù)習(xí)一樣，首先研究近些年高考試題的命題導(dǎo)向，找出試題在教材中的生長(zhǎng)點(diǎn)；其次，積極引導(dǎo)學(xué)生挖掘教材，探究教材試題的改編，把握好教材與高考的鏈接，切實(shí)達(dá)到高考復(fù)習(xí)事半功倍的效果.