簡(jiǎn)述非標(biāo)準(zhǔn)分析在其他學(xué)科中的應(yīng)用

韓嬋　張彥　馬婷

摘 要：非標(biāo)準(zhǔn)分析法理論的研究直接或間接的影響著其他學(xué)科的發(fā)展。為了說(shuō)明非標(biāo)準(zhǔn)分析方法的科學(xué)價(jià)值，首先簡(jiǎn)述了非標(biāo)準(zhǔn)分析產(chǎn)生的背景和發(fā)展現(xiàn)狀；其次研究了非標(biāo)準(zhǔn)分析在圖論、拓?fù)鋵W(xué)、概率論、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的若干應(yīng)用。所得到結(jié)論為今后利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法研究其他相關(guān)學(xué)科奠定了一定的基礎(chǔ)。最后，希望非標(biāo)準(zhǔn)分析對(duì)其他學(xué)科產(chǎn)生更深遠(yuǎn)的影響。

關(guān)鍵詞：非標(biāo)準(zhǔn)分析；圖論；拓?fù)淇臻g ；概率論；物理學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2017）13-0013-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.13.005

一、 非標(biāo)準(zhǔn)分析概述

牛頓與 Leibnizi在創(chuàng)建微積分時(shí)，虛構(gòu)了無(wú)窮小數(shù)及無(wú)窮大數(shù)。他們打破常規(guī)的想法，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 但是，那時(shí)對(duì)無(wú)窮小的解釋相當(dāng)含糊，因此一些數(shù)學(xué)家不信任無(wú)窮小量這種方法。許多學(xué)者認(rèn)為：無(wú)窮小缺乏必要的理論基礎(chǔ)。后來(lái)，柯西等終于尋找到“？著-？啄方法”，回避了無(wú)窮小，解決了微積分的內(nèi)在的根本的矛盾，也顯示了有限和無(wú)限的關(guān)系，但此方法仍有瑕疵，因?yàn)閭鹘y(tǒng)的阿基米德域R是容納不了無(wú)窮小數(shù)，所以必須想辦法將數(shù)學(xué)從阿基米德的性質(zhì)中解放出來(lái)，數(shù)學(xué)才會(huì)有更長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展。經(jīng)過(guò)學(xué)者們不斷地探索，1960年羅賓遜發(fā)現(xiàn)：模型論中的一些成果和分析學(xué)中的無(wú)窮小數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系，因此他將實(shí)數(shù)域擴(kuò)張為超實(shí)數(shù)域，從而建立了一門(mén)新的學(xué)科——非標(biāo)準(zhǔn)分析，使300年來(lái)一直被大家爭(zhēng)論的無(wú)窮小數(shù)問(wèn)題得到了解決，進(jìn)而為微積分奠定了一定的理論基礎(chǔ)。我國(guó)學(xué)者李邦河院士運(yùn)用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法建立了廣義函數(shù)理論；馮漢橋教授利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論，對(duì)隱函數(shù)及內(nèi)超實(shí)度量空間結(jié)構(gòu)等進(jìn)行了探索，他們所取得的成果對(duì)國(guó)際非標(biāo)準(zhǔn)分析的研究做出了突出的貢獻(xiàn)。從整個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)分析的產(chǎn)生過(guò)程可以看出，非標(biāo)準(zhǔn)分析實(shí)際上是微分學(xué)逐漸完善的產(chǎn)物。

二、 非標(biāo)準(zhǔn)分析的應(yīng)用

隨著非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的完善，非標(biāo)準(zhǔn)分析在圖論、概率論、物理學(xué)、 拓?fù)鋵W(xué)等都有著廣泛的應(yīng)用。

（一）非標(biāo)準(zhǔn)分析在圖論中的應(yīng)用

圖論的快速發(fā)展使得有限圖備受大家關(guān)注，其研究成果也不斷涌現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)圖論只限于有限圖，方法也多為有限群、有限組合等。但近年來(lái)，學(xué)者逐漸重視了對(duì)無(wú)限圖的研究，這是由于無(wú)限圖的若干理論對(duì)數(shù)學(xué)的分支學(xué)科有著極為廣泛的應(yīng)用，而將非標(biāo)準(zhǔn)分析用于圖論的研究，為圖論的發(fā)展提供了更好的方法。首先可以運(yùn)用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法定義*-有限圖，得到一類(lèi)為*-有限圖的充要條件，利用轉(zhuǎn)換原理把有限圖的部分理論應(yīng)用到*-有限圖，將給定的無(wú)限圖嵌入到某個(gè)*-有限圖中，從而為無(wú)限圖的理論研究提供了一種新的想法。

（二） 非標(biāo)準(zhǔn)分析在拓?fù)淇臻g中的應(yīng)用

1. 在模糊拓?fù)淇臻g中的若干應(yīng)用

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者們首先對(duì)模糊集合及其相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行了非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張，從而把非標(biāo)準(zhǔn)分析的部分理論應(yīng)用到了模糊數(shù)學(xué)中。在此基礎(chǔ)上，隨后又通過(guò)共點(diǎn)原理，將非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)大的模型應(yīng)用到了模糊數(shù)學(xué)里，使非標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)大模型具備了模糊運(yùn)算的若干表現(xiàn)形式，還定義了模糊拓?fù)淇臻g的定義， 運(yùn)用非標(biāo)準(zhǔn)分析的一個(gè)重要工具——轉(zhuǎn)換原理， 對(duì)模糊濾子的極限點(diǎn)及其模糊濾子的收斂性進(jìn)行了非標(biāo)準(zhǔn)的刻畫(huà)，證明了N-單子、R-單子和Q-單子對(duì)應(yīng)的逼近定理及其相互間的關(guān)系，最后部分學(xué)者還對(duì)模糊拓?fù)淇臻g中的緊性等進(jìn)行了非標(biāo)準(zhǔn)的刻畫(huà)及證明，這些刻畫(huà)深刻的體現(xiàn)了非標(biāo)準(zhǔn)分析方法的好處，也使模糊拓?fù)鋵W(xué)原有的定義、結(jié)論更清晰明。

2.在一致拓?fù)渲械娜舾蓱?yīng)用

目前，國(guó)內(nèi)外部分學(xué)者利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法和理論，對(duì)一致空間上的函數(shù)及一致收斂進(jìn)行了非標(biāo)準(zhǔn)的刻畫(huà)，最終得到了一致空間上的函數(shù)的U-等度連續(xù)性、rs-連續(xù)性等若干結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上，得到了這四種連續(xù)性之間存在的關(guān)系。并利用非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法及理論定義了緊一致空間，得到了此空間上緊映射的部分性質(zhì)，還利用U-微連續(xù)的定理，對(duì)一致空間上的函數(shù)的逼近定理做出了更加簡(jiǎn)便的證明， 對(duì)Cauchy濾子與一致結(jié)構(gòu)單子兩者之間存在的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行了討論，得到了一致空間完備的充要條件，這些結(jié)果為今后繼續(xù)探討一致拓?fù)淇臻g奠定了一定的基礎(chǔ)。

3.在線性拓?fù)渲械娜舾蓱?yīng)用

眾所周知，線性拓?fù)淇臻g，是線性距離空間的更進(jìn)一步推廣。學(xué)者們利用非標(biāo)準(zhǔn)的方法和理論對(duì)集合的稠密、無(wú)處稠密等問(wèn)題進(jìn)行了非標(biāo)準(zhǔn)的刻畫(huà)，并且利用這些結(jié)論證明了線性拓?fù)渲型拱牟糠中再|(zhì)。在Hausdorff拓?fù)渲校ㄟ^(guò)非標(biāo)準(zhǔn)分析的方法及理論定義了集族上的Vietoris拓?fù)淇臻g，還定義了兩種不同的新單子：C、I單子，應(yīng)用這兩個(gè)單子對(duì)Hausdorff拓?fù)渲屑W(wǎng)按Vietoris 拓?fù)涫諗康脑S多性質(zhì)進(jìn)行了討論和研究，現(xiàn)有的結(jié)果為今后線性拓?fù)涞母M(jìn)一步發(fā)展做出了的貢獻(xiàn)。

（三）非標(biāo)準(zhǔn)分析在概率論中的應(yīng)用

借助于非標(biāo)準(zhǔn)分析理論，首先建立了一個(gè)擴(kuò)大模型中的內(nèi)概率空間，由測(cè)度擴(kuò)張定理，可以將其完備化，形成了Loeb概率空間，并且證明了存在*有限概率空間，而在標(biāo)準(zhǔn)的Radon空間上展開(kāi)的概率論可以由Loeb概率空間得到。對(duì)于Loeb可測(cè)函數(shù)g，存在所謂可積的內(nèi)函數(shù)G，使得0G=g，由此可知，概率論在本質(zhì)上是可以通過(guò)*有限概率空間理論來(lái)表示。通過(guò)非標(biāo)準(zhǔn)分析理論建立起來(lái)的測(cè)度論基礎(chǔ)，為概率論給出了一個(gè)嚴(yán)密性的數(shù)學(xué)敘述，并在此基礎(chǔ)上正在做出新的研究。

（四）非標(biāo)準(zhǔn)分析在物理學(xué)中的應(yīng)用

量子力學(xué)是物理學(xué)的一個(gè)分支，主要研究的是微觀世界的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和狀態(tài)，非標(biāo)準(zhǔn)分析理論為其研究提供了重要的方法。Dirac， Schwarz， Gelqand 等許多數(shù)學(xué)家引入了奇異函數(shù)：點(diǎn)Delta函數(shù)，其基本觀點(diǎn)是“*W的若干函數(shù)，它對(duì)于W中的若干函數(shù)具有篩取性質(zhì)”，非標(biāo)準(zhǔn)分析理論使Delta函數(shù)定義中的一些漏洞得到了解決，被大家認(rèn)可，從而為量子力學(xué)的研究注入了新的動(dòng)力。

（五）非標(biāo)準(zhǔn)分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

在規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)中，數(shù)學(xué)的用處確實(shí)不是很大，但近年來(lái)，數(shù)學(xué)在實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)主要研究的是：通過(guò)各種經(jīng)濟(jì)手段及其機(jī)構(gòu)使得稀缺資源滿足大眾的需求。在此，利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的方法，研究了一般經(jīng)濟(jì)均衡理論和經(jīng)濟(jì)核心理論，并且建立了數(shù)學(xué)模型下的競(jìng)爭(zhēng)模型，也就是經(jīng)濟(jì)均衡模型。在此基礎(chǔ)上，證明了經(jīng)濟(jì)均衡與經(jīng)濟(jì)核心相重合，使Edgeworth猜想得到了驗(yàn)證，當(dāng)然，非標(biāo)準(zhǔn)分析對(duì)于經(jīng)濟(jì)的影響有待進(jìn)一步的探討。

三、結(jié)語(yǔ)

非標(biāo)準(zhǔn)分析理論是數(shù)學(xué)理論不斷發(fā)展和完善的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)發(fā)展中相對(duì)獨(dú)立的表現(xiàn)，雖然已經(jīng)取得的些許成果，但是如何利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論的方法，更好地來(lái)研究其他學(xué)科中問(wèn)題，這還需要國(guó)內(nèi)外學(xué)者共同努力，相信非標(biāo)準(zhǔn)分析將會(huì)對(duì)各學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生更大的影響。

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