浴缸水溫控制模型的建立與仿真

汪佳星,楊激文,張會(huì)清,王子鈺(北京工業(yè)大學(xué) 電子信息與工程學(xué)院,北京 100124)

浴缸水溫控制模型的建立與仿真

汪佳星,楊激文,張會(huì)清,王子鈺
(北京工業(yè)大學(xué) 電子信息與工程學(xué)院,北京 100124)

針對(duì)生活中浴缸水溫的控制問題，基于能量守恒定律，構(gòu)造了能量守恒模型。為使模型更加精確，基于傅里葉實(shí)驗(yàn)定律與邊界層的影響，完成了對(duì)原有模型的改進(jìn)即熱傳導(dǎo)分層模型。最后利用MATLAB對(duì)模型的結(jié)果進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)了對(duì)不含二次加熱系統(tǒng)與循環(huán)噴流系統(tǒng)的浴缸水溫模型的建立，在節(jié)約用水及洗浴成本等方面具有一定意義。

水溫控制;浴缸;能量守恒定律;傅里葉實(shí)驗(yàn)定律;熱傳導(dǎo)分層模型

針對(duì)水溫控制問題，柴利松[1]研制了一套基于嵌入式控制器的自動(dòng)恒溫供水裝置系統(tǒng)。系統(tǒng)采用ARM處理器以及PID控制算法使系統(tǒng)的響應(yīng)速度更快、控制精度更高且更穩(wěn)定可靠。國(guó)外M.E.Folan[2]研究了一種利用特殊的甲烷燈泡來控制浴缸水溫恒定在40 ℃的設(shè)備，其精度大約在1 ℃的范圍內(nèi)。Anger.A.T[3]發(fā)明了一種自帶控制面板的浴缸，通過在控制面板上各點(diǎn)的傳感器來測(cè)定水溫進(jìn)而通過各個(gè)供水管道來控制使水溫恒定。上述研究均采用了較先進(jìn)的技術(shù)，安全性、可維護(hù)性均存在需要解決的問題，同時(shí)造價(jià)也不低，所以不適用于普通的家庭。本文針對(duì)不含二次加熱系統(tǒng)與循環(huán)噴流系統(tǒng)的普通浴缸建立水溫模型，確定入水溫度與最小流速。因此，我們對(duì)水溫模型的研究在節(jié)約用水及洗浴成本等方面具有一定意義。

1 模型的建立

我們的模型建立在系統(tǒng)熱量守恒[4]的基礎(chǔ)上，輸入浴缸系統(tǒng)的熱量等于系統(tǒng)向外散發(fā)的熱量。輸入的熱量等于向浴缸里加入的熱水的熱量；輸出的熱量則分為三個(gè)部分:第一部分是通過浴缸壁的傳導(dǎo)散熱，第二部分是浴缸里的水與空氣的對(duì)流散熱，第三部分則是水向人體的散熱。由于要保持浴缸里水溫的恒定，基于系統(tǒng)熱量守恒，可以得到系統(tǒng)輸入的熱量等于向系統(tǒng)外散失的熱量。

1.1 輸入的熱量

設(shè)沐浴時(shí)的水的比熱容為c,通過水龍頭向浴缸里注入的水的溫度為Th,水龍頭的水流流速為vkg/s。利用以上幾個(gè)變量，以及水的熱量計(jì)算公式[5]，可以求出系統(tǒng)在單位時(shí)間dt的輸入能量為

dQ=cThv

(1)

1.2 散發(fā)的熱量

1.2.1 浴缸壁的熱傳導(dǎo)散熱

(1)平板的熱傳導(dǎo)

根據(jù)熱傳導(dǎo)公式——傅里葉定律[6]，可以得到，在一個(gè)均勻的平板內(nèi)，當(dāng)T1>T2(T為溫度)時(shí)，熱量以導(dǎo)熱的方式通過物體,方向從T1側(cè)向T2側(cè)傳遞，如圖1所示：

圖1 板子的熱傳導(dǎo)模型

設(shè)熱流方向的微分長(zhǎng)度為dn，在dt(t為單位時(shí)間)的瞬時(shí)傳遞能量為dW。根據(jù)熱傳導(dǎo)公式實(shí)驗(yàn)證明[6]，單位時(shí)間內(nèi)通過平板傳導(dǎo)的熱量dW與溫度梯度dT/dn和傳熱面積A成正比，其中T表示單位溫度，即dW∝A·(dT/dn)dt其中，左式與右式之間的比例系數(shù)稱之為導(dǎo)熱系數(shù)λ，則：

(2)

(2)側(cè)壁和壁底散熱

設(shè)側(cè)壁的厚度為b，水與浴缸側(cè)面的接觸面積為Sl，水與浴缸底部的接觸面積為Sd，浴室空氣的溫度為Tair，浴缸內(nèi)的水的溫度為T0，那么我們可以列出熱量通過浴缸底面及側(cè)面的散失值：

(3)

1.2.2 水面與空氣間的對(duì)流散熱

根據(jù)對(duì)流散熱公式[7]，設(shè)浴缸內(nèi)的水面的溫度為T0，空氣的溫度為Tair，單位時(shí)間dt內(nèi)通過水氣交界面(面積為Sup)，水面向空氣中傳播的熱量dQ2，散熱系數(shù)為α，則：

dQ2=α·(T0-Tair)·Supdt

(4)

散熱系數(shù)α的計(jì)算采用管來貝格計(jì)算法。

設(shè)水的比熱容為c 、密度為ρ 、浴缸深度為h；通過簡(jiǎn)化模型[8-9]，只考慮平衡水溫，可得出散熱系數(shù)的簡(jiǎn)化公式為

(5)

將式(4)與式(5)聯(lián)立可以求出水面與空氣間的對(duì)流散熱表達(dá)式為

dQ2=ρ·c·h·dT

(6)

1.2.3 人體吸熱

(1)靜止吸熱

靜止時(shí)人體和水之間的傳熱可簡(jiǎn)化為導(dǎo)熱問題，設(shè)人體的熱導(dǎo)率為k，人體和水的接觸面積為Sp，傳熱厚度為L(zhǎng)。根據(jù)之前提到的傅里葉定律,可得出水與人體的導(dǎo)熱量為

(7)

由于人體熱導(dǎo)率低[10](40 ℃時(shí)約為0.2 W/(m·k) )，固定水溫情況下傳導(dǎo)熱量較低。

(2)移動(dòng)對(duì)流吸熱[11]

當(dāng)人體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，水和人體表面的熱量交換加入了強(qiáng)制對(duì)流。設(shè)強(qiáng)制對(duì)流系數(shù)為h(強(qiáng)制對(duì)流系數(shù)受到很多因素影響，水約為1 000～1 500[12]),根據(jù)牛頓冷卻定律可以得出人在運(yùn)動(dòng)的時(shí)候從水中吸收的熱量為

dQ3=h·Sp·(T0-Tp)dt

(8)

1.2.4 放走的水的熱量

類比于吸收的水的熱量公式，可得出放出水的熱量為dQ4=cT0vdt

1.3 能量守恒定律

在這個(gè)系統(tǒng)中，總的輸入熱量等于輸出熱量之和[13]，即

(9)

將式(1)、式(4)、式(5)、式(16)、式(17)聯(lián)立，得

(10)

1.4 討論最省水的方案

圖2 人在浴缸的兩種姿勢(shì)的討論

針對(duì)省水問題，我們主要考慮水從浴缸里溢出對(duì)水溫與用水量的影響。這里我們考慮滿水的極端情況，因?yàn)樵跐M水的情況下，人在水中的運(yùn)動(dòng)會(huì)造成水的溢出，而在水不滿的情況下，無法具體確定人的運(yùn)動(dòng)是否造成水的溢出，在這里我們不做討論。設(shè)人體適宜的沐浴溫度范圍為[T1,T2]，當(dāng)浴缸水滿時(shí)，人由躺在浴缸里到坐在浴缸里，這個(gè)過程中水的變化量為ΔM，而人躺在水中時(shí)水的體積為M。

極端一：躺在浴缸里達(dá)到溫度不變，然后坐起來。

(11)

人體的沐浴溫度范圍使得最大的溫度不能比T2高，最低溫度也不能比T1低，根據(jù)這兩個(gè)限定條件我們可以求出最小的流速vmin和此時(shí)最大的加入水溫(Th)max。

極端二：坐著達(dá)到溫度不變，然后躺下去。

由坐在浴缸里到躺在浴缸里，會(huì)排出ΔM的水，水的蒸發(fā)量會(huì)減少，這必然會(huì)導(dǎo)致水的溫度上升。關(guān)系式為

(12)

同理因?yàn)樽畲鬁囟炔荒鼙萒2高，聯(lián)立以上兩個(gè)式子，可以確定出最小流速vmin和此時(shí)最大入水溫度(Th)max。

2 模型的改良方案

對(duì)之前的能量守恒模型，我們作了這樣的假設(shè)：加入浴缸里的熱水進(jìn)入浴缸后，浴缸內(nèi)各處的水的溫度近似相等。這樣假設(shè)只是為了在計(jì)算時(shí)能夠帶來簡(jiǎn)化，但是在實(shí)際情況中，這種假設(shè)很難實(shí)現(xiàn)。根據(jù)圖3與圖4，我們可以發(fā)現(xiàn)熱水進(jìn)入浴缸的位置會(huì)對(duì)浴缸的水溫分布造成影響。因此，改良的模型將針對(duì)不同的熱水加入位置以及浴缸壁的熱傳導(dǎo)作用對(duì)水溫產(chǎn)生的影響進(jìn)行討論，提高模型的準(zhǔn)確性。

圖3 熱水從浴缸中心加入的水溫分布俯視圖

圖4 熱水從頂角加入的水溫分布俯視圖

2.1 微觀層面的熱量分析

從以上的討論可以得出熱量總是從高溫向低溫傳遞。

圖5 微觀層面上熱量分析

圖6 邊界層對(duì)于水溫的影響

2.2 邊界層對(duì)于浴缸水溫的影響

2.3 熱力學(xué)傳導(dǎo)模型

3 模型建立的結(jié)果與分析

這里我們選取常用的1.2m×0.8m×0.8m[16]的長(zhǎng)方形陶瓷浴缸，浴缸壁的厚度為5cm[17]，浴缸的導(dǎo)熱系數(shù)為1.22W/(M·K)[18]，并假設(shè)浴缸里水的初始溫度為40 ℃，浴室內(nèi)空氣的溫度為25 ℃。由于浴缸表面溫度分布與水龍頭入水溫度有關(guān)，當(dāng)入水溫度較低時(shí)，每一點(diǎn)的溫度差異較小，為了使現(xiàn)象更明顯同時(shí)盡可能與實(shí)際相符，這里我們假設(shè)入水溫度為60 ℃。(具體溫度可以根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定)

根據(jù)1.2.3節(jié)簡(jiǎn)單計(jì)算得知dQ3的影響很小，可忽略不計(jì)。將以上參數(shù)帶入式(4)、式(16)，列出水溫與水龍頭的入水量的關(guān)系式，進(jìn)而用Matlab畫出相應(yīng)關(guān)系如圖7。

圖7 熱水流量與水溫的關(guān)系式

圖8 浴缸表面溫度的分布

從圖7中可以看出，在上述條件下，要保持初始40 ℃的水溫，需要控制水流速為0.022 kg/s。根據(jù)改進(jìn)模型，我們利用二維熱傳導(dǎo)方程[19]，分析出浴缸壁的溫度分布，通過MATLAB我們得到圖8。其中x軸為浴缸邊長(zhǎng)度(米)，y軸為浴缸深度(米)，z軸為溫度(攝氏度)。由圖我們可以看出浴缸壁上的溫度呈現(xiàn)出發(fā)散梯度。加入的水溫、流量不同，會(huì)導(dǎo)致浴缸壁的溫度發(fā)生變化，影響水通過其發(fā)生的熱傳導(dǎo)，從而影響系統(tǒng)平衡。在其他浴缸壁表面，由于溫度擴(kuò)散距離較遠(yuǎn)，溫度在表面各處基本保持相同。由于浴缸中每一點(diǎn)的溫度不同，所以我們以浴缸中一點(diǎn)的溫度為例計(jì)算浴缸壁的熱傳導(dǎo)對(duì)水溫產(chǎn)生的影響。為方便與初始的能量守恒模型進(jìn)行對(duì)比，假設(shè)水龍頭的出水溫度與初始能量守恒模型一致都為60 ℃，水流速度為0.022 kg/s，入水口的坐標(biāo)為(0,0.4)。從圖中可以看出浴缸二維平面中(0,0.8)這一點(diǎn)的溫度為41.643 6 ℃，而初始的能量守恒模型中假設(shè)浴缸中任意一點(diǎn)的水溫都是40 ℃。因此針對(duì)(0,0.8)這一點(diǎn)初始能量守恒模型產(chǎn)生了3.95%的誤差。

4 結(jié)論

首先基于能量守恒模型,在浴缸系統(tǒng)里討論熱量的輸入與散失。計(jì)算出了水龍頭最低進(jìn)水流速和加水的最高水溫。為了使模型更加精確，基于傅里葉實(shí)驗(yàn)考慮了水的分層問題對(duì)系統(tǒng)的影響。通過建立兩個(gè)模型，可以得到水龍頭最低進(jìn)水流速和加水的最高水溫使浴缸里的水可以盡可能地保持與一開始一致。相比于其他的水溫控制模型，文中的模型在節(jié)約用水及洗浴成本等實(shí)用性方面有重要意義。首先在洗浴成本方面，一套帶恒溫控制系統(tǒng)的浴缸[20]的平均價(jià)格是文中所需普通浴缸價(jià)格的2.5倍。其次在初始溫度一定的情況下，文中的模型可以計(jì)算出最小的水流流速，從而在節(jié)約用水方面有重要意義。

[1]柴利松.自動(dòng)恒溫供水裝置研制[D].南京:南京航空航天大學(xué)，2009．

[2]FOLAN ME.Design and electrical temperature control in a water bath for the 44℃[J].The Irish Journal of Medical Science，1953:217-220.

[3]ANGER A T.Bathtub，shower water control system:US，6925661B1[P/OL].https://www.google.com/patents/US6925661.2017-03-10.

[4]楊世明，陶文銓.傳熱學(xué)[M].北京:高等教育出版社，1998.

[5]王竹溪.熱力學(xué)(第二版)[M].北京:北京大學(xué)出版社，2014.

[6]周楓林.熱傳導(dǎo)問題中的邊界面法研究[D].長(zhǎng)沙:湖南大學(xué)，2013.

[7]趙振國(guó).水面散熱的焓差公式及其應(yīng)用[J].水利學(xué)報(bào)，2004(2):34-38.

[8]陳惠泉，毛世民.超溫水體水面蒸發(fā)與散熱的試驗(yàn)研究[J].水利學(xué)報(bào)，1989(10):27-36.

[9]BOWEN LS.The ratio of heat losses by conduction and by evaporation from any water surface[J].phys Rev，1926(27):779-787.

[10]楊昆.生物組織熱物理參數(shù)的測(cè)量方法及實(shí)驗(yàn)研究[D].武漢:華中科技大學(xué),2004.

[11]汪賀模,蔡慶伍,余偉,等.水流量對(duì)熱軋鋼板層流冷卻過程對(duì)流換熱系數(shù)的影響[J].北京科技大學(xué)學(xué)報(bào),2012(12):1421-1425.

[12]陳孟.自然對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算方法研究[C].第十七屆全國(guó)反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)力學(xué)會(huì)議.上海,2012.

[13]王竹溪.能量守恒定律[J].物理通報(bào),1951(3):103-107.

[14]過增元,曹炳陽.基于熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)概念的普適導(dǎo)熱定律[J].物理學(xué)報(bào),2008(7):4273-4281.

[15]唐曉寅,張贊牢,王建華,等.管道熱邊界層理論的研究[J].后勤工程學(xué)院學(xué)報(bào),2006(1):45-49.

[16]張曉陽主編.新手裝修1000問籌劃設(shè)計(jì)材料家具[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,2013.

[17]房如意著.裝修常識(shí)速查速用大全集案例應(yīng)用版[M].北京：中國(guó)法制出版社,2016.

[18]張厚福等編.石油地質(zhì)學(xué)[M].北京：石油工業(yè)出版社,1999.

[19]薛瓊,肖小峰.二維熱傳導(dǎo)方程有限容積法的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2012(24):197-200+221.

[20]劉磊.10款主流品牌新款浴缸[J].建材與裝修情報(bào),2009(11):146-147.

(責(zé)任編輯：劉劃 英文審校：趙亮)

The building and simulating of water-temperature model in bathtub

WANG Jia-xing,YANG Ji-wen,ZHANG Hui-qing,WANG Zi-yu
(Faculty of Electronic and Engineering,Beijing University of Technology,Beijing 100124,China)

The purpose of this paper is to solve the bath problem.Based on the energy conservation law,we firstly build the energy conservation model to determine the minimum of flow velocity and the maximum of the temperature of the adding hot water.To make the result be high-precision,we improve our model to the heat conduction and hierarchy model,which consider the hierarchy of water in the bathtub referring to the fourier experimental laws.This paper has a high value in cost saving.

water temperature control;bathtub;energy conservation model;fourier experimental laws;heat conduction and hierarchy model

2016-10-28

汪佳星(1996-)，女，遼寧錦州人，學(xué)士，主要研究方向：智能控制，E-mail:chelseawang0129@163.com。

2095-1248(2017)02-0082-05

O59

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.02.014