區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)諧振載荷識別方法

祁武超，劉 恒，田素梅(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)諧振載荷識別方法

祁武超，劉 恒，田素梅
(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

將結(jié)構(gòu)體系中的不確定性參數(shù)描述為區(qū)間變量，基于頻域方法對在簡諧激勵作用下的不確定性結(jié)構(gòu)進(jìn)行了載荷識別。區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)動態(tài)載荷識別過程包含兩個層面，內(nèi)層需要對不確定性參數(shù)單個樣本作用下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行載荷識別，而外層需要處理不確定性帶來的影響以獲得待識別載荷的上下界值。結(jié)果表明，基于確定性方法獲得的載荷識別結(jié)果是考慮不確定性時載荷識別結(jié)果的子集，在結(jié)構(gòu)設(shè)計時使用基于不確定性載荷識別結(jié)果將能夠給出更為安全的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案。

不確定性；區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)；載荷識別；簡諧激勵

工程結(jié)構(gòu)設(shè)計的目標(biāo)是在確保其安全性能的基礎(chǔ)上，盡量提高產(chǎn)品的其他各項性能指標(biāo)，而這一要求需要工程師明確知道作用在結(jié)構(gòu)上的外載荷。然而，由于使用環(huán)境的多樣性和結(jié)構(gòu)本身的復(fù)雜性，使得人們在很多情況下難以做出準(zhǔn)確的測量或推斷，例如，飛行器翼面氣流分離產(chǎn)生的抖振載荷、超高層建筑物的風(fēng)載等。人們往往可以通過實驗力學(xué)的手段較為精確地測量結(jié)構(gòu)在載荷作用下的響應(yīng)，此時，根據(jù)所測得的響應(yīng)數(shù)據(jù)反演載荷參數(shù)是必要的，也是目前結(jié)構(gòu)動力學(xué)領(lǐng)域的一個熱點問題。

在具有充足的樣本信息時，對工程結(jié)構(gòu)設(shè)計和操作環(huán)境中的不確定性使用概率模型進(jìn)行描述是一種合理的方法。然而，由于測量代價昂貴，工程結(jié)構(gòu)中能夠得到的不確定性參數(shù)信息往往是貧乏的，尤其是在研究包含大量不確定性的反演系統(tǒng)時，各變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)的確定將是一個極為繁瑣且難以精確化的過程。此時，若能夠通過少量的樣本信息給出不確定性所在的范圍，則將不確定性量描述為區(qū)間變量是有利的。通過分析不確定性量在反演系統(tǒng)中的傳播得到待識別參數(shù)的區(qū)間界值，再根據(jù)“最差工況設(shè)計”思想可給出更為安全的設(shè)計方案。

經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，在國內(nèi)外學(xué)者的推動下，對結(jié)構(gòu)載荷識別的研究發(fā)展迅速。瞿偉廉等[1]將載荷識別方法分為頻域法、時域法、時間有限元法、逆系統(tǒng)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、小波正交算子變換法，并分別介紹了這些方法的優(yōu)缺點和適用范圍，討論了影響動載荷識別精度的因素。周盼等[2]對目前廣泛采用的動載荷時域識別方法的研究現(xiàn)狀和優(yōu)缺點進(jìn)行了總結(jié)，這些時域識別方法包括反卷積法、計權(quán)加速度法、函數(shù)逼近法、卡爾曼濾波器和遞歸最小二乘法、逆系統(tǒng)法以及新型的智能識別方法。Sanchez等[3]將動載荷識別方法分為直接法、正則化方法和統(tǒng)計方法，并通過引用相關(guān)的動載荷識別文獻(xiàn)來說明每一類方法的基本思想及其優(yōu)缺點。

區(qū)間分析方法是解決結(jié)構(gòu)不確定性問題的常用方法，Qiu[4-6]等將區(qū)間分析方法引入不確定性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析問題中，利用區(qū)間分析方法得到了不確定性結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。在工程結(jié)構(gòu)非概率反演問題上，目前已有了一些關(guān)于區(qū)間分析方法的研究成果。2004年，王曉軍等[7]將不確定參數(shù)用區(qū)間向量進(jìn)行定量化，基于區(qū)間數(shù)學(xué)理論提出一種可以預(yù)測彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的彈簧系數(shù)和質(zhì)量所在范圍的非概率區(qū)間分析方法。同年，劉世君等[8]考慮測量信息的不確定性，將巖石力學(xué)參數(shù)視為未知但有界的區(qū)間變量，建立了非線性巖石力學(xué)參數(shù)的區(qū)間反分析模型。運(yùn)用帶約束的優(yōu)化技術(shù)可變?nèi)莶罘ㄇ蠼夥囱菽Ｐ?，得出了不確定性力學(xué)參數(shù)的區(qū)間范圍。王登剛等[9]提出了一種結(jié)構(gòu)計算模型修正的區(qū)間反演方法。該方法將計算模型修正問題歸結(jié)為非線性全局優(yōu)化問題，并采用一種遺傳算法進(jìn)行求解。Jiang等[10]提出基于區(qū)間分析的不確定性反求方法用于處理帶有模型參數(shù)不確定性的工程不確定性反問題，并將該方法應(yīng)用在復(fù)合材料層合板材料參數(shù)識別中。2009年，韓旭等[11]在中國力學(xué)學(xué)會學(xué)術(shù)大會的計算力學(xué)進(jìn)展分會場邀請報告中提出了不確定性結(jié)構(gòu)的動態(tài)載荷識別方法。他們認(rèn)為當(dāng)所研究的工程結(jié)構(gòu)中存在不確定性參數(shù)時，確定不確定性參數(shù)的界限要比確定其統(tǒng)計約束更容易，可以用區(qū)間變量來量化不確定參數(shù)，建立起不確定性結(jié)構(gòu)的區(qū)間模型，然后利用區(qū)間分析方法確定動載荷的上下界。

2011年，王曉軍等[12]提出了基于格林函數(shù)的動載荷區(qū)間識別方法，將系統(tǒng)的位移響應(yīng)表示成單位脈沖響應(yīng)核函數(shù)與動載荷之間的卷積分，在時域中得到待識別動載荷的區(qū)間估計。Liu等[13]提出了一種將區(qū)間分析與正則化相結(jié)合的方法以識別作用在不確定性結(jié)構(gòu)上的動態(tài)載荷，引入1階Taylor展開，所識別的載荷可近似為不確定性參數(shù)的線性函數(shù)，假定區(qū)間參數(shù)名義值處的載荷可被表示為一系列脈沖集合，引入有限元法可得到響應(yīng)集，最后根據(jù)區(qū)間擴(kuò)張得到待識別載荷的上下界值。郭紅玲等[14]建立了彈性本構(gòu)參數(shù)區(qū)間反問題的數(shù)值模型，利用區(qū)間參數(shù)攝動有限元方法和基于網(wǎng)格劃分策略的連續(xù)域蟻群算法進(jìn)行求解，探討了非均質(zhì)、不確定區(qū)間半徑、初值選擇及數(shù)據(jù)噪音對反演結(jié)果的影響。杜秀云等[15]基于區(qū)間有限元和矩陣攝動理論，引入同倫技術(shù)，建立了瞬態(tài)熱傳導(dǎo)不確定性區(qū)間參數(shù)反演識別的數(shù)值求解模式。利用測量信息和計算信息的區(qū)間殘差構(gòu)造同倫函數(shù)，將反演識別問題轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

最近，Naijia等[16]提出了結(jié)構(gòu)靜力參數(shù)反演問題的區(qū)間方法，將區(qū)間有限元與伴隨優(yōu)化相結(jié)合，反問題包含兩個步驟，先由確定性迭代求解器獲得參數(shù)評估，之后將其作為初始猜測進(jìn)行區(qū)間擴(kuò)展。Zhang等[17]基于貝葉斯方法和區(qū)間分析提出了一種混合反演方法以在不確定性環(huán)境下進(jìn)行參數(shù)識別，這種方法可處理測量噪聲和模型不確定性，算例表明其可獲得良好的數(shù)值結(jié)果。

本文將考慮在結(jié)構(gòu)參數(shù)可描述為區(qū)間參數(shù)時的載荷識別問題，利用基于Taylor展開的區(qū)間分析方法給出待識別載荷的區(qū)間界值。其中，在計算各不確定性量抽樣點處的待識別載荷時，將在頻域內(nèi)通過構(gòu)建頻響函數(shù)矩陣實現(xiàn)載荷和響應(yīng)量之間的傳遞。

1 問題描述

對于一個n自由度系統(tǒng)，其振動微分方程通常描述為依賴結(jié)構(gòu)參數(shù)的線性方程：

(1)

這里M,C,K∈Rn×n,F∈Rn,u∈Rn,h∈Rm，h為結(jié)構(gòu)參數(shù)向量，例如材料彈性模量、阻尼參數(shù)等。工程實際中，結(jié)構(gòu)參數(shù)往往是具有不確定性的，例如復(fù)合材料的材料屬性在不同批次中具有較大的分散性。通常，這些結(jié)構(gòu)參數(shù)的準(zhǔn)確值是難以獲得的，但卻能夠根據(jù)實驗的方法估計出參數(shù)的上界和下界，滿足

(2)

根據(jù)區(qū)間數(shù)學(xué)中的記法，將約束條件式(2)記為

h∈hI?Rm

(3)

在式(1)所述的n個自由度系統(tǒng)中，共設(shè)置nf個加載點，加載方式為諧波激勵，且各自由度上的加載頻率和相位可不相同。假設(shè)共有nf個加載點，分別加載在位置p1,p2,…，pnf處，激勵力向量為F(t)=[0…fp1(t)… 0…fp2(t)… 0…fpnf(t)… 0]T

(4)

測量點的個數(shù)為nu個，分別布置在l1,l2,…lnu處。要對式(4)中的激勵力向量進(jìn)行識別，需根據(jù)實驗手段測得l1,l2,…，lnu處各測點的響應(yīng)值，且一般要求nu≥nf。

在對式(1)進(jìn)行反演得到激勵力向量過程中，由于結(jié)構(gòu)參數(shù)具有不確定性，這使得反演所得到的載荷列陣也將具有不確定性。通常情況下，在式(3)所確定的約束條件下直接反演式(1)的解集非常困難。解集合Γ是一個很復(fù)雜的區(qū)域，可以表示為

(5)

對具有區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行載荷識別的目的是找到一個最小包含Γ的區(qū)間FI(h,t)，并稱FI(h,t)為式(1)在式(3)所示約束條件下的區(qū)間界值。

2 確定性頻域載荷識別方法

(6)

由頻響函數(shù)的物理意義可知，系統(tǒng)在lj處的位移由激勵力fpi(ω),(i=1,2,…,nf)在lj處引起的位移疊加形成，有

(7)

式(7)可重寫為矩陣形式

unu×1=Hnu×nf(ω)F1×nf

(8)

一般地，在進(jìn)行載荷識別時，要求系統(tǒng)的測點個數(shù)多于待識別載荷數(shù)，所以式(8)中H(ω)是列滿秩的，對式(8)兩端同乘H(ω)的Moore-Penrose偽逆，則可得到

F(ω)=[HT(ω)H(ω)]-1HT(ω)u(ω)

(9)

通過式(9)得到載荷列陣的頻域信息，需經(jīng)過傅里葉逆變換轉(zhuǎn)化到時域中，有

(10)

3 基于Taylor展開的區(qū)間分析

若系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)包含區(qū)間變量h，則識別出的載荷時間歷程將包含該不確定性的影響，式(9)～式(10)將分別改寫為

F(h,ω)=[HT(h,ω)H(h,ω)]-1HT(h,ω)u(ω)

(11)

(12)

將F(h,t)在區(qū)間向量h的中點向量h0處進(jìn)行一階Taylor展開，得到

(13)

向量h0使得下面的載荷識別系統(tǒng)成立。

(14)

(15)

這里，δh是關(guān)于向量h的攝動。式(15)中的F(h0+δh,t)可通過式(11)～(12)得到，有

(16)

根據(jù)自然區(qū)間擴(kuò)張定理[19]，可以得到所識別載荷F(h,t)的區(qū)間界值。

(17)

由區(qū)間數(shù)相等的充分必要條件，可得待識別載荷F(h,t)一階近似響應(yīng)函數(shù)的界值。

(18)

(19)

(20)

(21)

基于Taylor展開的區(qū)間分析方法需要計算待識別載荷在各不確定參數(shù)處的靈敏度值，分析方法本身與不確定性變量的個數(shù)密切相關(guān)，由于每計算一個導(dǎo)數(shù)值都需要求解一次確定性載荷識別過程，所以，當(dāng)系統(tǒng)中不確定變量的個數(shù)為m時，一階方法需要計算m+1個原問題規(guī)模的載荷識別過程。

4 數(shù)值算例

4.1 多自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼振動系統(tǒng)

圖1 三自由度彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)

為驗證所提出方法的正確性，基于模態(tài)疊加法對所建立的載荷識別模型進(jìn)行數(shù)值模擬。為此，假定待識別的載荷為已知量，在不確定性向量中值h0=[m0,k0]處進(jìn)行動力學(xué)分析，可得到質(zhì)量m2和m3處的位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)量u2(t)和u3(t)。在此過程中，不失一般性地令激勵力相位P0=10,θ=0。

以u2(t)和u3(t)作為輸入量，基于頻域載荷識別模型反演m1處的載荷。由于載荷識別過程中結(jié)構(gòu)參數(shù)具有不確定性，所識別的載荷也將是h的函數(shù)，記為F1(h,t)。利用所提出的基于Taylor展開的區(qū)間分析方法，可得到F1(h,t)的區(qū)間界值。

當(dāng)mI=[0.95,1.05]，kI=[95,105]時，分別取ω1=1.0, 1.732, 2.0, 5.0進(jìn)行分析，得到載荷的識別界值，如圖2所示。由圖2可知，在標(biāo)稱系統(tǒng)的固有頻率ω1=1.0, 1.732, 2.0處，由于阻尼的存在，系統(tǒng)并沒有發(fā)生共振，可以進(jìn)行載荷識別。比較在3個頻率處的載荷識別界值可以發(fā)現(xiàn)，在基頻時，結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性對載荷識別的影響較大，第二階頻率次之，而第三階頻率最小。另外，比較標(biāo)稱系統(tǒng)固有頻率處的載荷識別界值與遠(yuǎn)離共振區(qū)(ω1=5.0)的載荷識別界值可知，結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性在遠(yuǎn)離共振區(qū)時對載荷識別的影響較小。

圖2 頻率變化時的載荷識別界值

圖3 不確定性量在不同變差時的載荷識別界值

取ω1=1.732，分析不確定性量m和k的變差范圍分別為2.5%, 5%, 7.5% 和 10%的情形，如圖3所示。由圖3可知，在所假定的激勵力頻率相同時，載荷識別界值隨著不確定性量變差范圍的增大而增大。

4.2 72桿空間桁架載荷識別

考慮一個空間72桿桁架[20]，材料彈性模量為E，質(zhì)量密度為ρ，約束桁架的4個底部角點的位移，如圖4所示。在節(jié)點20處的x方向施加一簡諧作用力，在5點處測量了其x方向的位移信號，需對節(jié)點20處的簡諧載荷進(jìn)行反演。為驗證結(jié)果的正確性，在節(jié)點20處施加大小為F(t)=50 000×sin(t)的正弦載荷，通過結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析得到5點處x方向的位移響應(yīng)，之后再考慮彈性模量E和質(zhì)量密度ρ為不確定性量時的反演過程。在動力學(xué)計算過程中，不考慮結(jié)構(gòu)阻尼的影響。 取彈性模量和質(zhì)量密度為不確定性量，其中值分別取為E=2.1×1011Pa和ρ=7.8×103kg/m3，并考慮其區(qū)間分別在變差2.5%, 5%,7.5%和10%內(nèi)變化的情形，得到如圖5所示的載荷識別界值。由圖5可知，不確定性的存在對載荷識別過程是存在一定影響的，并且，不確定性所在區(qū)間范圍越大，所識別出來的載荷區(qū)間界值越寬。

圖4 72桿空間桁架

圖5 不確定性量在不同變差時的載荷識別界值

5 結(jié)論

當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)存在不確定性且僅能獲取變量上下界時，可使用區(qū)間變量描述結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性。基于一階Taylor展開方法和區(qū)間數(shù)理論，給出了在載荷識別過程中確定待識別載荷界值的區(qū)間分析方法。數(shù)值算例結(jié)果表明，載荷識別過程受到不確定性的影響，并且，不確定性所在區(qū)間范圍越大，所識別出來的載荷區(qū)間界值越寬，這將為在不確定性環(huán)境下設(shè)計更為安全的結(jié)構(gòu)提供相應(yīng)的輸入條件。

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(責(zé)任編輯：吳萍 英文審校：趙歡)

Load identification of interval parameter structures under harmonic excitations

QI Wu-chao，LIU Heng，TIAN Su-mei
(Faculty of Aerospace Engineering,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

By describing uncertain parameters in a structural system as interval variables,load identification was carried out for the uncertain structure under harmonic excitation based on the frequency domain method.The dynamic load identification process of an interval parameter structure consists of two levels.The inner layer needs to identify the loads under the condition of a single sample with uncertain parameters.While the outer layer needs to deal with the effects caused by the uncertainties to obtain the upper and lower bounds of the load to be identified.The results show that the load identification results based on the deterministic method are a subset of that resulting from uncertainties.It will be possible to give a more secure structural design using load identification results under an uncertain environment.

uncertain;interval parameter structure;load identification;harmonic excitation

2017-03-06

國家自然科學(xué)基金(項目編號：11502149)；遼寧省教育廳系列項目(項目編號：L2015406)；國防基礎(chǔ)科研計劃基金資助項目(項目編號：JCKY2013601B)

祁武超(1982-)，男，河南漯河人，副教授，博士，主要研究方向：力學(xué)反問題，結(jié)構(gòu)可靠性，E-mail：qiwuchao@sau.edu.cn。

2095-1248(2017)02-0019-07

O327；TU311.3

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.02.004