C0型Reddy 理論及復(fù)合材料板濕熱分析

李 濤，許 琦，吳 振，金麒麟(.中航工業(yè)沈陽(yáng)飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限公司 二十一廠，沈陽(yáng) 06；.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 06；.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 60)

C0型Reddy 理論及復(fù)合材料板濕熱分析

李 濤1，許 琦2，吳 振2，金麒麟3
(1.中航工業(yè)沈陽(yáng)飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限公司 二十一廠，沈陽(yáng) 110136；2.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136；3.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116023)

Reddy型高階理論已被廣泛用于分析復(fù)合材料板濕熱問(wèn)題，然而該理論沒(méi)考慮橫法向應(yīng)變，所以不適合分析濕熱膨脹問(wèn)題。發(fā)展一種新的C0型Reddy理論，該理論橫向位移中含有由溫度與濕度載荷引起的沿厚度方向濕熱變形，利用自由表面條件將其引入面內(nèi)位移場(chǎng)，提高了面內(nèi)應(yīng)力的精度。此外，發(fā)展的模型中不會(huì)出現(xiàn)橫向位移的一階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造有限元時(shí)橫向位移在單元間只需滿足C0連續(xù)。基于此模型，構(gòu)造了六節(jié)點(diǎn)三角形單元，并分析了復(fù)合材料板的濕熱問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值算例，發(fā)展模型的精度和效率得到了驗(yàn)證。

C0型Reddy理論；橫法向濕熱變形；濕熱分析；C0插值函數(shù)；三角形協(xié)調(diào)單元

在工程實(shí)踐中，復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)經(jīng)常會(huì)處在濕熱環(huán)境中，將會(huì)受到溫度變化以及水分膨脹與收縮等因素的影響。由于其內(nèi)部固有的不均勻性，這類(lèi)結(jié)構(gòu)將出現(xiàn)較大的變形和應(yīng)力，可能引起層合結(jié)構(gòu)破壞。為了克服設(shè)計(jì)與制造過(guò)程中的困難，此類(lèi)結(jié)構(gòu)在濕熱環(huán)境中的模擬與分析已引起重視[1-2]。

在早期研究中，通常采用經(jīng)典理論和一階理論來(lái)研究濕熱環(huán)境對(duì)復(fù)合材料板的影響[3-4]。然而對(duì)于較厚復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，經(jīng)典理論和一階理論難以準(zhǔn)確計(jì)算這類(lèi)結(jié)構(gòu)的熱彈性響應(yīng)[5-6]。因此，在這一背景下，高階剪切變形理論逐漸開(kāi)始出現(xiàn)。其中Reddy型高階理論[7]最具代表性，與一階理論相比，此理論不僅位移變量數(shù)目沒(méi)有增加，而且精度較高，因此該理論被廣泛用于研究層合板濕-熱-力耦合問(wèn)題?；诖死碚?，Shen[8]采用一種從細(xì)觀到宏觀力學(xué)解析模型研究了層合板在濕熱環(huán)境中受單軸壓縮的后屈曲問(wèn)題。隨后運(yùn)用同樣的方法Shen[9]研究了層合殼在濕熱環(huán)境下屈曲與后屈曲問(wèn)題，結(jié)果表明濕熱環(huán)境對(duì)殼的臨界載荷以及后屈曲響應(yīng)有很大的影響。Zenkour[10]基于Reddy理論和正弦理論給出了一般角鋪設(shè)層合板在濕熱載荷下的解析解。Zenkour指出撓度和應(yīng)力對(duì)于溫度與濕度增量引起材料常數(shù)的變化是非常敏感的，因此在實(shí)際應(yīng)用中濕熱環(huán)境對(duì)材料常數(shù)的影響是不能被忽略的。Zenkour等[11]又分析了彈性基對(duì)濕熱環(huán)境中正交復(fù)合材料層合板的影響，數(shù)值結(jié)果說(shuō)明彈性基參數(shù)對(duì)層合板的濕熱響應(yīng)有很大影響。與此同時(shí)，Reddy理論也被用于分析功能梯度材料的濕熱響應(yīng)[12-13]。

Reddy模型[3]中的位移場(chǎng)假設(shè)考慮了橫向剪切變形，但忽略了橫法向變形。當(dāng)分析復(fù)合材料中厚板熱彈性問(wèn)題時(shí)，橫法向變形是不能被忽略的[14-15]。并且，Reddy模型位移場(chǎng)建立的過(guò)程中引入了沿厚度方向位移的一階導(dǎo)數(shù)，基于該模型構(gòu)造單元時(shí)沿厚度方向位移在單元間必須滿足C1連續(xù)，因此難于構(gòu)造多節(jié)點(diǎn)高階協(xié)調(diào)單元。為了解決Reddy理論中存在的這些問(wèn)題，本文建立了一種新的C0型Reddy模型，并構(gòu)造了六節(jié)點(diǎn)三角形板單元。該模型不僅克服了Reddy理論中存在的缺點(diǎn)，而且建立有限元時(shí)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)量與Reddy理論相同。通過(guò)數(shù)值算例的分析，建議的新理論精度明顯高于原有的Reddy理論。

1 理論公式

1.1 橫法向位移

已有的Reddy理論[3]初始位移場(chǎng)可寫(xiě)為：

u(x,y,z)=u0(x,y)+zu1(x,y)+z2u2(x,y)+z3u3(x,y)

v(x,y,z)=v0(x,y)+zv1(x,y)+z2v2(x,y)+z3v3(x,y)

w(x,y,z)=w0(x,y)

(1)

公式(1)表明，已有的Reddy理論忽略了橫法向應(yīng)變，不適于分析復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)濕熱膨脹問(wèn)題。為了考慮橫法向應(yīng)變且不增加額外位移變量，將使用溫度和濕度變化導(dǎo)致的濕熱變形?，F(xiàn)取以xy平面為中面，厚度為h的n層矩形層合板，如圖1所示，作用于板的溫度和濕度載荷可寫(xiě)為 ΔT(x,y,z)=f(z)T(x,y)

ΔC(x,y,z)=g(z)C(x,y)

(2)

其中f(z)和g(z)為溫度與濕度沿厚度方向分布構(gòu)形，T(x,y)和C(x,y)為溫度和濕度面內(nèi)分布函數(shù)。

圖1 復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)圖

對(duì)溫度和濕度變化引起的橫法向濕熱應(yīng)變沿厚度方向積分，就可得到溫度和濕度變化產(chǎn)生的橫法向濕熱變形。

(3)

橫法向位移最終的表達(dá)式可寫(xiě)為：

(4)

1.2 考慮橫法向濕熱變形的C0型Reddy理論(RHTC)

模型RHTC初始位移場(chǎng)可寫(xiě)為：

u(x,y,z)=u0(x,y)+zu1(x,y)+z2u2(x,y)+z3u3(x,y)

v(x,y,z)=v0(x,y)+zv1(x,y)+z2v2(x,y)+z3v3(x,y)

(5)

橫向剪切應(yīng)變可表示為：

(6)

橫向剪切應(yīng)力為：

(7)

由橫向剪切應(yīng)力自由表面條件可知：

(8)

把式(6)、(7)帶入式(8)，可得：

(9)

(10)

把式(10)帶入式(5)中，就可得到考慮橫法向濕熱應(yīng)變的C0型Reddy理論的最終位移場(chǎng)：

(11)

其中：

1.3 基于模型(RHTC)六節(jié)點(diǎn)三角形單元

(12)

其中：Nm=(2Lm-1)Lm，N4=4L1L2，N5=4L2L3，N6=4L3L1，Lm為面積坐標(biāo)，m=1，…，3。

(13)

其中：

B=[B1B2B3B4B5B6]

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

在濕熱載荷作用下的層合板勢(shì)能可以寫(xiě)為：

(19)

(20)

通過(guò)使用最小勢(shì)能原理可以得到平衡方程：

(21)

方程(20)可以進(jìn)一步寫(xiě)成：

[K]eδe={P}e

(22)

對(duì)于整個(gè)結(jié)構(gòu)可以給出：

[K]{δ}={P}

(23)

2 算例與分析

為驗(yàn)證考慮橫法向濕熱變形的C0型Reddy理論(RHTC)性能和基于該理論模型構(gòu)造的三角形單元的性能，將首先研究四邊簡(jiǎn)支復(fù)合材料層合方板熱膨脹問(wèn)題，利用三維彈性解驗(yàn)證單元的收斂性和有效性以及模型RHTC的準(zhǔn)確性，隨后基于該模型研究正交復(fù)合材料層合方板的濕熱響應(yīng)。板的網(wǎng)格分布參見(jiàn)圖2。

圖2 有限元網(wǎng)格圖(4×4)

算例1 三層簡(jiǎn)支方板三層簡(jiǎn)支方板(0°/90°/0°)在熱載荷ΔT(x,y,z)=T0sin(πx/a)sin(πy/b)作用下的熱膨脹分析。該算例采用以下材料參數(shù)和無(wú)量綱應(yīng)力參數(shù)。

復(fù)合材料層合板材料常數(shù)[5]：

EL/ET=15，GLT/ET=0.5，GTT/ET=0.3356，vLT=0.3，vTT=0.49，ET=10GPa，αL/α0=0.015，αT/α0=1，α0=10-6/K。

圖3給出了單元收斂性的研究，從圖3中可以看出隨著網(wǎng)格密度的增加，面內(nèi)應(yīng)力收斂到接近精確解[5]。圖4給出了對(duì)稱(chēng)三層板(0°/90°/0°)熱膨脹問(wèn)題的面內(nèi)應(yīng)力的比較，從中得出基于建議的模型RHTC計(jì)算的結(jié)果與精確解[5]非常接近，而基于Reddy理論(HSDT-R)[7]得到的結(jié)果與精確解差距明顯，這是由于忽略了沿厚度方向的濕熱變形，已有的Reddy理論(HSDT-R)不能準(zhǔn)確計(jì)算面內(nèi)應(yīng)力。圖5為橫向剪切應(yīng)力結(jié)果比較，當(dāng)前模型RHTC的精度明顯高于模型HSDT-R，并且與精確解基本相同。圖4、圖5給出了九階理論(NSDT)[5]熱膨脹問(wèn)題的應(yīng)力比較，計(jì)算結(jié)果表明九階理論與精確解幾乎一致，因此九階理論可作為下面研究層合板濕熱問(wèn)題的參考解。

圖3 面內(nèi)應(yīng)力收斂率(a/h=5)

圖4 溫度載荷下面內(nèi)應(yīng)力的比較(a/h=5)

ET=6.89 GPa，EL=25ET，GLT=0.5ET，GTT=0.2ET，vLT=0.25，αT/αL=3，αL=10-6(1/°C)，βL=0，βT=0.44(wt.%H2O)-1。

圖5 溫度載荷下橫向剪切應(yīng)力的比較(a/h=5)

無(wú)量綱位移和應(yīng)力參數(shù)為：

圖6給出了四層板(0°/90°/90°/0°)在不同濕熱載荷下橫向位移的對(duì)比。從中得出基于C0型Reddy理論(RHTC)計(jì)算的結(jié)果更接近九階理論(NSDT)[5]。而基于Reddy理論(HSDT-R)[7]計(jì)算的結(jié)果沿厚度方向是條直線，這是由于在Reddy模型的位移場(chǎng)中假設(shè)橫向位移沿厚度方向?yàn)槌?shù)，導(dǎo)致忽略了橫法向變形，因此對(duì)于復(fù)合材料層合板濕熱問(wèn)題，采用Reddy模型得不到滿意的結(jié)果。圖7、圖8給出了面內(nèi)應(yīng)力和橫向剪切應(yīng)力結(jié)果的比較。與Reddy模型(HSDT-R)相比，當(dāng)前模型RHTC計(jì)算的結(jié)果更接近九階理論(NSDT)。圖9給出了十六層板(0°/90°…90°/0°)在濕熱載荷T0=100, C0= 3×10-4作用下位移和應(yīng)力分布。結(jié)果表明當(dāng)前模型RHTC與九階模型(NSDT)符合較好，而Reddy模型(HSDT-R)與九階模型(NSDT)有著明顯誤差。由此可見(jiàn)對(duì)于濕熱問(wèn)題，橫法向應(yīng)變對(duì)模型的精度有著重要影響。

圖9 濕熱載荷下沿十六層板 (0°/90°…0°/90°) 厚度方向位移和應(yīng)力的比較 (T0=100, C0= 3×10-4, a/h=5)

3 結(jié)論

本文通過(guò)在橫向位移中增加橫法向濕熱變形，建立了一種新的C0型Reddy模型?；谠撃Ｐ?，構(gòu)造了六節(jié)點(diǎn)三角形協(xié)調(diào)板單元，給出了簡(jiǎn)支方板在不同濕熱載荷下的有限元解。通過(guò)與精確解以及九階理論的比較，當(dāng)前模型(RHTC)的精度得到了檢驗(yàn)，并得出如下結(jié)論：(1)由于忽略了沿厚度方向變形，Reddy模型(HSDT-R)不能有效計(jì)算復(fù)合材料層合板在濕熱載荷下的變形和應(yīng)力；(2)由于在橫向位移中添加橫法向濕熱變形，并應(yīng)用自由表面條件把橫法向濕熱變形引入到面內(nèi)位移中，當(dāng)前模型RHTC能準(zhǔn)確分析復(fù)合材料層合板濕熱問(wèn)題，沒(méi)有增加額外的節(jié)點(diǎn)自由度，并且精度與九階理論(NSDT)相近。九階理論位移場(chǎng)中含有29個(gè)位移變量，而當(dāng)前模型(RHTC)只有7個(gè)位移變量，提高了Reddy理論的計(jì)算效率，適合推廣和應(yīng)用。

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(責(zé)任編輯：吳萍 英文審校：趙歡)

Hygrothermal analysis of laminated composite plate base on C0-type Reddy theory

LI Tao1,XU Qi2,WU Zhen2,JIN Qi-lin3
(1.No.21 Factory,AVIC Shenyang Aircraft Industry(Group)Co Ltd.,Shenyang 110136,China;2.Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China;3.State Key Laboratory of Structure Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Reddy-type higher-order model has been widely applied to hygrothermal analysis of composite plates.However,the model is inappropriate for analysis of the hygrothermal expansion problem due to the neglected transverse normal strain.In this paper,a new C0-type Reddy model was developed.The transverse displacement in the model included normal hygrothermal deformation through the thickness caused by the temperature and moisture loadings.When it was introduced to the in-plane displacement field under the condition of bounding surface free traction,accuracy of in-plane stresses increased.Moreover,the first derivatives of transverse displacement did not appear in the model,and the C0continuity of transverse displacement at element interfaces was only required for the finite element implementation.Based on the model,a six-node triangular element was constructed to analyze hygrothermal behaviors of composite plates.Through the numerical examples of hygrothermal analysis,accuracy and efficiency of the model were also testified.

C0-type Reddy theory;transverse normal hygrothermal deformation;hygrothermal analysis;C0interpolation functions;triangular conforming element

2016-10-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(項(xiàng)目編號(hào)：11272217)

李 濤( 1977-)，男，遼寧綏中人，經(jīng)濟(jì)師，主要研究方向：復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與精細(xì)化生產(chǎn)管理，E-mail:lt91011@163.com。

2095-1248(2017)02-0026-07

O343

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2017.02.005