建構(gòu)數(shù)學(xué)模型 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

洪云貴+薛佳茵

數(shù)學(xué)模型是指那些反映特定問題或特定事物的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。小學(xué)階段數(shù)學(xué)模型具體表現(xiàn)為一系列概念、算法、數(shù)量關(guān)系、定律等。數(shù)學(xué)本質(zhì)上就是在不斷抽象概括模式化的過程中發(fā)展和豐富起來。因此，我們在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、聯(lián)系實(shí)際，感知數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型源于生活。培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想首先要充分挖掘生活中的數(shù)學(xué)原型，讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)模型。教學(xué)“分段計(jì)費(fèi)問題”，課前筆者引導(dǎo)學(xué)生搜集生活中分段計(jì)費(fèi)的實(shí)例。在授課時(shí)，筆者先讓學(xué)生交流收集到的分段計(jì)費(fèi)的信息。在交流中，學(xué)生談到水費(fèi)、電費(fèi)、出租車收費(fèi)、固定電話收費(fèi)等問題均涉及分段計(jì)費(fèi)。在學(xué)生交流信息時(shí)，筆者繼續(xù)問：“你們能舉例具體說明如何分段計(jì)費(fèi)嗎？”學(xué)生便出示了一組數(shù)據(jù)：階梯電價(jià)一檔0～200度，0.4893元/度；二檔201～400度，0.5483元/度；三檔401度以上，0.7983元/度。當(dāng)學(xué)生說出這些信息后，筆者又問：“如果我家六月份用電350度，該付費(fèi)多少元呢？今天我們就一起來研究分段計(jì)費(fèi)問題?！边@樣學(xué)生通過多種方法搜集到生活中分段計(jì)費(fèi)信息，初步感知分段計(jì)費(fèi)中“總費(fèi)用=首段費(fèi)用+后續(xù)費(fèi)用”的數(shù)學(xué)模型，為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)做好充分準(zhǔn)備。

二、自主建構(gòu)，形成數(shù)學(xué)模型

自主探索、動手操作、合作交流是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的重要方法。數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、分析、抽象、概括等過程，逐步形成數(shù)學(xué)模型，從而有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

1. 自主探索中建模。

自主探索是學(xué)生建模的關(guān)鍵。學(xué)生只有通過自主探索，才能充分經(jīng)歷建模過程，牢固掌握數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)“植樹問題”例1：同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？教學(xué)中，筆者先引導(dǎo)學(xué)生嘗試完成例題，學(xué)生的方法大致有3種，方法1：100÷5=20（棵）；方法2：100÷5-1=19（棵）；方法3：100÷5+1=21（棵）。大部分學(xué)生是第一種做法。到底哪一種答案正確？接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試畫圖分析。學(xué)生開始動手畫圖，感覺要畫很多，比較繁瑣。此時(shí)筆者又問：“有什么好辦法呢？”引導(dǎo)學(xué)生用“以小探大”的方法去探究，也就是從簡單問題中尋找規(guī)律，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決復(fù)雜問題。假設(shè)路長只有5米，可以怎么栽？棵數(shù)和間隔數(shù)有什么關(guān)系？10米呢？15米呢？從中你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？學(xué)生在畫圖、觀察、思考、交流中發(fā)現(xiàn)在兩端都栽的情況下“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)學(xué)模型。再利用這個(gè)數(shù)學(xué)模型嘗試解決例題。學(xué)生通過嘗試解題、自然生疑、自主解疑、再遇困惑、以小探大、建立模型、應(yīng)用模型，這樣層層深入地自主探究，逐步建立植樹問題中兩端都栽“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的數(shù)學(xué)模型。

2. 動手操作中建模。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生動手實(shí)踐，讓學(xué)生在動手操作中建立數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)“平行四邊形面積”時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生動手操作，把平行四邊形剪拼成長方形，觀察拼成的長方形長、寬、面積與原平行四邊形底、高、面積之間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)“平行四邊形的面積=底×高”這個(gè)數(shù)學(xué)模型。通過動手操作，學(xué)生深刻地經(jīng)歷建模過程，有效地培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和建立數(shù)學(xué)模型的能力。

3. 在模擬演示中建模。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有些題目的數(shù)量關(guān)系較為抽象，而小學(xué)生的思維發(fā)展的基本特點(diǎn)是以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。但是這種抽象邏輯思維很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有相當(dāng)程度的具體形象性。所以抽象的數(shù)學(xué)需要進(jìn)行直觀的模擬演示，才能更加有效地建立起數(shù)學(xué)模型。教學(xué)“相遇問題”時(shí)，如何建立“路程=速度和×相遇時(shí)間”這個(gè)數(shù)學(xué)模型呢？在讀題之后，先引導(dǎo)學(xué)生說出：從題中獲取哪些數(shù)學(xué)信息？要求什么問題？接著，請兩位學(xué)生上臺模擬演示，讓學(xué)生在演示中理解兩地、同時(shí)、相向、相遇的實(shí)際含義，然后深入思考甲速度、乙速度、相遇時(shí)間、路程之間的關(guān)系，讓學(xué)生在模擬、觀察、思考、交流中建立“路程=速度和×相遇時(shí)間”或“路程=甲車所行路程+乙車所行路程”這樣的數(shù)學(xué)模型。

4. 合作交流中建模。

合作交流是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生通過自主探究、動手操作或模擬演示、觀察思考，逐漸把現(xiàn)實(shí)情境中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并形成自己獨(dú)特的見解，從而初步形成朦朧的數(shù)學(xué)模型。接著教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作交流，學(xué)生在交流中，才能取長補(bǔ)短，建立清晰的數(shù)學(xué)模型。

三、拓展應(yīng)用，鞏固數(shù)學(xué)模型

學(xué)生通過自主探究、動手實(shí)踐、合作交流建立數(shù)學(xué)模型，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步拓展、豐富數(shù)學(xué)模型，同時(shí)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固。

1. 加強(qiáng)聯(lián)系，拓展數(shù)學(xué)模型。

每一個(gè)數(shù)學(xué)模型必有許多與之對應(yīng)的原型。教學(xué)中我們從一種原型中探究出數(shù)學(xué)模型后，應(yīng)當(dāng)充分挖掘與之相對應(yīng)的各種原型，學(xué)生才會觸類旁通，靈活運(yùn)用模型解決問題。就如當(dāng)學(xué)生建立起“植樹問題”中三種情況（兩端都栽、一端栽一端不栽、兩端都不栽）棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型后，我們可以出示鋸木頭問題：把一根粗細(xì)均勻的木料鋸成5段，每鋸一次要用3分鐘，一共要用幾分鐘？引導(dǎo)學(xué)生找出鋸成的段數(shù)和鋸的次數(shù)之間的關(guān)系，從鋸的段數(shù)找到鋸的次數(shù)，再用“所鋸次數(shù)×每鋸下一段用的時(shí)間”得到總時(shí)間。這實(shí)際上就是植樹問題中兩端都不栽“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”模型拓展成“所鋸次數(shù)=段數(shù)-1”。教學(xué)中只有不斷拓展數(shù)學(xué)模型，逐步學(xué)會將紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)事物抽象概括為同一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，逐步體驗(yàn)并掌握數(shù)學(xué)建模思想，才能有效培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2. 加強(qiáng)實(shí)踐，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。

在實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，不但能鞏固數(shù)學(xué)模型，同時(shí)還能有效地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用意識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。當(dāng)學(xué)生建立起“長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2”這個(gè)數(shù)學(xué)模型后，要布置學(xué)生量一量房間或教室墻面的大小。學(xué)生建立起“長方體的體積=長×寬×高”這個(gè)數(shù)學(xué)模型后，要布置學(xué)生回家測量冰箱的體積。學(xué)生在一次又一次的數(shù)學(xué)實(shí)踐中鞏固數(shù)學(xué)模型，發(fā)展應(yīng)用意識。

數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)模型，自主建構(gòu)、積極拓展、靈活運(yùn)用，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：福建省福清市融西小學(xué)）