基于修正變分法開孔板和加強(qiáng)板結(jié)構(gòu)的自由振動分析

袁國清+俞瑜+王宗龍+李寧+蔡佑林+孫馳

摘要： 為研究船舶開孔板和加強(qiáng)板結(jié)構(gòu)的振動特性，用1階剪切變形板理論描述各向同性板的位移場，并采用修正變分原理和區(qū)域分解方法建立板的離散動力學(xué)模型.每一塊子域板的位移和轉(zhuǎn)角分量通過第一類切比雪夫正交多項(xiàng)式展開.針對加強(qiáng)板模型，將該方法獲得的結(jié)果與已經(jīng)發(fā)表的文獻(xiàn)和有限元商用軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證該方法的收斂性和正確性.基于修正變分法探討多種開孔和加強(qiáng)板模型的自由振動特性，充分說明該數(shù)理模型和半解析方法是一種適合處理復(fù)雜板結(jié)構(gòu)問題的數(shù)值工具.

關(guān)鍵詞： 船舶； 開孔板； 加強(qiáng)板； 自由振動； 修正變分法； 1階剪切變形板理論； 區(qū)域分解方法； 第一類切比雪夫正交多項(xiàng)式

中圖分類號： TB123文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

Abstract： To study the vibration characteristics of structures of plates with hole and reinforcement plates in ships， the firstorder shear deformable plate theory is used to describe the displacement fields of isotropic plates， and a discretized dynamics model is built for a plate by a modified variational principle combined with multisegment partitioning procedure. The displacement and rotation components of each plate segment are expanded by Chebyshev orthogonal polynomials of first kind. As to the reinforcement plate model， the results obtained by the method are compared with the data in published references and the results calculated by commercial finite element software， and the convergence and accuracy of this method are validated. Based on the modified variational method， the free vibration characteristics of various plate with holes and reinforcement plates are discussed. The results indicate that the mathematical model and the semianalytical method may be used as appropriate numerical tools in the analysis and design of complicated plate structures.

Key words： ship； plate with hole； reinforcement plate； free vibration； modified variational method； firstorder shear deformable plate theory； multisegment partitioning procedure； Chebyshev orthogonal polynomials of first kind

0引言

在船體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，開孔和加強(qiáng)筋對板結(jié)構(gòu)振動特性的影響是經(jīng)常遇到的關(guān)鍵問題.根據(jù)船體總裝的需求，開孔板主要有矩形、圓形和橢圓形開孔板，加強(qiáng)板有加筋板、T型板和交叉板等.雖然可以采用許多不同的數(shù)值方法建立板結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，比如有限差分法、有限元法和邊界元法等，但是尋找一種解析方法更有利于參數(shù)化研究、靈敏度分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，比如線纜和管道布置需要的開孔位置發(fā)生變化通常會導(dǎo)致板振動特性發(fā)生顯著變化.解析方法能通過位置參數(shù)的優(yōu)化方便地獲得合適的開孔位置，而數(shù)值算法需要一系列反復(fù)的重新建模、網(wǎng)格劃分和計(jì)算.

LEE等[1]基于應(yīng)力變形板理論和Timoshenko梁理論，采用有限元法研究各向異性板考慮偏心加筋的振動特征問題.LIEW等[2]采用RayleighRitz法建立矩形Mindlin加筋板的動力方程，并研究筋的剪切變形、轉(zhuǎn)動慣量和扭轉(zhuǎn)剛度的影響.WANG等[3]為獲得開孔板最大基本振動頻率，采用Ritz法對開孔位置進(jìn)行優(yōu)化.PEDERSEN[4]利用解析的方式描述橢圓開孔，并使用有限元分析和靈敏度分析對孔口形狀和位置進(jìn)行優(yōu)化.QU等[5]為分析圓錐圓柱組合殼加環(huán)筋的振動特性，最早提出一種修正變分方法.YUAN等[6]通過分區(qū)廣義變分原理，放松多板之間的界面以及幾何邊界的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，處理多個(gè)加筋板組合的振動問題.本文基于1階剪切變形板理論，將修正變分法進(jìn)行拓展，推導(dǎo)開孔板和加強(qiáng)板結(jié)構(gòu)二維區(qū)域劃分的動力學(xué)公式，并將分析結(jié)果與已發(fā)表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和通過有限元軟件計(jì)算的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較驗(yàn)證.板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程計(jì)算通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn).

1理論方法

1.1模型描述

為不失一般性，選取幾種加強(qiáng)和開孔板模型，見圖1和2.加強(qiáng)板模型選取四邊部分邊界加強(qiáng)和筋條加強(qiáng)的模型；開孔模型選取矩形開孔，開孔邊界分為自由和固定2種情形，自由邊界是考慮通孔走線，固定邊界是考慮在開孔處固定管道的情形.另外，開孔邊界固定模型還能表征在平板表面局部加強(qiáng)的情形.

為簡化計(jì)算，板和筋條的尺寸分別設(shè)置為固定值.笛卡爾系坐標(biāo)（x，y，z）位于平板左下角.板的幾何尺寸為長l，寬b和厚h.部分邊界固支位置為平板4個(gè)角，長邊上為lc，寬邊上為bc.所有的筋條橫截面尺寸保持一致，即寬bb和厚度hb；矩形開孔的左下角位于（x0，y0），開孔為長l0和寬b0.假設(shè)所有的結(jié)構(gòu)材料都是各向同性的，彈性模量E=2.1×1011 Pa，密度ρ=7 800 kg/m3和泊松比ν=0.3.平板模型振動分析考慮結(jié)構(gòu)阻尼的影響，結(jié)構(gòu)阻尼通過修改彈性模量來實(shí)現(xiàn)，即E=E0（1+iη），其中材料損失因子取η=0.006.

1.2修正變分方法

1.3動力學(xué)方程求解

從式（8）可以看出，通過修改變分原理和最小二乘加權(quán)余量法，分區(qū)界面連續(xù)性邊界和幾何邊界條件得到釋放和補(bǔ)償.這就使得選取的位移函數(shù)不需要顯性滿足單個(gè)平板或者多板結(jié)構(gòu)模型的原始邊界條件.于是，各個(gè)平板子域的位移和轉(zhuǎn)角函數(shù)只需要選取線性獨(dú)立、完備的基函數(shù)就能獲得數(shù)值準(zhǔn)確解，這樣可大大簡化求解過程.在本章中，各個(gè)平板子域的位移和轉(zhuǎn)角函數(shù)采用二維的第一類切比雪夫正交多項(xiàng)式展開[10]，表達(dá)式為

2仿真結(jié)果討論

2.1加強(qiáng)板模型自由振動分析

在船舶設(shè)計(jì)中，一些板材需要調(diào)整結(jié)構(gòu)來滿足振動和應(yīng)力方面的要求.加筋是最常見的增強(qiáng)板動力性能的方式，見圖1b）加強(qiáng)板模型.為驗(yàn)證修正變分方法的可靠性和有效性，選取多種不同邊界條件和多種加筋方式的加筋板自由振動數(shù)值仿真算例進(jìn)行分析說明.在單個(gè)平板中定義其邊界條件，例如用符號FSCF表示在平板的x=0，y=0，x=l和y=b邊上分別是自由（F）、簡支（S）、固定（C）和自由（F）邊界條件.加筋板的幾何尺寸為b=l=1 m，厚寬比為h/b=0.01，筋條寬、厚與平板厚度比值分別為bb/h=1和hb/h=1.5.加筋板的固有頻率采用無量綱表示形式Ω=（ωb2/π2）ρh/D，其中D=Eh3/（12×（1-ν2））表示平板的彎曲剛度.基于前文中的公式推導(dǎo)，采用MATLAB編寫程序并實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算.計(jì)算獲得的收斂解與采用RayleighRitz法計(jì)算的結(jié)果[2]進(jìn)行對比.5種不同邊界條件不同加筋方式的加筋板模型前6階固有頻率結(jié)果見表2.從表2中可以看出，本文方法與參考文獻(xiàn)中的方法吻合很好.對于這5個(gè)算例，前6階固有頻率的最大相對誤差小于2%，從而驗(yàn)證本文方法的精確性和有效性.

為進(jìn)一步體現(xiàn)修正變分法的優(yōu)越性，對局部邊界加強(qiáng)板進(jìn)行研究，模型見圖1a）.定義邊界條件lc=bc=l/5為固定，其余邊界自由，可以發(fā)現(xiàn)這一模型可拓展到任意邊界分布情形.基于本文方法和有限元軟件ANSYS的計(jì)算結(jié)果見表3.對四邊固支和局部固支模型的前6階固有頻率進(jìn)行對比分析.為更好地理解加筋板的振動特性，給出局部邊界固支板的前6階固有頻率結(jié)果和振型圖見圖3.表3中2個(gè)數(shù)值算例及2種方法計(jì)算結(jié)果吻合良好，最大相對誤差為1.1%.

2.2開孔板模型自由振動分析

在船體管路和線纜分布設(shè)計(jì)中，通常需要在板材結(jié)構(gòu)中打通孔，有時(shí)也會在開孔位置固定管材.為研究開孔對板結(jié)構(gòu)振動特性的影響，研究矩形自由邊界開孔和固定邊界開孔2種情形，模型見圖2.定義開孔尺寸和位置為b=l=1 m，h/b=0.01，x0/l=1/2，y0/b=1/2，l0/l=1/4，b0/b=1/4，平板四邊為固支.自由邊界開孔和固定邊界開孔2種模型的前6階固有頻率見表5.將修正變分法和有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，2種方法計(jì)算結(jié)果最大誤差為1.2%.固定邊界開孔板的第1階固有頻率是自由開孔板的2倍多.對比表3中四邊固定的平板結(jié)構(gòu)前6階固有頻率，固定邊界開孔比自由邊界開孔對平板固有頻率的影響更顯著.自由邊界開孔和固定邊界開孔板的前6階固有頻率結(jié)果和振型圖分別見圖4和5.比較這2種開孔模型以及不開孔板模型的振型，同樣是固定邊界開孔板模型對振型的影響最顯著.

基于開孔板模型的程序，多孔結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程只需將多個(gè)孔考慮成虛子域（即對應(yīng)的子域質(zhì)量矩陣和剛度為0）和開孔邊界的組合，對于同樣開孔尺寸的多孔板結(jié)構(gòu)采用修正變分法進(jìn)行振動分析非常方便快捷.另外，如果固定邊界開孔的尺寸足夠小，動力學(xué)方程就能仿真螺栓固定和點(diǎn)焊的情形.受限于篇幅，這樣的模型不再一一列舉.

3結(jié)論

基于1階剪切變形板理論，采用修正變分法建立開孔和加強(qiáng)板結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型.通過修改變分原理和最小二乘加權(quán)余量法，分區(qū)界面連續(xù)性邊界和幾何邊界條件得到釋放和補(bǔ)償.這使得選取的位移函數(shù)不需要顯性地滿足單個(gè)平板或者多板結(jié)構(gòu)模型的原始邊界條件.局部邊界加強(qiáng)模型仿真算例可推廣到任意邊界分布板問題.在處理離散加筋問題時(shí)，通過變分方法將筋條的動能和勢能加載到動力方程中，加筋的位置參數(shù)用函數(shù)表示.開孔模型動力學(xué)方程將孔考慮成虛子域與開孔邊界的組合，可應(yīng)用于工程中常見的多孔板、螺栓固定和點(diǎn)焊等模型.基于修正變分法，各個(gè)平板子域的位移和轉(zhuǎn)角函數(shù)采用切比雪夫多項(xiàng)式展開，可降低動力系統(tǒng)自由度，提高計(jì)算效率.通過與參考文獻(xiàn)和有限元軟件的仿真結(jié)果對比，驗(yàn)證修改變分方法的正確性和有效性.對于常見的板結(jié)構(gòu)振動問題，本文中提到的數(shù)理模型和方法方便可行.

參考文獻(xiàn)：

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