談“對數(shù)形結(jié)合思想方法”的感悟
——以近三年高考壓軸題為例

☉湖南省永順縣第一中學 石家文

談“對數(shù)形結(jié)合思想方法”的感悟
——以近三年高考壓軸題為例

☉湖南省永順縣第一中學 石家文

解決數(shù)學問題離不開數(shù)學思想方法，數(shù)學思想方法在解決數(shù)學問題時的作用舉足輕重，思想方法選擇得當，往往有事伴功倍的效果，思想方法不當，往往引起思維混亂，解題思路受阻.縱觀近幾年的高考試題，特別是函數(shù)壓軸大題，有的以其復雜的分類討論而令人生畏；有的因入口難尋而讓人卻步.其實，處理這類題數(shù)形結(jié)合是最有效的方法之一.下面筆者以近三年的高考壓軸大題為例談一談“對數(shù)形結(jié)合思想方法”的感悟.

感悟之一：數(shù)形結(jié)合是避開分類討論的最佳方法

例1（2016年全國高考理科卷21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

（2）略.

解：（1）由f（x）=0?a（x-1）2=（2-x）ex.

則f（x）有兩個零點?直線y=-a與函數(shù)y=g（x）的圖像有兩個交點.

所以函數(shù)g（x）在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

當x≥2時，g（x）≥0，當x＜2時，g（x）＜0.

又g（0）=-2，故在同一坐標系中作直線y=-a及函數(shù)y=g（x）的圖像，如圖1所示.

由圖1知，當且僅當-a＜0，即a＞0時，直線y=-a與函數(shù)y=g（x）的圖像有兩個交點.

故a的取值范圍為（0，+∞）.

圖1

反思：本題采用先分離參數(shù)再“數(shù)形結(jié)合”的方法將函數(shù)的零點畫出來，讓人一眼就能看出問題的答案，確實比評分標準上給的答案簡單得多.一個圖形勝過千言萬語，它避開了復雜的分類討論！

感悟之二：數(shù)形結(jié)合是撬開分類討論入口的杠桿

（1）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（2）用min｛m，n｝表示m、n中的最小值，設函數(shù)h（x）= min｛f（x），g（x）｝（x＞0），討論h（x）零點的個數(shù).

分析：這是一道見過多次的新定義函數(shù)問題，一般方法先由不等式f（x）≤g（x）解出x的取值范圍，然后將h（x）轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，但是f（x）的表達式含有參數(shù)，且g（x）為超越式，故f（x）≤g（x）不可解（因為關(guān)于x的方程f（x）=g（x）的根算不出來），注意到函數(shù)g（x）=-lnx的圖像易作出來，于是，解法如下.

解：（1）略.

圖2

（2）由函數(shù)y=g（x）的圖像（如圖2）知，當x＜1時，g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0，當0＜x＜1時，g（x）＞0，結(jié)合h（x）的定義知，有如下三種情況.

（1）當x∈（1，+∞）時，g（x）=-lnx＜0，h（x）=min｛f（x），g（x）｝≤g（x）＜0，h（x）在（1，+∞）內(nèi)無零點.

（3）當x∈（0，1）時，g（x）=-lnx＞0，由h（x）的定義知，若（fx）=0，則x就是h（x）的零點，故只需研究（fx）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù).

圖3

1 x=-a有一個解，所以（fx）在（0，1）內(nèi)僅有一個零點；

反思：本題當年參加高考的學生普遍反映難度太大，難以入手，由于參數(shù)無法分離，不能像例1那樣畫圖解決，但是，上述解法充分利用了函數(shù)g（x）=-lnx的圖像特點，結(jié)合h（x）的定義及函數(shù)零點的幾何意義，自然而然分三類討論，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)t（x）的零點個數(shù).

以上解法，關(guān)鍵是通過研究函數(shù)圖像，采用數(shù)形結(jié)合的方法，找到了分類討論的入口和分類標準，使問題圓滿解決.數(shù)形結(jié)合的確像一根杠桿，發(fā)揮了四兩撥千斤的功效.

感悟三：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微

例3（2014年天津高考理科卷20題）設（fx）=x-aex（a∈R），x∈R，已知函數(shù)y=（fx）有兩個零點x1，x2，且x1＜x2.

（1）求a的取值范圍；

（3）略.

原供參考解答如下：

解析：（1）由（fx）=x-aex，可得f（′x）=1-aex.

下面分兩種情況討論：

（i）a≤0時，f（′x）＞0在R上恒成立，可得（fx）在R上單調(diào)遞增，不合題意.

（ii）a＞0時，由f（′x）=0，得x=-lna.

當x變化時，f（′x），（fx）的變化情況如下表：

這時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-lna）；單調(diào)遞減區(qū)間是（-lna，+∞），于是，“函數(shù)y=f（x）有兩個零點”等價于如下條件同時成立：

①f（-lna）＞0；

②存在s1∈（-∞，-lna），滿足f（s1）＜0；

③存在s2∈（-lna，+∞），滿足f（s2）＜0.

由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e-1.

而此時，取s1=0，滿足s1∈（-∞，-lna），且f（s1）=-a＜0；

并且，當x∈（-∞，0）時，g（x）≤0；當x∈（0，+∞）時，g（x）＞0.

由已知，x1，x2滿足a=g（x1），a=g（x2）.

由a∈（0，e-1）及g（x）的單調(diào)性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）.

對于任意的a1，a2∈（0，e-1），設a1＞a2，g（ξ1）=g（ξ2）=a1，其中0＜ξ1＜1＜ξ2；g（η1）=g（η2）=a2，其中0＜η1＜1＜η2.

因為g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，故由a1＞a2，即g（ξ1）＞g（η1），可得ξ1＞η1；類似可得ξ2＜η2.

說明：暫且不說第（1）問的解法是否簡單，上述對第（2）問的證明筆者花一個多小時尚未看出究竟.于是，筆者按自己的思路從第（1）問做起，解答如下：

由g′（x）≥0?x≤1，所以函數(shù)g（x）在（-∞，1］內(nèi)單調(diào)遞增，在［1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減.

又當x≤0時，g（x）≤0；當x＞0時，g（x）＞0.

在同一坐標系中，作出直線y=a及y=g（x）的圖像，如圖4所示.

又f（x）有兩個零點?直線y=a與函數(shù)y=g（x）的圖像有2個交點.

反思：在筆者用分離參數(shù)和數(shù)形結(jié)合的方法輕松解決第（1）問之后，再來解決第（2）問，由圖4作出圖5后，筆者頓時恍然大悟：

原供第（2）問的解答就在圖中.筆者深深地體會到：數(shù)缺形時少直觀??！于是第（2）問的證明如下：

圖4

圖5

（2）由圖5可以知，當a的取值由a1減小到a2時對應值由明顯增大.

反思：第（2）問的證明真的如此簡單？“可以看圖說話，不能以圖代證，必須用代數(shù)方法來論證”，因此，上述對第（2）問的證明是不嚴謹?shù)?究竟該如何證明呢？這種一眼就能看出的結(jié)論偏偏就是講不出道理的經(jīng)歷，使筆者深深體會到“形缺數(shù)時難入微”.

感悟之四：數(shù)形結(jié)合千般好，隔離分家萬事休

上述例3的第（2）問如何證明呢？經(jīng)過對圖5認真觀察：發(fā)現(xiàn)函數(shù)g（x）在（0，1］上遞增，在［1，+∞）上遞減，這一直觀發(fā)現(xiàn)，讓第（2）問的證明水到渠成.

反思：以形助數(shù)是發(fā)揮圖形的直觀性，使抽象的東西具體化；而以數(shù)輔形是用數(shù)式的嚴謹性來彌補形的不足，由于數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，因此只有數(shù)與形相結(jié)合，發(fā)揮兩方面的優(yōu)勢，才能形成互補，相得益彰.

綜上所述，數(shù)學解題中要善于發(fā)掘“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，借助圖形的直觀性和數(shù)式的嚴謹性，去揭示和描述數(shù)學問題的本質(zhì).借助圖形的直觀性，有時可以避開分類討論；有時可以找到分類討論的標準和入口；有時可以揭示題中的隱含條件，從而迅速找到解題途徑，達到以形助數(shù)的目的.然而，對于代數(shù)證明，即使由圖可以直觀看出答案，也不能以圖代證，需借助數(shù)式的嚴謹性，采取以數(shù)輔形、數(shù)形結(jié)合的方法，發(fā)揮兩方面的優(yōu)勢，形成互補.

總之，數(shù)學解題首先要有扎實的數(shù)學基本知識和基本技能，并在此基礎上進一步發(fā)展成為基本思想方法.著名教育家張奠宙教授說：“數(shù)學思想是對數(shù)學的本質(zhì)認識，是對數(shù)學事實與理論進行抽象概括的認識的升華，數(shù)與形是數(shù)學中最基本的研究對象，數(shù)形結(jié)合是最重要的數(shù)學思想.”我國偉大數(shù)學家華羅庚先生也曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，隔離分家萬事休.”因此，解題時若能巧妙應用數(shù)形結(jié)合思想，“由數(shù)思形，以形助數(shù)”或“由形思數(shù)，以數(shù)輔形”，發(fā)揮數(shù)與形的雙重優(yōu)勢，往往能在短時間內(nèi)化簡解題過程，培養(yǎng)思維的靈活性，提升解題能力.

1.石家文.例談函數(shù)零點問題解題策略［J］.湖南教育，2016（10）.F