尋找結(jié)構(gòu)差異 深究解題策略*
——一道高考三角題的解法探究與思考

●宮前長(天水市第一中學(xué) 甘肅天水 741000)

尋找結(jié)構(gòu)差異 深究解題策略*
——一道高考三角題的解法探究與思考

●宮前長
(天水市第一中學(xué) 甘肅天水 741000)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解題.研究高考試題，不僅要學(xué)會(huì)審題、解題，而且要弄清題目條件與結(jié)論之間各種思維通道的差異，并且通過結(jié)構(gòu)差異，深究解題策略的優(yōu)化方案，能夠從中提煉出數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)的思維能力.

思維認(rèn)知；試題探究；結(jié)構(gòu);思維價(jià)值

1 試題呈現(xiàn)

例1 在銳角△ABC中，若sinA=2sinB·sinC,則tanA·tanB·tanC的最小值是______.

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

2 查清結(jié)構(gòu)

從題目來看，以解三角形為背景命制試題，主要考查分析、解決三角形問題的能力，以及兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦定理和余弦定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力.同時(shí)，強(qiáng)化對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、消元與不等式求最值等數(shù)學(xué)思想方法的考查.命題人從知識(shí)的整體高度與數(shù)學(xué)思維的價(jià)值取向上命題，試題結(jié)構(gòu)簡單,形式簡潔、明了，但其內(nèi)涵豐富，是一道值得多視角探究和深思的好題.

2.1 審清條件

試題限于銳角三角形，強(qiáng)調(diào)了3個(gè)內(nèi)角的范圍，以及深挖隱藏的條件“3個(gè)內(nèi)角的和：A+B+C=π”，結(jié)合題設(shè)給出的條件“sinA=2sinB·sinC”，其結(jié)構(gòu)表征要求必須借助兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦定理和余弦定理等知識(shí)點(diǎn)來探究解題思路、方法.

由于條件sinA=2sinB·sinC中有3個(gè)角，就會(huì)自然想到消元，聯(lián)想到在三角形中，常用三角等式sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA來減少變量.

根據(jù)兩角和的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式展開，其具體變形為

sinA=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC,

再結(jié)合條件sinA=2sinB·sinC可得

sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC.

此時(shí)，按照變形所得的三角等式結(jié)構(gòu)sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC，突發(fā)奇想，將形成好多解題的思路與方法.

2.2 審查結(jié)論

審題是解題中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，審題的視角、方法直接關(guān)系到解題的成功與否.數(shù)學(xué)問題中的結(jié)論，往往會(huì)給審題提供一些重要的信息.如“tanA·tanB·tanC的最小值”明確指出了代數(shù)式tanA·tanB·tanC的化簡(求解)方向：多變量的最小值問題.但從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)tanA·tanB·tanC上看是三角形的3個(gè)內(nèi)角的正切值的積，依照平時(shí)做題習(xí)慣，會(huì)采用“切化弦”技術(shù)減少變量的個(gè)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為含有2個(gè)變量或1個(gè)變量的問題，通過求最值問題，熟悉化簡求解的原則和方法.

在銳角三角形中，依兩角和的正切公式有

變形可得

tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC.

這樣處理，使得結(jié)構(gòu)復(fù)雜的tanA·tanB·tanC等價(jià)轉(zhuǎn)化為tanA+tanB+tanC，與條件關(guān)系式相比，結(jié)構(gòu)差異縮小了，不再產(chǎn)生解題心理壓力，好的解題思路方法不斷涌出.

2.3 審明聯(lián)系

通過題設(shè)條件、結(jié)論的剖析，如何更好地架設(shè)條件與結(jié)論之間的“橋”？讓“sinA=2sinB·sinC”到“tanA·tanB·tanC”的“天塹”變“通途”.已知條件等式sinA=2sinB·sinC只含有正弦，而所求問題式中只含有正切tanA·tanB·tanC.因此，審題時(shí)很自然地想到一種策略：“弦化切”或“切化弦”.此時(shí)，關(guān)鍵等式來源于“sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC”的2邊同時(shí)除于“cosB·cosC”(在銳角△ABC中，cosB·cosC≠0)得到等式“tanB+tanC=2tanB·tanC”，很好地消除了條件與結(jié)論之間的差異.

結(jié)合平時(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)，想到另一種策略：“等價(jià)轉(zhuǎn)化法”，即將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解.

總之，通過上述的審題，初步形成如下的解題思維鏈(如圖1所示)：

圖1

3 解法探究

3.1 弦化切

將條件等式“弦化切”，再與兩角和的正弦、正切公式以及銳角三角形的恒等式等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，然后進(jìn)行有效化簡，“接通”條件與目標(biāo)，求得tanA·tanB·tanC的最小值.

解法1 (均值不等式法)

sinA= sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC=

2sinB·sinC,

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosB>0,cosC>0,所以

tanB+tanC=2tanB·tanC.

又A=π-(B+C),從而

于是tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC=

整理得

tanA·tanB·tanC≥8，

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4時(shí)等號(hào)成立.故tanA·tanB·tanC的最小值是8.

解法2 (基本不等式法)由解法1中tanB+tanC=2tanB·tanC，可知

tanA·tanB·tanC≥8，

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB+tanC，即tanA=4時(shí)等號(hào)成立.故tanA·tanB·tanC的最小值是8.

解法3 (基本不等式法)由解法1，知

tanB+tanC=2tanB·tanC，

則

故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

解法4 (整體法)由解法1知

又

tanB+tanC=2tanB·tanC，

把tanB·tanC看成一個(gè)整體，令tanB·tanC=t(其中t>1),則問題轉(zhuǎn)化為求

的最小值.

當(dāng)且僅當(dāng)t=2∈(1,+∞),即tanA=4時(shí)，tanA·tanB·tanC的最小值為8.

則

解法5 (判別式法)由解法1知

由三角形恒等式知

聯(lián)立式(1)和式(2)，解得

tanA+2tanB·tanC=tanA·tanB·tanC，

從而

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以

tanA·tanB·tanC>0,

不妨設(shè)tanA·tanB·tanC=y(其中y>0),則

變形為關(guān)于tanA的一元二次方程

tan2A-ytanA+2y=0.

由判別式Δ=y2-8y≥0，得y≥8.故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

解法6 (構(gòu)造函數(shù)法)由解法5知

目標(biāo)tanA·tanB·tanC的最小值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanA的函數(shù)最小值問題.

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4時(shí)等號(hào)成立.故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

解法7 (對(duì)偶構(gòu)造法)已知sinA=2sinB·sinC，得

(3)

由銳角△ABC，得

cosA>0, cosB>0, cosC>0.

設(shè) cosB·cosC=tcosA,

(4)

式(3)÷式(4)，得

式(4)-式(3)，得

化簡得

即

tanA=2(1+t)，

當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，tanA·tanB·tanC的最小值為8.

3.2 切化弦

將結(jié)論tanA·tanB·tanC切化弦，再與兩角和的正弦、正切公式，銳角三角形的恒等式，以及函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，求得tanA·tanB·tanC的最小值.

解法8 (消元法)

因?yàn)閟inA=2sinB·sinC,由銳角△ABC，得

方法1 (判別式法)令

化簡得 sin2A-ysinA·cosA+2ycos2A=0.

由銳角△ABC，得cosA>0,上式2邊同除cos2A得

tan2A-y·tanA+2y=0,

此方程可看成是關(guān)于tanA的一元二次方程，則由判別式Δ=y2-8y≥0(其中y>0)，得y≥8.故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

方法2 (判別式法)令

化簡得 sin2A-ysinA·cosA+2ycos2A=0,

將此等式看成是關(guān)于sinA的一元二次方程，求得判別式

Δ=y2cos2A-8ycos2A=

(y2-8y)cos2A≥0(其中y>0).

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以y>0,cos2A>0,從而y≥8.當(dāng)y=8時(shí)，上式變?yōu)?/p>

sin2A-8cosA·sinA+16cos2A=0，

即

(sinA-4cosA)2=0，

亦即tanA=4.故tanA·tanB·tanC的最小值是8，當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4時(shí)等號(hào)成立.

方法3 (弦化切法)

下同解法5(略).

方法4 (均值不等式放縮法)由

得

故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

方法5 (函數(shù)最值法)

不妨設(shè)sinA=t(其中0

3.3 轉(zhuǎn)化與化歸

根據(jù)題意，將三角形式的題目等價(jià)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，解決起來更方便快捷.由“查清結(jié)構(gòu)”中的解題思路可將問題轉(zhuǎn)化為如下的命題：

例2 已知實(shí)數(shù)x>0,y>0,z>0，滿足y+z=2yz，x+y+z=xyz，則xyz的最小值是多少？

分析 對(duì)于多元最值問題，常常采用消元法，利用基本不等式與函數(shù)思想進(jìn)行解題.消元是解決多變量問題的基本大法.消元的方式有2種:直接消元(代入消元和整體消元)和引參消元.該問題可以直接代入消元.由于篇幅原因，以下只列舉2種方法，以供參考.

解法1 由條件得

x+2yz=xyz，

從而

于是

采用例1中的解法5或解法6，可求得xyz的最小值是8.

解法2 由條件y+z=2yz,得

由解法1知

從而

故

下同解法1.

4 教學(xué)啟示

4.1 重視數(shù)學(xué)思想，積累解題經(jīng)驗(yàn)

在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，多提煉例、習(xí)題中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想.如本題中，涉及許多審題的視角(不等式、函數(shù)、等差中項(xiàng)和對(duì)偶構(gòu)造)、數(shù)學(xué)思想(換元、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合)和數(shù)學(xué)方法(整體法、換元法、消元法、判別式法)等重要內(nèi)容，內(nèi)化為自己知識(shí)體系中的解題經(jīng)驗(yàn)和微型模型，能夠更好地提升思維水平和開發(fā)數(shù)學(xué)潛能.

4.2 關(guān)注“三審”過程，通達(dá)數(shù)學(xué)自覺

因此，解題時(shí)要多關(guān)注三審(審條件、審結(jié)論和審聯(lián)系)環(huán)節(jié)，這樣就能融會(huì)貫通數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，形成知識(shí)的系統(tǒng)化，解題時(shí)左右逢源、游刃有余.

1 裂項(xiàng)法求和問題的生成方法

第1步：選擇函數(shù)f(x);第2步：構(gòu)造數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=k[f(n)-f(n-1)]，并將an化簡(不能化簡的沒有研究的必要)；第3步：選定一個(gè)k值，生成裂項(xiàng)法求和問題.

說明：k取不同的值，可生成不同的求和問題.

通過1)的示范講解，學(xué)生基本把握了裂項(xiàng)法求和問題的生成方法及裂項(xiàng)技巧.緊接著給學(xué)生10分鐘自編自練，再給學(xué)生15分鐘在小組內(nèi)交換練習(xí),教師巡視指導(dǎo),最后剩下的時(shí)間以小組為單位通過投影儀展示各組的編題成果.現(xiàn)將各組展示的問題整理如下(限于篇幅，部分解答省略):

取k=1得到：

an=f[f(n)-f(n+1)]=

取k=-1得到：

6)選擇函數(shù)f(x)=x(x+1)，計(jì)算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[n(n+1)-(n+1)(n+2)]=

-2k(n+1)．

問題6 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n+1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

7)選擇函數(shù)f(x)=x(x+1)(x+2)，計(jì)算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[n(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)(n+3)]= -3k(n+1)(n+2)．

問題7 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(n+1)(n+2)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

9)選擇函數(shù)f(x)=qx-1(其中q≠0且q≠1)，計(jì)算

an=k[f(n)-f(n+1)]=k(qn-1-qn)=

k(1-q)qn-1．

問題9 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=a1qn-1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

10)選擇函數(shù)f(x)=tanx,計(jì)算

an=k[f(n)-f(n+1)]=k[tann-tan(n+1)]=

取k=-1得到：

11)選擇函數(shù)f(x)=tan(2xα)，計(jì)算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[tan(2nα)-tan(2n+1α)]=

取k=-1得到：

12)選擇函數(shù)f(x)=cot(2xα)，計(jì)算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[cot(2nα)-cot(2n+1α)]=

取k=-1得到：

2 生成方法在教學(xué)中的作用

1)蘇霍姆林斯基說過：“在人的靈魂深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”[1]過去學(xué)生被動(dòng)做題，缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，甚至?xí)械娇菰锓ξ?現(xiàn)在教會(huì)了學(xué)生用生成方法自編自練，交換練習(xí)，教師把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生,讓他們自己去發(fā)現(xiàn)問題、研究問題,極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生樂此不疲，就像玩游戲一樣不斷寫出新的函數(shù)，不斷生成新的求和問題.一系列新穎別致的求和問題給學(xué)生帶來了快樂，帶來了成功的感受和體驗(yàn).

2)學(xué)生在編題過程中，使自己的思維品質(zhì)得到了優(yōu)化和提升，尤其是逆向思維能力得到了很好的鍛煉；使他們看到了題目生成背后的故事，有利于抓住問題的本質(zhì)特征，破譯解題玄機(jī)，把握裂項(xiàng)法的規(guī)律和技巧，提升自己的解題能力.

3)學(xué)生通過編題，拓展了自己的思維空間.選擇不同的函數(shù)編題，使所學(xué)的知識(shí)得到了聯(lián)系和發(fā)展,使學(xué)生更能適應(yīng)在知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)置問題的考試要求.同時(shí)對(duì)數(shù)列中的函數(shù)思想也有了更為深刻的認(rèn)識(shí).

5)美國緬因州的國家訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)室研究成果表明:課堂中，學(xué)生單純的“聽講”，2周后所學(xué)知識(shí)的保持率僅為5%；通過“看”教師的示范演示，2周后也只能保持30%；而通過“小組討論”獲得的知識(shí)，2周后的保持率可達(dá)到50%；如果能在“做中學(xué)或?qū)嶋H演練”獲得知識(shí)，2周后的保持率可達(dá)到70%；如果能夠自己獲得并“教別人”，保持率可達(dá)到90%[2].由此可見，合理放手，適度讓位,教給學(xué)生裂項(xiàng)法求和問題的生成方法，讓學(xué)生自編自練，互編互練，給學(xué)生自主探究、展示交流的空間,可大大提高所學(xué)知識(shí)的保持率，使課堂變得更加高效.

[1] 張艷.一道例題體驗(yàn)三種角色[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016(11):51-53.

[2] 繆林.平面與平面垂直的判定教學(xué)片段及教學(xué)反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012(7):22-24.

2016-11-24；

2016-12-30

宮前長(1964-)，男，甘肅禮縣人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122

A

1003-6407(2017)05-12-05