基于B-S模型金融衍生品可轉(zhuǎn)債定價的研究

張 祎 朱家明

(1.安徽財經(jīng)大學 金融學院，安徽 蚌埠233030；2.安徽財經(jīng)大學 統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠233030)

基于B-S模型金融衍生品可轉(zhuǎn)債定價的研究

張 祎1朱家明2

(1.安徽財經(jīng)大學 金融學院，安徽 蚌埠233030；2.安徽財經(jīng)大學 統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠233030)

作為一種新型的融資渠道，可轉(zhuǎn)債近幾年在資本市場上有了飛速發(fā)展，針對可轉(zhuǎn)債的價值組成，將其分成純債券、轉(zhuǎn)換和期權(quán)價值三部分，并分別介紹了三種價值的度量方法，利用最小價值原理和B-S定價公式對選取的9只上市可轉(zhuǎn)債理論價值進行估計，發(fā)現(xiàn)計算出的結(jié)果普遍比市價低，最后基于這個發(fā)現(xiàn)討論產(chǎn)生這種偏差的原因.

B-S期權(quán)定價模型；可轉(zhuǎn)換債券；最小價值原理；t檢驗

資本市場的深入發(fā)展使得可轉(zhuǎn)債這種新型的融資工具也取得了令人矚目的影響.可轉(zhuǎn)債既具有債券的特征又有期權(quán)的屬性.因為投資人若未在規(guī)定時間內(nèi)實施轉(zhuǎn)換權(quán)，則發(fā)行方需要對剩下的債券按期支付利息，到期日支付本金，這是債券性質(zhì)的體現(xiàn)，并且可轉(zhuǎn)債具有轉(zhuǎn)股權(quán)、回售權(quán)、向下調(diào)整轉(zhuǎn)股價等權(quán)利.投資人在規(guī)定的期限內(nèi)既能實施轉(zhuǎn)股權(quán)將可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為一定數(shù)量的正股股票，也能選擇不行使這個權(quán)利.一方面，可轉(zhuǎn)債持有人擁有是否實施轉(zhuǎn)股權(quán)的權(quán)利，但是需要承擔可轉(zhuǎn)債低利率的成本；另一方面，發(fā)行方具有在規(guī)定的情形下贖回可轉(zhuǎn)債的權(quán)利，但是要為此付出更高的利率的成本.這種制度設定限制了債券持有人與發(fā)行人的風險與收益.由于利率低于普通企業(yè)債券利率和稅盾效應，對于發(fā)行方而言，它是一種很好的降低融資成本的產(chǎn)品；針對可轉(zhuǎn)債投資方，它是一種良好的避險工具.

1 文獻綜述

可轉(zhuǎn)債的利率通常低于企業(yè)普通債券的利率，并且由于我國的稅盾效應，使得其不僅可以降低發(fā)行者的融資成本，也可以讓投資者通過選擇是否行使轉(zhuǎn)換權(quán)來規(guī)避風險.對于這樣一種債券，為了順利地進行轉(zhuǎn)換和發(fā)行，需要有一個合理的定價.對于可轉(zhuǎn)債的定價也因此成為這方面的熱點話題.國內(nèi)外學者對此提出了眾多的理論，如違約風險結(jié)構(gòu)理論、單因素和雙因素模型等.聞岳春[1]等使用蒙特卡羅數(shù)值方法對可轉(zhuǎn)換債券價值進行研究；王婧[2]利用B-S模型計算上市的14只可轉(zhuǎn)換債券價格，計算出的結(jié)果普遍比市價低并提出一些理論以解釋這種現(xiàn)象；湯潔[3]利用GARCH模型計算正股價格波動率并接著用B-S公式計算期權(quán)價值，結(jié)果擬合效果較好.

本文的特點是基于我國特色的向下調(diào)整轉(zhuǎn)股價制度，在假設轉(zhuǎn)股價與正股價同比例變動的前提下，由于投資者只會在正股價高于轉(zhuǎn)股價時進行實施轉(zhuǎn)股權(quán)，通過證明得出轉(zhuǎn)股權(quán)可以近似看成歐式看漲期權(quán)的結(jié)論，繼而利用近9個月的歷史股票價格數(shù)據(jù)計算股價連續(xù)收益率波動率，并求出上市的9只可轉(zhuǎn)債的理論價格，與實際價值進行比較，闡述存在差異的原因.

2 模型原理、指標選取及數(shù)據(jù)來源

2.1 可轉(zhuǎn)債定價模型原理

可轉(zhuǎn)換債券是一種兼具債權(quán)性和期權(quán)性的金融衍生品，其價值的最小值來自于純債和轉(zhuǎn)換價值的較大者，還有一部分來源于隱含的期權(quán)價值，依據(jù)最小價值原理和期權(quán)價值原理，推導到可轉(zhuǎn)債的價格如下：可轉(zhuǎn)換價值=max(純債券價值，轉(zhuǎn)換價值)+轉(zhuǎn)換權(quán)[4].本文利用上述公式對上市可轉(zhuǎn)債價格進行理論上的計算.

2.2 指標選取

在現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型中，對于無風險利率的計算，已有不少學者提出各種方法.考慮到期限匹配的問題，本文以與可轉(zhuǎn)債到期日接近的國債到期收益率的均值作為相應期限的無風險利率的估計；在估計股票價格波動率時很多學者都采用股票發(fā)行以來的所有股價進行計算，但是事實上并不是數(shù)據(jù)越多，估計的數(shù)值越準確，股價等金融變量具有時變性特征.因此，我們選取2016年2月至今的收盤價作為歷史數(shù)據(jù)估計股價的波動率；在B-S模型的股價波動率的研究中，目前有如下幾種估計、方法：第一，直接使用到期時間相近的國債的YTM.第二，在國債YTM之上再加一定幅度的信用風險溢價.第三，將到期日相差不大的企業(yè)債券到期收益率均值作為貼現(xiàn)率的估計[5-9]，本文中我們直接采取國債到期收益率進行可轉(zhuǎn)債的估價.

2.3 數(shù)據(jù)來源

本文所選取的可轉(zhuǎn)債價格及相關(guān)數(shù)據(jù)，均來自于和訊網(wǎng)和新浪財經(jīng)，所使用的股票價格數(shù)據(jù)，選取2016年2月1日至2016年11月4日這段期間，數(shù)據(jù)均來自于通達信金融終端.

3 實證分析

3.1 純債價值

⑴ 純債價值的公式：

定義1 純債價值即投資者未在規(guī)定的期限內(nèi)實行轉(zhuǎn)換權(quán)，相當于持有一只債券所實現(xiàn)的價值，其公式為：

其中，B為債券的理論價格，Ci是第i期支付的利息，M是債券的面值，r為貼現(xiàn)率，T是剩余年限.

⑵ 現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型的參數(shù)估計

由于我國對于公司發(fā)行債券有嚴格審批過程并且具有特色的派息向下調(diào)整轉(zhuǎn)股價的規(guī)定，因此，市場上可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股性較強，近似將利率設為常數(shù).由于上市交易的國債可以被認為是以利率為標的資產(chǎn)的衍生證券，其價值中已經(jīng)包含了人們對于未來利率波動的預期，而到期收益率可以代表未來即期利率變動的均值，因此本文中不再考慮其波動性.

因為本文中所采用的可轉(zhuǎn)債的剩余期限包括2年、3年、4年、5年，因此利用和訊網(wǎng)搜集到的國債到期收益率，我們選擇與可轉(zhuǎn)債到期日相近的國債，并對其YTM取均值，作為無風險利率的估計，得到的各個時期的無風險利率見表1.

表1 各時期的無風險利率

剩余期限/年2345到期收益率/%27827527952788

運用以上分析的結(jié)果，得到純債券的價值見表2.

表2 可轉(zhuǎn)債的純債券價值

名 稱廣汽轉(zhuǎn)債歌爾轉(zhuǎn)債洛鉬轉(zhuǎn)債吉視轉(zhuǎn)債民生轉(zhuǎn)債格力轉(zhuǎn)債航信轉(zhuǎn)債白云轉(zhuǎn)債江南轉(zhuǎn)債債券價格92811472134451114011819964292791039211

3.2 轉(zhuǎn)換價值

定義2 轉(zhuǎn)換價值指的是可轉(zhuǎn)債按正股股價將持有的債券轉(zhuǎn)換成股票所實現(xiàn)的價值，其公式為：轉(zhuǎn)換價值=100/轉(zhuǎn)股價格×目前股價

轉(zhuǎn)換價值與正股股價同向變動，所以轉(zhuǎn)換價值的變化本質(zhì)上就是標的股票價格的變化.利用公式得到可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換價值，見表3.

表3 可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換價值

名 稱普通股票市價面值最新轉(zhuǎn)股價轉(zhuǎn)換價值廣汽轉(zhuǎn)債2481100217911386歌爾轉(zhuǎn)債3033100262311663洛鉬轉(zhuǎn)債3811008784349吉視轉(zhuǎn)債45510012033782民生轉(zhuǎn)債91610081011302格力轉(zhuǎn)債6101007308402航信轉(zhuǎn)債220610043055124白云轉(zhuǎn)債1468100125611688江南轉(zhuǎn)債86910076311386

3.3 最小價值原理

以上分析看出，根據(jù)無套利定價原理，可轉(zhuǎn)債擁有的價格底線是純債券價值和轉(zhuǎn)換價值的最大值，前者是由可轉(zhuǎn)債中的債券性質(zhì)決定的，后者是由可轉(zhuǎn)債的股性決定的.可轉(zhuǎn)債最小價值=max(純債券價值，轉(zhuǎn)換價值).

3.4 期權(quán)價值

由于影響可轉(zhuǎn)債中包含的期權(quán)種類較多，如：轉(zhuǎn)換權(quán)、回售權(quán)和派息向下調(diào)整轉(zhuǎn)股價等等，因此對于可轉(zhuǎn)債的定價比較復雜，考慮到這些條款，可轉(zhuǎn)債的價格表達式為：

可轉(zhuǎn)換債券的價值=max(純債價值，轉(zhuǎn)換價值)-發(fā)行人美式看漲期權(quán)價值+投資者美式看跌期權(quán)價值+投資者美式看漲期權(quán)價值，根據(jù)有關(guān)文獻的實證分析表明，對可轉(zhuǎn)債價值影響最大的是轉(zhuǎn)股權(quán)，在此結(jié)論的基礎上，我們僅對轉(zhuǎn)股權(quán)的價值進行計算.

⑴ 轉(zhuǎn)股權(quán)是美式還是歐式的判斷

期權(quán)是美式或是歐式的判斷對可轉(zhuǎn)債的價格確定至關(guān)重要.對于存續(xù)期間產(chǎn)生現(xiàn)金紅利的美式看漲期權(quán)而言，持有者有可能提前行權(quán).由于我國大多數(shù)上市的可轉(zhuǎn)債在正股派息的會將轉(zhuǎn)股價相應地向下調(diào)整，因此我們近似將其視作歐式期權(quán)，詳細推導過程如下：

假設轉(zhuǎn)股價不隨紅利派發(fā)而改變，投資者在t時刻轉(zhuǎn)股(假定到轉(zhuǎn)債時起至到期日T正股只派發(fā)一次紅利)，則T時的回報為：100ST/X+Der(T-t)，ST為T時刻正股的價格，X為行權(quán)價，D為正股派發(fā)的紅利，r為無風險利率.若持有人持有到期，則回報為：max(100ST/X,P1)+I,P1為T時刻贖回價，I為t到T期的債券利息的終值，則提前轉(zhuǎn)股的一個前提條件是：D>Ie-r(T-t)；由于轉(zhuǎn)股價會隨著派息而調(diào)整，則持有到期的回報為：

⑵ 運用B-S模型進行期權(quán)的計算

B-S模型的假設條件：

①股票價格遵循幾何布朗運動，即:dS=μSdt+σSdz，其中μ,σ是常數(shù)；②允許賣空股票；③不存在交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的；④在衍生產(chǎn)品有效期內(nèi)標的物沒有現(xiàn)金流；⑤不存在無風險套利機會；⑥證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；⑦在衍生產(chǎn)品有效期內(nèi)，無風險利率不變.

其中，r為連續(xù)復利的無風險利率；此時，期權(quán)的價格是到期時的期望值以r貼現(xiàn)得到的結(jié)果，即：C=e-r(T-t)E(max(ST-X,0))，股價滿足的對數(shù)正態(tài)分布為：

進而得到標的不產(chǎn)生紅利的歐式看漲期權(quán)的價格為：

c=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2)，

N(x)反映標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，S代表當前的股價，X是當前期權(quán)的執(zhí)行價格.

我們對股價是否服從對數(shù)正態(tài)分布進行檢驗，如圖1—圖4所示：

從圖中可以看出，4種債券的正股股價都可近似看成服從對數(shù)正態(tài)分布，運用同樣的檢驗可以得到所有的債券的正股股價都服從對數(shù)正態(tài)分布，因此可以用B-S期權(quán)定價公式進行定價.

圖1 廣汽集團的QQ檢驗

圖2 歌爾集團的QQ檢驗

圖3 洛陽鉬業(yè)的QQ檢驗

圖4 吉視傳媒的QQ檢驗

⑶B-S模型的股價波動率的估計

假設n為樣本個數(shù)，Si為第i個時間的股價，令μi=ln(Si/Si-1)，μi為第i個時間段的連續(xù)復利收益率，則連續(xù)復利的標準差估計值為：

綜上，可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換價值見表4.

表4 可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換權(quán)價值

名 稱廣汽轉(zhuǎn)債歌爾轉(zhuǎn)債洛鉬轉(zhuǎn)債吉視轉(zhuǎn)債民生轉(zhuǎn)債格力轉(zhuǎn)債航信轉(zhuǎn)債白云轉(zhuǎn)債江南轉(zhuǎn)債價格95612500380171953961306482662

3.5 可轉(zhuǎn)債的價格及其與市值的偏差

通過上述計算過程，可以得到可轉(zhuǎn)債的價格和市價及兩者的偏差.見表5.

表5 理論值與實際值的比較

名 稱理論價格市場價格理論價與市價的偏差/%廣汽轉(zhuǎn)債1234212179132歌爾轉(zhuǎn)債1281313528-550洛鉬轉(zhuǎn)債1348313055317吉視轉(zhuǎn)債11157100181020民生轉(zhuǎn)債1201411966040格力轉(zhuǎn)債1003812200-2150航信轉(zhuǎn)債1057611300-680白云轉(zhuǎn)債1217013199-845江南轉(zhuǎn)債1204812179-110

由上面的計算過程可以看出，產(chǎn)生的偏差均值為-3.15%.得出理論價格與實際價格的趨勢，如圖5：

圖5 理論與市場價格

計算過程中出現(xiàn)偏差較大的，可能是由于各個可轉(zhuǎn)債的行權(quán)條件不同，導致對于期權(quán)的價值估計存在較大誤差，鑒于此，我們在使用模型進行估值時，應充分涉及其自身的獨特因素，這樣的估值才會更貼近現(xiàn)實.為了進一步說明兩者是否有顯著性差異，對理論值與實際值做兩總體均值的假設檢驗，令H0∶μ1>μ2，H1∶μ1μ2，μ1表示市場價格，μ2表示理論價值，利用MATLAB編程，見表6.

h=0表示不可以拒絕原假設，而sig為假設成立的概率，說明原假設在82.4%的情況下是成立的，所以可以初步判斷可轉(zhuǎn)債價值在市場中理論值低于實際值.

表6 總體均值的t檢驗

統(tǒng)計量hsig數(shù)值00824

4 結(jié)束語

通過上述的實證分析結(jié)果表明，使用B-S期權(quán)定價公式對可轉(zhuǎn)債的理論價值確定與市價稍有偏差，經(jīng)過分析，有以下幾個原因：

⑴ 正股股票對可轉(zhuǎn)債市價的影響會有一個滯后效應.

當正股股票價格上漲很快并且轉(zhuǎn)換期權(quán)處于實值時，短期內(nèi)可能出現(xiàn)可轉(zhuǎn)債市價上漲速度小于股價上揚速度，但是由于偏離幅度不大且存在交易成本，并不能產(chǎn)生無風險套利機會，市價會隨著交易日的延續(xù)回歸正常，可以看出證券市場對可轉(zhuǎn)債的價值估計已經(jīng)較為合理，不像早期那樣低估其價值，同時也表現(xiàn)了市場有效性仍不足，可轉(zhuǎn)債市價還無法充分反映基準股票的相關(guān)價格信息.

⑵ 模型中并沒有考慮諸多附加權(quán)利

可轉(zhuǎn)債中有很多附加條款，如派息向下調(diào)整轉(zhuǎn)股價、回售權(quán)等，這些權(quán)利會使得對可轉(zhuǎn)債價格的確定更加復雜，而B-S公式中的期權(quán)只考慮了簡單化的轉(zhuǎn)換權(quán)，造成了理論值與實際值的偏差.

⑶ 我國的市場非有效

證券市場的弱勢有效性是使用B-S模型進行期權(quán)定價的必要條件，但是目前我國的市場有效性不能達到要求，因此影響可轉(zhuǎn)債的價值；同時缺乏做空機制使得套利行為無法實現(xiàn)，可轉(zhuǎn)債的價格無法通過這一途徑達到均衡，從而理論與實際的價格產(chǎn)生偏差.

總體來說，觀測時期的模型平均理論價值略低于實際市場平均價格，這一方面是由于現(xiàn)在股市表現(xiàn)不佳，波動較大，使得有固定收益的證券產(chǎn)品受到投資者的青睞；另一方面，債券的價格不像以前那樣被低估，也反映了投資者對可轉(zhuǎn)債這種新型的金融衍生工具有了更深的了解.

[1]聞岳春，邱小平.我國可轉(zhuǎn)債定價模型探討[J].商業(yè)經(jīng)濟與管理,2009(8):63-68.

[2]王婧.基于B-S模型的我國可轉(zhuǎn)債定價研究[D].北京:對外經(jīng)濟貿(mào)易大學,2009.

[3]湯潔.B-S模型在可轉(zhuǎn)換債券定價中的應用研究[J].時代金融,2015(2):146-147.

[4]賴其男，姚長輝，王志誠.關(guān)于我國可轉(zhuǎn)換債券定價的實證研究[J].金融研究,2005(9):105-121.

[5]李妍.運用Black-Sscholes模型對我國可轉(zhuǎn)換債券價值的實證分析[D].北京:首都經(jīng)濟經(jīng)濟貿(mào)易大學,2015.

[6]章冬斌.B-S模型在我國上市公司可轉(zhuǎn)換債券估值中的應用[J].山東財政學院學報,2005(1):50-53.

[7]郁夢丹.基于Black-Sscholes模型的可轉(zhuǎn)換債券定價的實證研究[D].鎮(zhèn)江:江蘇科技大學,2015.

[8]郭玉聰.我國可轉(zhuǎn)換債券的定價分析[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學,2015.

[9]張勝堂.中國可轉(zhuǎn)換公司債券的定價研究[D].北京:首都經(jīng)濟經(jīng)濟貿(mào)易大學,2015.

(責任編輯 魯越青)

On Convertible Bond Pricing Based on B-S Model

Zhang Yi1Zhu Jiaming2

(1.School of Finance, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, Anhui 23303; 2.School of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, Anhui 23303)

As a new financing way, convertible bonds have developed rapidly in the capital market in recent years. In the view of the value of convertible bonds, which are divided into pure bonds, transformation, and the option value, the paper introduces three measures of value respectively, then estimates the theory of convertible bonds value for selected 9 listed bonds through the principle of minimum value and B-S pricing formula, and find that the calculated result is generally lower than the market price. Finally the reasons for the deviation are discussed on the basis of the findings.

B-S option pricing model; convertible bond; principle of minimum value; t test

10.16169/j.issn.1008-293x.k.2017.07.012

F224

A

1008-293X(2017)07-0068-06

2016-12-24 基金項目：國家自然科學基金項目“3-流猜想，F(xiàn)ulkerson覆蓋及相關(guān)問題”(11601001).

張 祎(1996- )，安徽銅陵人，安徽財經(jīng)大學金融學院在讀，研究方向：金融工程.

朱家明(1973- )，安徽宿州人，安徽財經(jīng)大學統(tǒng)計與應用數(shù)學學院副教授，研究方向：概率 統(tǒng)計與數(shù)學建模.