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    《數(shù)學(xué)通報(bào)》2305問題的證明及推廣

    2017-05-11 08:36:02張留杰宋其云
    關(guān)鍵詞:共圓傾斜角斜率

    張留杰 宋其云

    北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

    《數(shù)學(xué)通報(bào)》2305問題的證明及推廣

    張留杰 宋其云

    北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

    2305問題AB是圓錐曲線mx2+ny2=1的斜率等于1的弦,AB的垂直平分線與該圓錐曲線交于點(diǎn)C、D,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓.[1]

    拜讀本刊數(shù)學(xué)問題解答2305問題之后,引發(fā)了筆者深深思考,雖然題目條件中的有心圓錐曲線具有很強(qiáng)的一般性,但是對(duì)弦AB和直線CD的條件要求十分特殊,該問題背后是否存在一般規(guī)律呢?該結(jié)論對(duì)拋物線是否成立?帶著這些思考開啟了下面的探究之旅.

    一、問題的證明

    該問題所給的解答中,充分利用了“CD垂直平分AB”這一幾何特征,取CD的中點(diǎn)F(如圖1),從而確定這四點(diǎn)共圓的充要條件是BF為圓的半徑,進(jìn)而得出等價(jià)條件|CD|2-|AB|2=4|EF|2,然后用解析法證明該等式,凸顯了解析幾何的本質(zhì),即用代數(shù)的方法解決幾何問題.

    圖1

    如果不添加輔助線,設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為E,直接證明|EA|·|EB|=|EC|·|ED|,能夠回避求線段長(zhǎng)度的繁瑣過程,會(huì)顯得更加簡(jiǎn)捷.

    證明:設(shè)E(x0,y0),直線AB的方程為y=x+t,則y0=x0+t,因?yàn)镃D⊥AB,則直線CD的方程為y-y0=-(x-x0),即y=-x+2x0+t.

    設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

    =|EC|·|ED|,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

    二、問題的推廣

    根據(jù)上述證明過程,筆者發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)E是AB中點(diǎn)”這一條件可以省去,然后根據(jù)有心圓錐曲線的對(duì)稱性,可以得出如下結(jié)論:

    結(jié)論1AB是圓錐曲線mx2+ny2=1的斜率為k的弦,若|k|=1,垂直于直線AB的直線l與圓錐曲線交于點(diǎn)C、D,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

    波利亞在《怎樣解題》中指出“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,而更重要的是解題之后的回顧與反思.”再次回顧該問題,總感覺還有更一般性的規(guī)律,究竟由哪個(gè)條件進(jìn)行引申推廣呢?經(jīng)過一番思考,決定從AB和CD的斜率或傾斜角進(jìn)行探究.

    命題1 若A、B、C、D為有心圓錐曲線mx2+ny2=1(m≠n)上四個(gè)不同的點(diǎn),且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)E,α、β分別為直線AB、CD的傾斜角,試探究當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí),α與β的關(guān)系.

    結(jié)論2 若A、B、C、D為有心圓錐曲線mx2+ny2=1(m≠n)上四個(gè)不同的點(diǎn),且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)E,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ).

    類似地,也很容易將該結(jié)論推廣到拋物線中.

    所以根據(jù)2305問題我們可以得出圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要定理,凸顯了該問題背后深刻的內(nèi)涵和其使用價(jià)值.

    定理A、B、C、D為圓錐曲線W上四個(gè)不同的點(diǎn),且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)E,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ).

    [1]張國(guó)坤.數(shù)學(xué)問題解答2305題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016.6.

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