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    “直觀感知”助你輕松求解幾道數(shù)列題

    2017-05-11 08:42:06吳麗琴
    關(guān)鍵詞:通項考試題等式

    吳麗琴

    福建省漳州第一中學(xué) (363000)

    “直觀感知”助你輕松求解幾道數(shù)列題

    吳麗琴

    福建省漳州第一中學(xué) (363000)

    數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,是歷屆高考試題考查的重點(diǎn),也是難點(diǎn).高考數(shù)列試題常與不等式、函數(shù)、方程等知識交匯在一起綜合命制,對學(xué)生能力提出了較高的要求,要求學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),較好地突出高考試題的甄別功能.正是如此,使得該類試題常成為考生高考高分路上的攔路虎,時常困擾著廣大考生.那么,如何破解這類問題呢?我們知道表示數(shù)列的方法通常有圖像法、列舉法、通項公式an=f(n)、遞推關(guān)系等,其中,遞推關(guān)系最抽象,通項公式次之.高考數(shù)列試題中數(shù)列的表示往往以抽象的形式出現(xiàn)(一般給出其遞推關(guān)系、通項公式),如果能夠?qū)⑵渚唧w化、直觀化(列舉法、圖像法),這有助于知道問題的來龍去脈,有助于形成正確的猜想,確立解題的思路[1].

    例1 ((2012年新課標(biāo)Ⅰ,理科))數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項和為________.

    例2 (2014年新課標(biāo)Ⅰ理)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).

    (1)證明:an+2-an=λ;

    (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.

    分析與解:(1)略;(2)由(1)及已知條件得出數(shù)列各項為,1,λ-1,λ+1,2λ-1,…,若{an}為等差數(shù)列,則2(λ-1)=1+λ+1,解得λ=4;當(dāng)λ=4時,數(shù)列各項為1,3,5,7,…,猜想{an}為等差數(shù)列,且公差為2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)λ=4時,an+1-an=2,n∈N*.

    當(dāng)λ=4時,①a2-a1=3-1=2,所以n=1時,等式成立;②假設(shè)ak+1-ak=2,?k∈N*,則由(1)及假設(shè)得,ak+2-ak+1=ak+4-ak+1=4-2=2,所以n=k+1時,等式也成立;由①②可知該等式成立.

    例3 (2017年福建省高三畢業(yè)班單科質(zhì)檢,第12題)已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn,則下列結(jié)論正確的是( ).

    分析與解:由已知條件列出{an}、{bn}的前5項,畫出如下表格.

    n12345…an1371741…bn1251229…

    例4 (2015年陜西省理科第21題)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2,…,xn的各項和,其中x>0,n∈N,n≥2.

    (2)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項和為gn(x),比較fn(x)和gn(x)的大小,并加以證明.

    (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)若f(x)的最小值為0,回答下列問題:

    (ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;

    (ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)+2,記[x]表示不大于x的最大整數(shù)Sn=[a1]+[a2]+…+[an],求Sn.

    分析與解:(1)略;(2)(ⅰ)a=1;

    圖1

    下面證明:{an}是單調(diào)遞增,且當(dāng)n≥2,n∈N時,2≤an

    (1)先證明當(dāng)n≥2,n∈N時,2≤an

    (ⅰ)當(dāng)n=2時,a2=2∈[2,x0),所以n=2時,不等式成立;

    由上面幾道數(shù)列試題的解題過程,我們可以看出,若能將數(shù)列的項具體化、直觀化,則能幫助我們從不同視角理解題意,明確這道題的解題方向,因為解題思路的產(chǎn)生更多的源于直覺,源于我們對這道題目的直觀判斷,除非它是常規(guī)的題型,預(yù)期這道題的最終結(jié)果.直覺意義往往可以超越邏輯步驟,捷足先登的直達(dá)目標(biāo),但具體到解答步驟,還是要回到數(shù)學(xué)的抽象表達(dá),運(yùn)用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理[1].

    [1]裴光亞.從試題的直觀意義上獲取解題思路[J].?dāng)?shù)學(xué)通訊,2003年第10期.

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