數(shù)論中的五類不等式問題

呂孫忠

浙江省寧波效實(shí)中學(xué) (315012)

數(shù)論中的五類不等式問題

呂孫忠

浙江省寧波效實(shí)中學(xué) (315012)

不等式和數(shù)論結(jié)合的試題，需要有較強(qiáng)的代數(shù)變形技巧，以及一部分整數(shù)方面的知識(shí).文中的符號(hào)如下：

(a,b)和[a,b]分別表示a和b的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)；

[x]和{x}分別表示x的整數(shù)部分和小數(shù)部分；

d(n)和σ(n)分別表示整數(shù)n的約數(shù)個(gè)數(shù)和約數(shù)和.

1 k進(jìn)制中的不等式問題

注：這是一道以k進(jìn)制為背景的不等式題目，其本質(zhì)還是通過逐項(xiàng)比較判斷符號(hào).其中，涉及到的一個(gè)性質(zhì)是AnBn-1=(xnan+An-1)Bn-1.

例2f(n)表示n!含的2的指數(shù)，其中n為正整數(shù)，證明：(1)f(n)

∴n-(x0+x1+…+xk)≥a-(y0+y1+…+yi)+b-(z0+z1+…+zj)，?a+b≤n+(y0+y1+…+yi)+(z0+z1+…+zj)-(x0+x1+…+xk)≤n+(i+1)+(j+1)-1=n+(i+j)+1≤n+2k+1，且2k

注：從表面上看例3，大多數(shù)人會(huì)不知道如何入手，如果將問題表示為二進(jìn)制以后，那么問題就柳暗花明了.

2 高斯函數(shù)中的不等式問題

A1=[x]≤[1·x]，假設(shè)Ai≤[ix]成立(i=1,2,…k).A1=[x],2(A2-A1)=[2x]，…，(k+1)(Ak+1-Ak)=[(k+1)x]，∴(k+1)Ak+1-(A1+A2+…+Ak)=[x]+[2x]+…+[(k+1)x].又∵[x]+[y]≤[x+y]，∴(k+1)Ak+1≤([x]+[kx])+([2x]+[(k-1)x])+…+([kx]+[x])≤(k+1)[(k+1)x]，∴Ak+1≤[(k+1)x]，∴對(duì)任意自然數(shù)n，An≤[nx].

注：此題直接使用第一數(shù)學(xué)歸納法是行不通的，要使用第二數(shù)學(xué)歸納法，借助一個(gè)數(shù)論不等式[x]+[y]≤[x+y]，最后通過倒寫相加解決問題.

3 離散性中的不等式問題

注：利用整數(shù)的離散性，a,b∈Z，a>b，則a≥b+1.

注：整數(shù)的離散性，還表現(xiàn)在一些平方數(shù)或者立方數(shù)的差，它們的間隔會(huì)有一定的特點(diǎn)，只能取到某些特定的數(shù).

4 σ(k)函數(shù)中的不等式問題

例11d(n)表示n的約數(shù)個(gè)數(shù).求證：

注：此題也需要交換求和符號(hào)，同時(shí)也考察了σ(n)的兩種表示方式.

5 公約數(shù)和公倍數(shù)中的不等式

注：此題中在化簡的時(shí)候除了用到均值不等式以外，還用到了兩條數(shù)論的性質(zhì)，它們分別是(a,b)≤|a-b|和(ak,bk)=(a,b)k.看到此題要證明的結(jié)論，其實(shí)可以從結(jié)論出發(fā)，猜測證明的過程(a3,b3)≥(a,b)3≥|a-b|3>3ab，然后再進(jìn)行代數(shù)變形，得到所需要的a3和b3.

[1]邊紅平.初等數(shù)論[M].浙江大學(xué)出版社，2007.

[2]何憶捷.數(shù)論性質(zhì)在不等式問題中的應(yīng)用[J].中等數(shù)學(xué),2014,01:5-9.

[3]羊明亮.2014中國西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽[J].中等數(shù)學(xué),2014,11:31-34.

[4]劉康寧.數(shù)論中的不等式問題[J].中等數(shù)學(xué),2010,01:9-13.