不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)(y+2)(y+3)的整數(shù)解

諶 應(yīng) 瓊

(西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶 400715)

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不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)(y+2)(y+3)的整數(shù)解

諶 應(yīng) 瓊

(西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶 400715)

運用Pell方程、遞歸數(shù)列、同余式及平方(非)剩余等一些初等方法以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，證明一種不定方程無正整數(shù)解，并得到了其全部整數(shù)解。

不定方程；整數(shù)解；遞歸數(shù)列；分類討論；平方剩余

對于形如mx(x+1)(x+2)(x+3)=ny(y+1)(y+2)(y+3),(m,n)=1,m,n∈N+的不定方程，國內(nèi)外學(xué)者一直表現(xiàn)出極大的研究興趣，尤其是對于形如x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)的不定方程[1-8]。1971年，Cohn曾證明，當D=2時不定方程只有正整數(shù)解(x,y)=(5,4)[1]。1991年，羅明證明，當D=7時不定方程只有正整數(shù)解(x,y)=(4,2)[3]。2007年，程瑤等人證明，當D=11時沒有正整數(shù)解[4]。2014年，郭鳳明等人證明，當D=13時沒有正整數(shù)解[6]。

在此，主要討論D=38時不定方程的正整數(shù)解以及整數(shù)解的情況，運用遞歸數(shù)列、平方(非)剩余等一些初等方法及分類討論的數(shù)學(xué)方法，證明式(1)所示不定方程無正整數(shù)解，并求此不定方程的全部整數(shù)解。

x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)×
(y+2)(y+3)

(1)

首先將式(1)簡化成式(2)：

(x2+3x+1)2-38(y2+3y+1)2=-37

(2)

通過整理知，方程x2-38y2=-37的全部整數(shù)解可以由以下2個(非結(jié)合)類給出：

(2x+3)2=4xn+5

(3)

(4)

由此推導(dǎo)出有關(guān)變量的關(guān)系式：

xn+1=74xn-xn-1,x0=1,x1=265

(5)

(6)

un+1=74un-un-1,u0=1,u1=37

(7)

vn+1=74vn-vn-1,v0=0,v1=6

(8)

u2n= 2un2-1,v2n= 2unvn

(9)

(10)

un+2h≡-un(moduh),vn+2h≡-vn(moduh)

(11)

(12)

下面將運用以上遞推式及分類討論的數(shù)學(xué)思想，證明式(3)與式(4)當且僅當n=0時成立。由此得到不定方程(x2+3x+1)2-38y2=-37的全部整數(shù)解，從而得到式(1)的全部整數(shù)解。

1 方程(2x+3)2=4xn+5

在此，討論當n為何值時4xn+5為完全平方數(shù)。

證明 因為2|n，所以由式(7)、式(8)易知，un≡1(mod 2)，un≡1(mod 4)，u2n≡1(mod 8)，un≡1(mod 3)，vn≡0(mod 3)，5un±152vn≡5(mod 8)，5un±152vn≡5(mod 19)。因此由式(9)可知：

引理2 設(shè)n≡0(mod 4×33×5×7)且n>0，則式(3)不成立。

(1)k≡1(mod 4)。

當t≡0,1,2,6,7,8,9,10,13,14,16,17,20,23,27,29,31,32,33,34,36,37,38,39,40,41,43,44,45,48,50(mod 52)時，令m=2t；

當t≡3,4,5,11,18,19,24,25,26,28,35,47,49,51(mod 52)時，令m=32·2t；

當t≡12,21,22,30(mod 52)時，令m=3·7·2t；

當t≡15,42,46(mod 52)時，令m=5·2t。

故，當t(≥1)(mod 52)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51時，m

(mod 53)=1,2,3,4,7,9,10,11,17,19,21,22,23,24,28,30,31,33,35,36,38,39,40,41,42,44,45,46,47,50,51，對應(yīng){5um+152vm}(mod 211)=42,149,12,106,110,132,207,205,210,130,129,153,10,165,111,168,22,197,146,7,91,32,167,88,15,75,97,140,135,31,2，它們都是模211的平方非剩余。

根據(jù)式(10)、式 (12)及引理1，有：

4xn+5≡4x2m+5≡152v2m+5(modu2m)

故

從而得知4xn+5為非平方數(shù)，故式(3)不成立。

(2)k≡-1(mod 4)。

當t≡1,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,22,24,26,27,28,32,33,34,35,36,39,40,42,43,46,49(mod 52)時，令m=2t；

當t≡0,2,9,21,23,25,29,30,31,37,44,45,50,51(mod 52)時，令m=32·2t；

當t≡4,38,47,48(mod 52)時，令m=3·7·2t；

當t≡16,20,41(mod 52)時，令m=5·2t。

則當t(≥1)(mod 52)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51時，m

(mod 53)=2,3,6,7,8,9,11,12,13,14,15,17,18,20,22,23,25,29,30,31,32,34,36,42,43,44,46,49,50,51,52，對應(yīng){5um-152vm}(mod 211)=2,31,135,140,97,75,15,88,167,32,91,7,146,197,22,168,111,165,10,153,129,130,210,205,207,132,110,106,12,149,42,它們都是模211的平方非剩余。

根據(jù)式(10)、式(12)及引理1，有：4xn+5≡-4x2m+5≡-152v2m+5(modu2m)，故：

從而4xn+5為非平方數(shù)，故式(3)不成立。

引理3 若式(3)成立，則必須n≡0(mod 4×33×5×7)。

證明 通過對序列{4xn+5}取模來進行證明。此過程分為3步進行，先證明n≡0(mod 15)，再證明n≡0(mod 28)，最后證明n≡0(mod 54)。

第一步：取mod 31，排除n≡1,2(mod 5)，此時4xn+5≡11,11(mod 31)，剩n≡0,3,4(mod 5)。

以上mod 31是針對序列{4xn+5}取值，mod 5是因為其剩余序列周期為5，句中“此時”后的算式是排除的理由，因為11為mod 31的平方非剩余。為節(jié)省篇幅，后面的證明過程都按這種方式敘述。

取mod 179，排除n≡4(mod 5)，此時4xn+5≡136(mod 179)，剩n≡0,3(mod 5)。

取mod 1 471，排除n≡3,5,10(mod 15)，此時4xn+5≡114,1 327,150(mod 1 471)，剩n≡0,8,13(mod 15)。

取mod 4 019，排除n≡8,13(mod 15)，此時4xn+5≡551,3 750(mod 4 019)，剩n≡0(mod 15)。

第二步：取mod 410 551，排除n≡3,4(mod 7)，此時4xn+5≡55 495,332 870(mod 410 551)，剩n≡0,1,2,5,6(mod 7)。

取mod 399 601，排除n≡1,5,13(mod 14)，此時4xn+5≡1 065,56 545,398 842(mod 39 9601)，剩n≡0,2,6,7,8,9,12(mod 14)。

取mod 29，排除n≡8,16,20,23,26(mod 28)，此時4xn+5≡19,14,3,14,15(mod 29)，剩n≡0,2,6,7,9,12,14,21,22(mod 28)。

取mod 2 969，排除n≡6,22(mod 28)，此時4xn+5≡1 204,832(mod 2 969)，剩n≡0,2,7,9,12,14,21(mod 28)。

取mod 37，排除n≡1,3(mod 4)，此時4xn+5≡29,18(mod 37)，剩n≡0,2,12,14(mod 28)。

當n≡2,14(mod 28)時，n≡2,6(mod 8)。取mod 17，排除n≡2,6(mod 8)，此時4xn+5≡3,7(mod 17)，剩n≡0,12(mod 28)。

當n≡12(mod 28)時，n≡12,26,40(mod 42)。取mod 41，排除n≡12(mod 42)，此時4xn+5≡3(mod 41)。取mod 43，排除n≡26(mod 42)，此時4xn+5≡32(mod 43)。當n≡40(mod 42)時，n≡4(mod 6)。取mod 73，排除n≡4(mod 6)，此時4xn+5≡40(mod 73)。故排除n≡12(mod 28)，剩n≡0(mod 28)。

第三步：取mod 127，排除n≡5,8(mod 9)，此時4xn+5≡57,3(mod 127)，剩n≡0,1,2,3,4,6,7(mod 9)。

取mod 1 063，排除n≡2,6,7(mod 9)，此時4xn+5≡842,777,867(mod 1 063)，剩n≡0,1,3,4(mod 9)。

取mod 3 673，排除n≡4,19,21,22(mod 27)，此時4xn+5≡3 330,387,3 257,1 164(mod 3 673)，剩n≡0,1,3,9,10,12,13,18(mod 27)。

取mod 5 669，排除n≡1,9,12,18(mod 27)，此時4xn+5≡1 065,5 505,491,170(mod 5 669)，剩n≡0,3,10,13(mod 27)。

取mod 107，排除n≡13,37,40(mod 54)，此時4xn+5≡63,6,54(mod 107)，剩n≡0,3,10,27,30(mod 54)。

取mod 73，排除n≡4(mod 6)，此時4xn+5≡40(mod 73)，剩n≡0,3,27,30(mod 54)。

當n≡3,27(mod 54)時，n≡1,3(mod 4)，取mod 37，排除n≡1,3(mod 4)，此時4xn+5≡29,18(mod 37)，剩n≡0,30(mod 54)。

當n≡30(mod 54)時，n≡12,30,48,66,84(mod 90)。由于n≡0(mod 15)，故可排除n≡12,48,66,84(mod 90)。取mod 89，排除n≡30(mod 90)，此時4xn+5≡19(mod 89)，剩n≡0(mod 54)。

綜上所述，若式(3)成立，則必須使n≡0(mod 15)，且n≡0(mod 28)，n≡0(mod 54)，故有n≡0(mod 3 780)。

引理4 設(shè)n≡0(mod 4×33×5×7)且n>0，則(4)式不成立。

從而證明式(4)不成立。

引理5 若式(4)成立，則必須n≡0(mod 4×33×5×7)。

證明 仿引理3的證明過程，分為3步進行，先證明n≡0(mod 5)，再證明n≡0(mod 28)，最后證明n≡0(mod 27)。

因為n≡0,2(mod 4)，排除n≡7,15,21(mod 28)，剩n≡0,14(mod 28)。

綜上所述，若式(4)成立，則必須n≡0(mod 5)，且n≡0(mod 28)，n≡0(mod 27)，故有n≡0(mod 3 780)。

3 討 論

定理1 不定方程

(x2+3x+1)2-38y2=-37

(13)

的全部整數(shù)解是(x,±y)=(0,1),(-3,1),(-1,1),(-2,1)。

證明 由引理2和引理3知，如果式(3)成立，則必須n=0，則有x=0,-3。此時給出方程(13)的前2組解：(x,±y)=(0,1),(-3,1)。由引理4和引理5知，如果式(4)成立，則必須n=0，則有x=-1,-2。此時給出不定方程式(13)的后2組解：(x,±y)=(-1,1),(-2,1)。

定理2 不定方程

x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)×

(y+2)(y+3)

(14)

無正整數(shù)解，且其全部整數(shù)解是(x,y)=(0,0),(0,-3),(0,-1),(0,-2),(-3,0),(-3,-3),(-3,-1),(-3,-2),(-1,0),(-1,-3),(-1,-1),(-1,-2),(-2,0),(-2,-3),(-2,-1),(-2,-2)。

證明 由式(2)及定理1知，應(yīng)有y2+3y+1=±1，計算可得y=0,-3,-1,-2，而這些解并非正整數(shù)，故式(14)無正整數(shù)解。在整數(shù)范圍內(nèi)，由定理1可計算出不定方程式(14)的全部整數(shù)解。

4 結(jié) 語

不定方程的整數(shù)解問題一直是數(shù)論研究中的一項重要課題。本次證明中，結(jié)合了初等數(shù)論中的遞歸數(shù)列、平方(非)剩余、同余式等基礎(chǔ)知識，并利用了轉(zhuǎn)化為Pell方程的思想以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，討論不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)(y+2)(y+3)整數(shù)解的情況。通過研究，得到了其無正整數(shù)解的結(jié)論，并給出了此不定方程的全部整數(shù)解。

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[3] 羅明.關(guān)于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，1991,8(1)：1-8.

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Research on the Integer Solution of the Diophantine Equation：x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)(y+2)(y+3)

CHENYingqiong

(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

With the elementary method of Pell equations, recurrence sequence, congruent form and quadratic residue and mathematical thinking of classification discussion, we have shown that a Diophantine equation has no positive integer solution, and we obtain the total integer solutions of the equation.

Diophantine equation; integer solution; recurrence sequence; classification discussion; quadratic remainder

2016-09-29

國家自然科學(xué)基金項目“代數(shù)整數(shù)的性質(zhì)研究和無理測度的計算”(11471265)

諶應(yīng)瓊(1993 — )，女，西南大學(xué)在讀碩士研究生，研究方向為計算數(shù)論。

O156

A

1673-1980(2017)02-0120-05