基于歸一化擬合的電池剩余放電預(yù)測(cè)問題研究

陳 輝 吳 杰

(安徽商貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 安徽 蕪湖 241002)

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基于歸一化擬合的電池剩余放電預(yù)測(cè)問題研究

陳 輝 吳 杰

(安徽商貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 安徽 蕪湖 241002)

通過歸一化曲線擬合，得到了不隨放電電流變化的內(nèi)在規(guī)律，并構(gòu)造出放電曲線初等函數(shù)表示。任意電流放電數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)的理論數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)平均相對(duì)誤差可控制在0.66%。根據(jù)不同衰減狀態(tài)下放電曲線的分析，得出其線性相關(guān)的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)出不同衰減狀態(tài)下的放電曲線。此項(xiàng)研究已應(yīng)用于2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題。

歸一化；放電時(shí)間；MRE；衰減狀態(tài)；數(shù)據(jù)擬合；線性回歸

蓄電池電化學(xué)反應(yīng)復(fù)雜，由于各種材料、結(jié)構(gòu)、制造工藝及使用環(huán)境不同，不同廠家生產(chǎn)的蓄電池也存在較大的特性差異，甚至同一廠家生產(chǎn)的蓄電池，其單體特性也會(huì)有一定的離散性。迄今為止，尚沒有一種簡(jiǎn)單有效的電池性能檢測(cè)方法，電池性能的檢測(cè)仍是一個(gè)復(fù)雜的電化學(xué)測(cè)量難題[1]。電池荷電狀態(tài)SOC(state of charge) 估計(jì)是蓄電池性能檢測(cè)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，主要檢測(cè)方法有放電實(shí)驗(yàn)法、開路電壓法、負(fù)載電壓法、內(nèi)阻法、線性模型法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和卡爾曼濾波法等[2]。謝德明等人基于改進(jìn)電化學(xué)熱力學(xué)、動(dòng)力學(xué)和等效電路模型的方法，研究了電池充放電曲線的基本變化特征[3-5]。裴鋒等人通過對(duì)電流變流放電實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與特性的研究，構(gòu)建了電池組放電效率模型[6-8]。他們根據(jù)恒定電流強(qiáng)度的放電過程，描述了電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降的變化規(guī)律。

2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題，給出了某鉛酸電池在出廠時(shí)不同電流強(qiáng)度放電測(cè)試的完整放電曲線采樣數(shù)據(jù)，以及在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)[9]。本次研究通過對(duì)上述不同電流強(qiáng)度放電測(cè)試的分析，使用歸一化曲線擬合，對(duì)可以從整體上表示各放電曲線的初等函數(shù)作出定義；同時(shí)，根據(jù)不同衰減狀態(tài)下的放電曲線分析，得出其線性相關(guān)的變化規(guī)律，從而通過線性回歸預(yù)測(cè)出不同衰減狀態(tài)下的放電曲線。通過這些研究，較好地解答了2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題。

1 數(shù)據(jù)處理與初步分析

在蓄電池放電開始的數(shù)十秒內(nèi)，有一個(gè)端電壓陡降但又很快回升并進(jìn)入正常放電的過程，此過程稱為電壓陡降復(fù)升。有剩余荷電的蓄電池在放電瞬間仍然會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象[10-11]。為了得到電池持續(xù)的放電特性，應(yīng)對(duì)不同電流強(qiáng)度放電測(cè)試采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。圖1所示為電池放電曲線。

圖1(a)中，將電池放電初期經(jīng)過電壓陡降后可以恢復(fù)的最高點(diǎn)記為(t0,V0)，記電源電壓降到保護(hù)電壓Um的時(shí)刻為tmax，即最大放電時(shí)間。對(duì)應(yīng)每個(gè)放電電流，都可以計(jì)算對(duì)應(yīng)放電過程的tmax、t0和V0。得到各放電曲線的典型參數(shù)見表1。去除放電初期出現(xiàn)的電壓陡降數(shù)據(jù)之后，即可得到圖1(b)所示各種放電曲線。

記各放電數(shù)據(jù)所在的曲線為V=f(t)，則V0=f(t0)，Um=f(tmax)。為考察不同電流放電曲線之間的變化規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系，首先使用表1中的數(shù)據(jù)將放電曲線V=f(t)歸一化，即將每條曲線的自變量和函數(shù)值都轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0, 1]。

圖1 電池放電曲線

I/Atmaxt0V020376411810.57253024544810.60294017244210.55865013083810.51006010442610.4707708622610.4114807302010.3721906201810.33791005381810.3057

自變量t和函數(shù)V變換為：

(1)

圖2 歸一化后的放電曲線擬合效果

經(jīng)過歸一化處理后，各電流的放電曲線幾乎都集中在同一條曲線上，那么這條曲線反映了一種不隨著放電電流變化、與電池自身性能緊密相關(guān)的內(nèi)在規(guī)律。將這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系稱為歸一函數(shù)，可以將其函數(shù)表達(dá)式通過擬合解析出來。觀察到曲線經(jīng)過原點(diǎn)和(1,1)點(diǎn)并且下凹，使用如下經(jīng)驗(yàn)函數(shù)進(jìn)行擬合：

y=a(1-x)b+1

(2)

通過擬合:

a=-1.014 333 919 028 390

b=0.505 460 276 993 855

擬合優(yōu)度指標(biāo)效果良好:SSE， 0.662 7；R-square，0.998 2；Adjusted R-square，0.998 2；RMSE， 0.0102。

2 放電曲線的初等函數(shù)表示

將式(1)帶入式(2)，使用歸一函數(shù)重構(gòu)放電曲線，得到“歸一函數(shù)模型”：

船舶污染物接收處置能力的硬件能力，主要表現(xiàn)為獲得充足的人力、物力、信息等資源支持的可能性。船舶污染物接收處置的任何活動(dòng)都離不開一定的資源供給和支撐。基于全面資源論，按照所需配置資源的自然屬性，船舶污染物接收處置能力的硬件能力可以分為對(duì)人力資源、物力資源、信息資源三個(gè)方面的配置能力。其中的物力資源配置能力主要指設(shè)備設(shè)施的配置能力，按照船舶污染物接收處置流程可以將其分為船舶存儲(chǔ)設(shè)備設(shè)施、接收設(shè)備設(shè)施、轉(zhuǎn)運(yùn)設(shè)備設(shè)施和處置設(shè)備設(shè)施的配置能力。還可按照船舶污染物種類進(jìn)行劃分，如船舶垃圾接收設(shè)施、生活污水轉(zhuǎn)運(yùn)設(shè)施、含油污水處置設(shè)施等。

(3)

其中，V0、t0和tmax取表1中的對(duì)應(yīng)值。重構(gòu)的放電曲線與初始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的擬合效果良好，如圖3 所示。

(4)

計(jì)算平均相對(duì)誤差，即MRE(見表2)，MRE的平均值為0.66%。利用放電曲線預(yù)測(cè)電池剩余容量放電時(shí)間時(shí)，其精度取決于放電曲線在低電壓段的質(zhì)量，計(jì)算的MRE誤差情況見圖4。

圖3 重構(gòu)出的放電曲線擬合效果

表2 放電曲線的MRE %

與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果相比，上述計(jì)算具有一定優(yōu)勢(shì)[3-8]。首先，保持了比較高的精度，涵蓋全部放電電流的平均相對(duì)誤差為0.006 6，最大不超過0.011 6，最小為0.002 7。其次，式(3)中的各個(gè)參數(shù)都具有明確的實(shí)際含義，并且對(duì)所有的放電電流構(gòu)建了統(tǒng)一、整體的初等的函數(shù)表示，相對(duì)于使用遺傳算法、模擬退火和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等內(nèi)部擬合機(jī)制不明的復(fù)雜算法[12-14]，為電池性能監(jiān)測(cè)系統(tǒng)裝置的設(shè)計(jì)帶來了極大的便利。

圖4 計(jì)算的MRE誤差分布

3 任意電流放電數(shù)學(xué)模型

如果可以找到V0、t0和tmax隨電流I變化的規(guī)律，則模型(3)可以轉(zhuǎn)化為只與電流I和時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)，而不依賴于表1中的數(shù)值。觀察9條放電曲線的V0、t0和tmax隨電流I變化的趨勢(shì)。

擬合隨電流變化的V0：

V0(I)=a1·I+b1

(5)

擬合隨電流變化的t0：

t0(I)=a2·e-b2·I+c2

(6)

擬合隨電流變化的tmax：

tmax(I)=a3·e-b3·I+c3

(7)

式(5)—(7)中的參數(shù)取值見表3，擬合效果見圖5。

表3 V0、t0和tmax的曲線擬合及優(yōu)度指標(biāo)

圖5 V0、t0和tmax隨I變化的曲線擬合效果

將式(5) — (7)帶入式(3)，得到20～100 A范圍內(nèi)任意恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線數(shù)學(xué)模型：

(8)

其中，

V0=a1·I+b1

t0=a2·e-b2·I+c2

tmax=a3·e-b3·I+c3

擬合效果如圖6所示。根據(jù)式(8)，重新計(jì)算得到表4所示MRE值，平均MRE為3.91%。

I∕AMRE∕%I∕AMRE∕%200.19704.65302.34802.23401.91904.08502.4110012.15605.24

由于多次擬合造成的誤差不斷累積，新的模型雖然更通用、靈活和方便，但精度有所下降。由表3可以看出，V0和tmax的擬合已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)高的精度水平，t0與蓄電池放電時(shí)電壓陡降復(fù)升密切相關(guān)，有待進(jìn)一步研究[10-11]。

4 蓄電池衰減狀態(tài)的預(yù)測(cè)

根據(jù)同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)，可以預(yù)測(cè)當(dāng)前衰減狀態(tài)的剩余放電時(shí)間。根據(jù)上述分析，在去除放電開始初期的異常數(shù)據(jù)(每條曲線的前19項(xiàng)數(shù)據(jù))并進(jìn)行歸一化。如圖7所示，4條曲線幾乎重合。

圖7 不同衰減狀態(tài)下的放電曲線及歸一化效果

由此可見，不同狀態(tài)下的電池歸一化放電形態(tài)幾乎一致，即他們之間存在線性關(guān)系，可以建立多元線性回歸。將衰退狀態(tài)3下的放電時(shí)間記作因變量Y，新電池放電時(shí)間、衰退狀態(tài)1放電時(shí)間和衰退狀態(tài)2 放電時(shí)間看作自變量，依次記作X1，X2，X3，確定多元回歸模型：

Y=β0+β1X1+β2X2+β3X4

確定系數(shù)R2為0.999 87，統(tǒng)計(jì)量F為325 987.87，檢驗(yàn)概率P為0，剩余標(biāo)準(zhǔn)差為1.822 5，回歸模型成立，并且擬合效果較好(見圖8)?？梢灶A(yù)測(cè)，衰減狀態(tài)3 的剩余放電時(shí)間為最大放電時(shí)間801.93，與當(dāng)前放電時(shí)間596.20的差為205.73。

圖8 衰減狀態(tài)3下的放電曲線線性回歸

5 結(jié) 語(yǔ)

通過對(duì)恒電流放電曲線的歸一化曲線擬合，找到了不同放電電流下內(nèi)在的統(tǒng)一的放電規(guī)律，在保證較高精度(MRE為0.66%)的同時(shí)，構(gòu)建了全部電流放電的整體初等函數(shù)模型，為電池性能監(jiān)測(cè)系統(tǒng)裝置設(shè)計(jì)提供了有效的理論依據(jù)。

針對(duì)蓄電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度放電，構(gòu)建了多元線性回歸模型。通過現(xiàn)有蓄電池衰減狀態(tài)下的現(xiàn)有放電記錄數(shù)據(jù)，擬合并預(yù)測(cè)了當(dāng)前衰減狀態(tài)下的放電情況，取得了較好的結(jié)果。

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Study on Residual Discharge Prediction of Battery Based on Normalized Curve Fitting

CHENHuiWUJie

(Anhui Business College of Vocational Technology, Wuhu Anhui 241002, China)

Based on the normalized curve fitting, the intrinsic law of the battery discharge function under different steady current is found, and the exact elementary function representation of each discharge curve is constructed. The MRE of the theoretical and experimental data can be controlled at 0.66%. The analysis of discharge curves at different attenuation states shows the linear variation of the discharge curves, and the linear regression is used to predict the discharge curves at different attenuation states. The results of the research succeed in solving the problem C of Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling in 2016.

normalization; battery discharge time; MRE; attenuation; data fitting; linear regression

2016-11-01

安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)大規(guī)模在線開放課程示范項(xiàng)目”( 2015MOOC154)；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目“經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)大規(guī)模在線開放課程示范項(xiàng)目”( 2014MOOC084)

陳輝(1983 — )，男，講師，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)。

O441

A

1673-1980(2017)02-0115-05