分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性問題分析

丁軍猛

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中主要分為兩部分教學(xué)內(nèi)容，分別是函數(shù)和幾何，由此我們可以這樣說，函數(shù)內(nèi)容占據(jù)著數(shù)學(xué)領(lǐng)域的半壁江山，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中函數(shù)依然是非常重要的教學(xué)內(nèi)容，特別是在關(guān)于函數(shù)的可積性與原函數(shù)的存在性關(guān)系上教師也曾反復(fù)多次強(qiáng)調(diào)二者并無聯(lián)系，本文將主要討論和分析分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性的問題。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；函數(shù)可積性；原函數(shù)；存在性問題

自從微積分概念出現(xiàn)以來，在某種程度上把不定積分也就是原函數(shù)與定積分即函數(shù)可積的概念相聯(lián)系起來，因此很多數(shù)學(xué)初學(xué)者便想當(dāng)然的認(rèn)為原函數(shù)的存在性和函數(shù)的可積性之間有著緊密的關(guān)系，也就是原函數(shù)存在則函數(shù)具有可積性，反之函數(shù)具有可積性那么原函數(shù)必定存在，但是經(jīng)過分段函數(shù)的研究證明，函數(shù)的可積性與原函數(shù)的存在性之間并無半點(diǎn)聯(lián)系，更沒有初學(xué)者所想的相互關(guān)系。

一、分段函數(shù)的概述

分段函數(shù)從字面上看就是分為好幾段的函數(shù)，雖然它被分為好幾段但是仍然屬于一個(gè)整體，也就是說分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，并不是好多個(gè)函數(shù)，在任何一個(gè)函數(shù)當(dāng)中都有自變量x和與之相對(duì)應(yīng)的值域y，而分段函數(shù)則是根據(jù)自變量具體數(shù)值的不同它的取值范圍也不再固定，是會(huì)隨著自變量的改變而改變，也就是說在分段函數(shù)中的每一段函數(shù)的定義域合并在一起才是整個(gè)分段函數(shù)的定義域，同樣每一段函數(shù)的值域合并在一起才是整個(gè)分段函數(shù)的值域。因?yàn)榉侄魏瘮?shù)的特殊性，可以對(duì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最小正周期、函數(shù)的最大值、最小值包括自變量的范圍等都可以展開具體的討論，解決分段函數(shù)的方法有很多，常見的有待定系數(shù)法、公式法和數(shù)形結(jié)合法等等。

二、函數(shù)的可積性

（一）可積函數(shù)的定義

在積分函數(shù)當(dāng)中，可積函數(shù)分為兩種，一種是勒貝格積分，另外一種叫做黎曼可積，也就是我們所說的黎曼積分。簡(jiǎn)單來說就是指若函數(shù)f（x）在[a，b]上存在積分，那么我們便認(rèn)為函數(shù)f（x）在[a，b]上可積，也就是說函數(shù)f（x）在[a，b]上具有可積性。

（二）可積函數(shù)的充分條件

在函數(shù)的可積性當(dāng)中有三條非常重要的定理，第一條是如果f（x）在[a，b]上具有連續(xù)性，那么我們可以認(rèn)為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上具有可積性；第二條是如果函數(shù)f（x）在[a，b]只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且零測(cè)度集是該類斷點(diǎn)，并且f（x）在[a，b]有界，那么我們則認(rèn)為該函數(shù)此時(shí)具有可積性；第三條是若函數(shù)f（x）在[a，b]上不僅有界同時(shí)還具有單調(diào)性，那么此時(shí)該函數(shù)同樣具有可積性。

三、原函數(shù)存在性

（一）原函數(shù)的存在定理

假設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上具有連續(xù)性，那么在該函數(shù)中一定存在原函數(shù)，這就是原函數(shù)的存在定理。但是連續(xù)性并不是原函數(shù)存在的必要條件，也就是說該條件不能反推回去，即函數(shù)f（x）中存在原函數(shù)，但是我們并不能夠認(rèn)為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上一定具有連續(xù)性。在有定于的區(qū)間上初等函數(shù)基本上都具有存在性，因此我們可以這樣認(rèn)為，大部分初等函數(shù)在它的定義區(qū)間中存在原函數(shù)。

（二）間斷點(diǎn)同原函數(shù)的存在性

根據(jù)前文提到假設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上具有連續(xù)性，那么在該函數(shù)上必然有原函數(shù)存在，我們可以推導(dǎo)得出，假設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上沒有連續(xù)性，但是有第二類間斷點(diǎn)，那么我們?nèi)匀豢梢哉J(rèn)為原函數(shù)可能具有存在性，也就是原函數(shù)可能存在；假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上沒有連續(xù)性，也沒有第二類間斷點(diǎn)，但是有第一類間斷點(diǎn)，那么原函數(shù)則必然不會(huì)存在。

四、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性

（一）函數(shù)可積與原函數(shù)的存在性

根據(jù)可積函數(shù)的第一條定理，即如果f（x）在[a，b]上具有連續(xù)性，那么我們可以認(rèn)為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上具有可積性，也就是說具有連續(xù)性的函數(shù)必然會(huì)有原函數(shù)存在，也就是說變上限積分此時(shí)可以用來表示原函數(shù)，也就是如果函數(shù)f（x）在[a，b]上具有連續(xù)性，那么F（x）則一定是該函數(shù)在定義區(qū)間上的原函數(shù)。若是函數(shù)f（x）在[a，b]上有界并且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，那么函數(shù)具有可積性，但是此時(shí)函數(shù)中有的間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)，那么原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上必然不會(huì)存在，當(dāng)然，如果說函數(shù)f（x）在[a，b]上具有的間斷點(diǎn)雖然是第二類，但是卻是無限個(gè)間斷點(diǎn)，那么同樣原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上也必然不會(huì)存在。還有第三種情況，即函數(shù)f（x）在[a，b]上具有連續(xù)性且同時(shí)具有單調(diào)性，那么我們可以這么說在函數(shù)f（x）中一定存在著原函數(shù)，但是假設(shè)函數(shù)函數(shù)f（x）在[a，b]上有單調(diào)性但是不具有連續(xù)性，如果此時(shí)函數(shù)中的間斷點(diǎn)為第一類，那么同樣原函數(shù)也必然不會(huì)存在。

例如說假設(shè)[f（x）=1，x≥00，x<0]討論函數(shù)[]的可積性與原函數(shù)存在性。

因?yàn)閇limλ-0（x）=1≠limλ-0（x）=0]，所以說x=0x是[]的第一類間斷點(diǎn)，而當(dāng)[x≠0]時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)[]是連續(xù)的，所以[]在任何包含遠(yuǎn)點(diǎn)的區(qū)間上都不存在原函數(shù)，而[]在任何包含原點(diǎn)的區(qū)間上是可積的。

（二）原函數(shù)存在于函數(shù)的可積性

根據(jù)函數(shù)的可積性定理和原函數(shù)的存在定理我們可以看出，假如函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上具有連續(xù)性，那么該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不僅具有可積性而且原函數(shù)也一定會(huì)存在，但是假如函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上沒有連續(xù)性，那么即是在該函數(shù)中具有第二類間斷點(diǎn)，也就是說原函數(shù)依然存在，但是并不一定代表著函數(shù)的可積性也同時(shí)存在，如果說函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上沒有連續(xù)性，且有第一類間斷點(diǎn)，那么即使該函數(shù)具有可積性，原函數(shù)也一定不會(huì)存在。

例如說假如[D（x）=1，x是無理數(shù)0，x是有理數(shù)]（Dirichlet函數(shù)），那么他可以在任一有限區(qū)間上，D（x）既沒有原函數(shù)，也不可積。

但是其實(shí)任意實(shí)數(shù)都是Dirichlet函數(shù)的非無窮間斷點(diǎn)，并且其無介值性，因此并不存在原函數(shù)；同時(shí)，可作二不相等的積分之和，因此，Dirichlet函數(shù)在任一有限區(qū)間上不可積。

在分段函數(shù)的補(bǔ)充說明之下，證明了函數(shù)的可積性與原函數(shù)的存在性之間并沒有任何直接的相互聯(lián)系，也就是說如果該函數(shù)具有可積性，那么原函數(shù)并不一定會(huì)有存在性；如果原函數(shù)具有存在性，那么函數(shù)并不一定也同時(shí)具有可積性，當(dāng)然，還存在一種函數(shù)它既沒有可積性也沒有存在性，因此數(shù)學(xué)初學(xué)者在學(xué)習(xí)的過程中不必在糾結(jié)于函數(shù)可積性與原函數(shù)存在性之間的關(guān)系問題。

參考文獻(xiàn)：

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