淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中基本數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)

陳志賢

【摘 要】數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和應(yīng)用的過程中形成和發(fā)展的，因此，我們要有機地利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行滲透，不斷加以歸納，提煉和強化，這就要求教師認(rèn)真鉆研教材，從整體出發(fā)，有計劃，有目地結(jié)合數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 基本數(shù)學(xué)思想 基本特征 教學(xué)實踐體會

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0108-01

一、數(shù)學(xué)思想與基本數(shù)學(xué)思想

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想是與其對應(yīng)的教學(xué)方法的精神實質(zhì)與理論基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)方法則是實施有關(guān)的數(shù)學(xué)思想的技術(shù)與操作程式，中學(xué)所用到的各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想屬于科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就是數(shù)學(xué)思想，有的邏輯思想由于其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用而被數(shù)學(xué)化了，也可稱之為數(shù)學(xué)思想，如分類討論思想。

基本數(shù)學(xué)思想則體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和廣泛的數(shù)學(xué)思想，它包含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精化和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并是歷史地發(fā)展著的。

與初中數(shù)學(xué)教學(xué)有緊切聯(lián)系的基本數(shù)學(xué)思想，歸納起來主要有四種，即：等價轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想，在初中階段通過四種基本的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，在高中和以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)能力才會有大的飛躍，基本數(shù)學(xué)思想是基礎(chǔ)知識的靈魂。

二、四種基本數(shù)學(xué)思想及基本特征

1、等價轉(zhuǎn)化思想

所謂等價轉(zhuǎn)化思想就是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有的知識范圍內(nèi)解決問題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想。

等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為原問題的結(jié)果。在數(shù)學(xué)操作中，實施等價轉(zhuǎn)化要遵偱熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化原則，即將遇到的問題轉(zhuǎn)化成比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題變成較簡單的問題；或者將比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較真觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

等價轉(zhuǎn)化思想即靈活又多樣，在應(yīng)用該思想解題時，沒有統(tǒng)一的模式進(jìn)行，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，還可以在宏觀上進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，也可以在符號內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換，即恒等變形。

【范例】：

例1：已知：如圖，平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AB∶BC=6∶5，平行四邊形ABCD的周長為110，面積為600。求：cos∠EDF的值。

2、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是借助數(shù)的精確性闡明圖形的某種屬性，利用圖形的直觀性闡明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，即：“以數(shù)輔形”和“以形助數(shù)”。以數(shù)輔形，即以數(shù)為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)；以形助數(shù)，即以形為手段，數(shù)為目的，如函數(shù)圖形來直觀地說明數(shù)學(xué)的性質(zhì)。

華羅庚先生說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”指明了數(shù)形結(jié)合的特征. 在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中沒有任何東西比幾何圖形更能直觀的讓我們很好的去理解，特別是初中數(shù)學(xué)課本各章開頭都會有一幅插圖，例題習(xí)題也輔以圖形，在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，我們部分地利用這此圖形，結(jié)合實例，更好的引導(dǎo)概念，進(jìn)行知識講解，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會特別有興趣。

【范例】：

例2：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象，

化簡

3、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象其數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，同時用方程的有關(guān)知識解決問題的一種重要的基本數(shù)學(xué)思想。

函數(shù)與方程思想也是把方程問題用函數(shù)方法解決，或者把函數(shù)問題用方程來解決，或者是兩者的結(jié)合。函數(shù)思想是把給定問題用方程式轉(zhuǎn)化為輔助函數(shù)的性質(zhì)研究，得出所需的結(jié)論，方程思想是把對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識，歸納為對方程的認(rèn)識。函數(shù)與方程思想常同數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化思想互相融合后才能充分發(fā)揮基具體的解題功效。

【范例】：

例3：已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a，△PQA是其內(nèi)接等邊三角形。

求：PB的長。

4、分類討論思想

分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)綸，最后綜合各類結(jié)果，得到整個問題的解答，實質(zhì)上是：“化整為零、各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。

分類討論一般有三個步驟：（1）根據(jù)題目需要確定分類討論的對象；（2）針對討論對象進(jìn)行合理的分類討論；（3）討論結(jié)果歸納合并，綜合得出結(jié)論。在分類討論中，每次分類要按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，并做到"不重"，"不漏"，保證分類討論科學(xué)性與合理性。

【范例】：

例4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為（ ）

A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

例5.在半徑為1的圓O中，弦AB、AC的長分別是 、 ，則∠BAC的度數(shù)是 。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢佩玲 邵光華 主編 《數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué) 》北京師范大學(xué)出版社

[2]解恩澤、徐本順 主編 《數(shù)學(xué)思想方法 》山東教育出版社