靜態(tài)與動態(tài)Mirrlees模型的最優(yōu)稅收理論*
——拉格朗日泛函的應用

趙曉軍 王龍 王小華 李德軒

（1．北京大學經(jīng)濟學院北京100871）

（2．中央財經(jīng)大學中國經(jīng)濟與管理研究院北京100081）

（3．中國傳媒大學動畫與數(shù)字藝術(shù)學院北京100024）

靜態(tài)與動態(tài)Mirrlees模型的最優(yōu)稅收理論*
——拉格朗日泛函的應用

趙曉軍1王龍1王小華2李德軒3

（1．北京大學經(jīng)濟學院北京100871）

（2．中央財經(jīng)大學中國經(jīng)濟與管理研究院北京100081）

（3．中國傳媒大學動畫與數(shù)字藝術(shù)學院北京100024）

本文利用拉格朗日方法重新解決Mirrlees（1971）和Golosov等（2003）的模型，得到一些更為豐富的結(jié)果。Golosov等（2003）僅僅求解了最優(yōu)的資本收入稅，本文同時求解了動態(tài)情形下的最優(yōu)資本收入稅和勞動收入稅，從而使得比較靜態(tài)和動態(tài)情形下的Mirrlees模型成為可能。本文的結(jié)論是動態(tài)和靜態(tài)的情形下最優(yōu)的勞動收入稅形式一致，并當效用函數(shù)關(guān)于勞動能力存在乘積意義上的可分，勞動收入稅可以為0。在研究了最優(yōu)稅收政策后，本文模擬了相關(guān)結(jié)果，給出一些圖表用以佐證提出的觀點。

Mirrlees模型 信息不對稱 Lagrange泛函

一、引言

最優(yōu)稅收理論，傳統(tǒng)上有兩種方式來描述。第一類被稱為次優(yōu)稅收理論，它是將政府與經(jīng)濟個體認為是互相博弈的雙方，雙方的博弈方式是Starkelberg博弈，最優(yōu)的稅收政策就是Starkelberg博弈的均衡策略。次優(yōu)稅收理論較好地描述了稅收的本質(zhì)問題，但是這種理論往往預先假設(shè)稅收的形式，并且其政策往往具有時間不一致性的問題。于是突破次優(yōu)稅收理論一度成為經(jīng)濟學家的關(guān)注熱點。還有一類最優(yōu)稅收理論利用不完備市場的結(jié)構(gòu)造成最優(yōu)的分配與理想中的分配有一定的摩擦，于是在分散經(jīng)濟中就可以利用扭曲性稅收政策來平滑這一摩擦，使得分散經(jīng)濟的分配和具備摩擦的計劃者經(jīng)濟一致。不完備市場中具備摩擦的經(jīng)濟種類較多，大體上有兩種類型的摩擦。第一類是由市場的法律法規(guī)限制而形成的摩擦，通常體現(xiàn)為借貸約束、市場準入條件、最低行業(yè)標準以及在發(fā)展中國家廣泛存在的金融市場的各類加以約束。①如我國的金融市場是不完全市場化的，它不允許賣空，漲停漲跌等限制。這類約束往往是人為地對市場的限制，在實際操作中比較容易去除。并且隨著時間的推移和市場化進程的加快，此類約束逐漸軟化，對經(jīng)濟的影響越來越微弱。第二類摩擦是由不對稱信息引起的，最早Mirrlees（1971）考察了不對稱信息下的最優(yōu)勞動收入稅，得出稅收與勞動能力之間的Logistic關(guān)系。指出稅收政策的設(shè)計為了更好地激勵全體公民的勞動，同時，由于信息不對稱為經(jīng)濟內(nèi)生的約束，它不可能簡單地通過法規(guī)的設(shè)計來得到約束的軟化，所以，自Mirrlees（1971）之后，大批經(jīng)濟學家集中在信息不對稱領(lǐng)域，當前信息經(jīng)濟學已經(jīng)成為這個時代經(jīng)濟學的主流。

雖然Mirrlees（1971）最早研究的是最優(yōu)稅收問題，但那只是在靜態(tài)的框架下展開，得到的結(jié)果并不是特別豐富。之后的經(jīng)濟學家如Stiglitz，Akerlof和Spence將信息經(jīng)濟學發(fā)揚光大，但他們研究的領(lǐng)域已然脫離了最優(yōu)稅收的框架。Golosov等（2003）首次將Mirrlees（1971）的模型推廣到動態(tài)的框架，得出最優(yōu)的資本收入稅為正的結(jié)論。但是由于優(yōu)化問題求解方法上的限制，Golosov等（2003）并沒有解決相關(guān)的一些重要問題，并且沒有可能與靜態(tài)的Mirrlees模型進行比較。

本文利用Lagrange泛函的方法統(tǒng)一解決了靜態(tài)和動態(tài)情形下，帶有信息不對稱的Mirrlees模型。得到比Golosov等（2003）更豐富的結(jié)果，給出最優(yōu)稅收的顯示表達式，并比較了動態(tài)和靜態(tài)框架下的Mirrlees模型，得到兩者的勞動收入稅形式一致的結(jié)論。最后，本文給出數(shù)值模擬，刻畫稅負承擔人群。接下來的行文安排如下：在第二節(jié)講述靜態(tài)Mirrlees模型；第三節(jié)講述動態(tài)Mirrlees模型；第四節(jié)模擬各種最優(yōu)稅收的結(jié)果；第五節(jié)進行總結(jié)。

二、靜態(tài)情形

1．基本模型設(shè)定

靜態(tài)的Mirrlees模型比較簡單，設(shè)θ為經(jīng)濟個體的勞動能力，它是概率空間(Ω,F,μ)上的隨機變量，它的像集為Θ。因此，經(jīng)濟個體的有效勞動y=lθ，其中l(wèi)為其勞動時間。個體的效用函數(shù)建立在消費c和勞動l上，記為u(c,l)=u(c,y/θ)。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為H(Y)，其中為加總的有效勞動，則計劃者的最優(yōu)化問題為：

受到如下資源約束：

和IC約束：

這樣，就構(gòu)建了靜態(tài)框架下的Mirrlees模型，下面利用Zhao and Gong（2009）介紹的拉格朗日泛函的方法求解這一模型。

2．計劃者經(jīng)濟模型求解

若定義λ為資源約束（2），λ(θ,θ')為IC約束（3）的拉格朗日乘子，則由趙曉軍（2010）命題2.8可得：

和趙曉軍（2010）一樣，若對效用函數(shù)u(c,y/θ)沒有一些特別限制，則無法得到更有意義的結(jié)論。為此，下面假設(shè)了兩種情形：

情形1.

則方程（4）和（5）成為：

在上式中消去λ和λ(θ)得到最終的一階條件：

情形2.

在上式中消去λ得到最終的一階條件：

為了得到最優(yōu)稅收政策，下面考察分散經(jīng)濟情況。

3．分散經(jīng)濟中的實現(xiàn)

在分散經(jīng)濟中，具備能力為θ的個體優(yōu)化問題為：

受約束于

其中τw為勞動收入稅率，χ(θ)為政府的轉(zhuǎn)移支付。上述問題的最優(yōu)性條件為：

政府的預算約束平衡為：

因此在宏觀均衡中將得到：

這和資源約束（2）是一致的。

在情形1中，如果要求分散經(jīng)濟達到計劃者經(jīng)濟配置，則τw=0。而在情形2中，則需要：

這是依賴于狀態(tài)θ的稅收政策。

需要說明的是，在情形1中得到的最優(yōu)勞動收入稅為零，這與Cham ley（1986）和Judd等（1985）的結(jié)論相同。有一大類的效用函數(shù)滿足情形1的假設(shè)，如：

其中θ,ε和σ都是大于0的常數(shù)，則：

因此，此類效用函數(shù)滿足情形1的假設(shè)，于是此時的最優(yōu)資本收入稅率為0。

圖1 靜態(tài)Mirrlees模型最優(yōu)勞動收入稅與能力關(guān)系

上圖的相關(guān)常數(shù)設(shè)定如下，σ=2,γ=0.5，設(shè)H(Y)=Y0.7，并假設(shè)能力θ是區(qū)間[2,22]上的均勻分布。下面進入動態(tài)Mirrlees模型的討論。

三、動態(tài)情形

本部分沿用Golosov等（2003）的動態(tài)Mirrlees模型，重新檢驗他們的結(jié)論，并全面解決Golosov等（2003）框架下的最優(yōu)稅收問題。首先來描述經(jīng)濟的基本元素，它主要包括對經(jīng)濟個體效用、私有信息的描述，對生產(chǎn)的描述。

假設(shè)經(jīng)濟持續(xù)T期，經(jīng)濟個體分布在[0,1]閉區(qū)間上。對于任意經(jīng)濟個體j∈[0,1]，設(shè)他在t期具有勞動能力并假設(shè)對于不同個體j是獨立同分布的，隨機過程定義在概率空間(Ω,F,μ)上，對于遞增的事件流Ft是適應的。和趙曉軍（2010）一致，定義F為所有事件流的并集，即

在t期經(jīng)濟個體的效用函數(shù)建立在消費和勞動上，其有效勞動考慮到θt為私有信息，將t期的效用函數(shù)表達成則勞動能力序列為的經(jīng)濟個體事后折現(xiàn)效用為

從上一部分的討論，可以得到最優(yōu)稅收政策需要分散經(jīng)濟的最優(yōu)性條件，為此，下面先介紹分散經(jīng)濟。

1．分散經(jīng)濟

分散經(jīng)濟分析的一般思路是在固定政府政策下，經(jīng)濟達到的均衡。此時的經(jīng)濟有三方參與者：消費者、廠商和政府。對勞動能力序列為的消費者而言，就是在財富約束下的期望折現(xiàn)效用最大化。也即：

受約束于

其中kt為t期的社會總資本，為社會加總的有效勞動，這個優(yōu)化問題的一階條件為

下面考慮政府的預算約束平衡，保證每期的稅收收入全部用于轉(zhuǎn)移支付，即

同時消費者在均衡時的一階條件變成

以上兩個式子就是分散經(jīng)濟均衡時的最優(yōu)性條件，下面計算在信息不對稱下的計劃者經(jīng)濟下的最優(yōu)性條件，比較兩者的最優(yōu)性條件，得到最優(yōu)稅收。

2.計劃者經(jīng)濟模型求解

考慮此時政府充當社會計劃者的角色，它組織生產(chǎn)，分配資源。但是它只能觀測到經(jīng)濟個體的有效勞動不能知道經(jīng)濟個體的勞動能力，于是在資源分配時，它需要經(jīng)濟個體匯報自己的真實類型。因此，它的分配應該使得每種類型的經(jīng)濟個體的事后效用在真實匯報情形下最大。于是計劃者經(jīng)濟的優(yōu)化問題如下：

受到資源約束

和如下的激勵相容約束

其中W(σ,θ)為能力序列為θ的個體在匯報策略為σ:ΘT→ΘT下的事后折現(xiàn)效用。即：

記所有匯報策略σ組成的集合為∑，上述激勵相容約束（29）還可以進一步改寫成：

記λt為資源約束（28）的拉格朗日乘子，為IC約束（30）的拉格朗日乘子，應用拉格朗日泛函的方法，得到

同上一節(jié)的討論一樣，如果不給出效用函數(shù)的進一步性質(zhì)，我們依然無法分析上述最優(yōu)性條件。為此，分以下兩種情形討論。

情形1.

注意λt為非隨機變量，利用上式可得

等式（35）就是“逆歐拉方程”，和Golosov等（2003）一致。比較（36）和（26），得到此時的最優(yōu)勞動收入稅為零，即：

同時比較（35）和（25）得到：

由此可得：

其中ε滿足

（37）表明此時的最優(yōu)勞動收入稅為零，這和靜態(tài)的情形1一致，（38）表明最優(yōu)的資本收入稅可以有多種選擇，這一結(jié)論與Zhu（1992）的結(jié)論類似，在那篇文文中，考慮是一個帶生產(chǎn)沖擊的經(jīng)濟，其最優(yōu)的資本收入稅也可以有多重選擇。若要求則唯一的最優(yōu)資本收入稅率由（39）給出，由Jesson不等式，可得此時的稅率大于0，這個稅率和Golosov等（2003）一致，但是這里關(guān)于效用函數(shù)的假設(shè)不同于Golosov等（2003）。

情形2.

方程（41）再次重復了Golosov等（2003）的結(jié)論，而（42）是雷同于靜態(tài)Mirrlees模型的結(jié)果，無非此時加上了條件期望算子Et，于是動態(tài)不對稱信息下的最優(yōu)勞動收入稅和靜態(tài)的結(jié)果一致。但是方程（42）在Golosov等（2003）中沒有得到，事實上，利用Rogerson（1985）提出的最小資源對偶方法是無法得到這一最優(yōu)性條件的，只有通過拉格朗日泛函的方法得到。

圖2 動態(tài)Mirrlees模型最優(yōu)勞動收入稅和能力關(guān)系

下面考察此時的資本收入稅與勞動能力的關(guān)系。對能力序列為θ的經(jīng)濟個體在t期的資本收入稅收為：

圖3 動態(tài)Mirrlees模型最優(yōu)資本收入稅率與勞動能力關(guān)系

從以上的求解過程中，僅可以得到最優(yōu)消費路徑ct(θ)、最優(yōu)有效勞動供給路徑y(tǒng)t(θ)和最優(yōu)社會資本路徑kt。無法得到個人的財富路徑kt(θ)，從分散經(jīng)濟的財富積累方程（18）看出，個人的財富積累路徑依賴于政府轉(zhuǎn)移支付政策的實施。而轉(zhuǎn)移支付政策只要在總量上滿足（23）即可。于是政府可以通過差異性轉(zhuǎn)移支付使得每一位經(jīng)濟個體在每一期的財富水平相同，即kt(θ)=kt。從這個意義上說，資本收入稅率之間的差異可以反映資本收入稅稅收收入之間的差異。據(jù)此，在本文的下述行文過程中，如沒有特別強調(diào)，在描述資本收入稅和勞動能力之間的關(guān)系時，都采用資本收入稅率與勞動能力之間的關(guān)系替代。沿用圖2的數(shù)據(jù)，圖3給出資本收入稅率與勞動能力之間的函數(shù)關(guān)系。

四、最優(yōu)稅收的數(shù)值模擬結(jié)果

本節(jié)綜合本文前幾節(jié)的內(nèi)容，進行數(shù)值模擬。采用的效用函數(shù)統(tǒng)一為生產(chǎn)函數(shù)采用勞動能力{θt}設(shè)為獨立同分布的序列，其共同分布為[2,22]上的均勻分布。參數(shù)的設(shè)定在具體的數(shù)值模擬結(jié)果介紹時指出。

1.最優(yōu)資本收入稅

沿用圖3的解釋，個人的資本存量可以通過政府的差異性轉(zhuǎn)移支付得到每一期都相等。于是資本收入稅率之間的差異反映稅收收入之間的差異，在以下關(guān)于資本收入稅的圖表都將使用稅率和能力之間的關(guān)系表達。首先來考察隨時間變化，資本收入稅率的變化趨勢。

圖4反映隨時間增加，資本收入稅率不斷增加。同時注意到在t比較小時，稅率隨能力增加而減少，體現(xiàn)對高能力者的激勵作用。但是當t比較大時，對高能力者反而要征收高額資本收入稅，這體現(xiàn)隨著經(jīng)濟結(jié)束日子的臨近，已經(jīng)沒有必要激勵高能力者，可以對其實施重稅策略。

圖4 資本收入稅與勞動能力關(guān)系隨時間變化趨勢

同時注意到，在t=15時，能力約超過17的人其資本收入稅隨能力增加而增加，體現(xiàn)高能力者在經(jīng)濟結(jié)束臨近時的懲罰性稅收措施。并且在t=20時，這個高能力高稅收的政策又將人群提前到能力約大于13的地方，即經(jīng)濟結(jié)束的前夕，資本收入稅有不斷提前的懲罰效應。下面考察資本收入稅與參數(shù)σ之間的關(guān)系，見圖5。

圖5 資本收入稅與勞動能力關(guān)系隨σ變化趨勢

圖5反映的是隨著風險回避系數(shù)σ的增加，資本收入稅與勞動能力構(gòu)成的函數(shù)更加地凸向原點，但總體的遞減關(guān)系并沒有變化。值得注意的是當σ增大時，相同能力的經(jīng)濟個體稅負增加，這體現(xiàn)資本收入稅與勞動能力構(gòu)成的函數(shù)上移?？梢灶A測，當σ充分大時，這一圖像最終也會形成類似圖4的后兩幅子圖的情況。

2．最優(yōu)勞動收入稅

不同于研究資本收入稅的邏輯，這里的所有的圖像反映了勞動收入稅與勞動能力之間的關(guān)系，而不再是稅率和勞動能力之間的關(guān)系。采用上一小節(jié)的比較方式，同樣考察勞動收入稅與勞動能力之間的關(guān)系隨時間t、風險回避系數(shù)σ的變化趨勢。首先給出隨時間的變化趨勢。

圖6 勞動收入稅與勞動能力關(guān)系隨時間t變化趨勢

圖6反映了勞動收入稅和勞動能力之間的Logistic關(guān)系，并且隨時間增加，這個曲線更加趨于平坦。這表明，隨著經(jīng)濟的結(jié)束來臨，邊際勞動收入稅增加的人群在不斷地擴張，體現(xiàn)對高能力者的激勵效果不斷減少。而邊際勞動收入稅增加的幅度也在減少，處于中間能力層的邊際稅負減輕，而高能力和低能力者的邊際稅負增加。再看資本收入稅和勞動能力之間關(guān)系隨風險回避系數(shù)σ的變化，如圖7。

圖7 勞動收入稅與勞動能力關(guān)系隨σ變化趨勢

圖7表明隨著風險回避系數(shù)σ的增加，勞動收入稅和勞動能力之間的Logistic曲線更加平坦，但是稅負同比增加。相當于Logistic曲線上移且更加平坦。其經(jīng)濟解釋為人們對消費風險態(tài)度增加，就會謹慎消費，為此，通過減少中間能力層人群的邊際稅負，通過財富效應提高其對消費的信心。這種改變體現(xiàn)了Logistic曲線更加平坦，同時需要增加高能力者和低能力者的邊際稅負，因為對高能力者而言，消費風險的增加和財富效應并不在很大程度上影響其消費；而對低能力者而言，他們本身的消費就很低。因此，對于關(guān)注社會福利的政府來說，增加少量的高能力者和低能力者的邊際稅負，減少大量中等能力者的邊際稅負有助于提高社會福利水平。

五、本文小結(jié)

本文利用拉格朗日方法重新檢驗了Mirrlees（1971）和Golosov等（2003）的模型，改進了他們的結(jié)論。并在不對稱信息經(jīng)濟中在動態(tài)的情形求解了最優(yōu)勞動收入稅，給出了相關(guān)的數(shù)值模擬結(jié)果和解釋。使得Mirrlees模型在靜態(tài)和動態(tài)情形下有比較的可能。同時，本文給出的數(shù)值模擬結(jié)果也使得我們對信息不對稱下的最優(yōu)稅收結(jié)果有更好的認識。

Zhao和Gong（2010a）和Zhao和Gong（2010b）兩文中，將充分利用拉格朗日方法求解在不對稱信息經(jīng)濟中的動態(tài)最優(yōu)稅收政策。但是關(guān)注的重點將不再一定為稅收政策了，如在Zhao and Gong（2010a）中就將關(guān)注的重點放在教育的公共投資和私人投資上。在那時同樣有最優(yōu)稅收政策的參與，但同時也有各類對應性轉(zhuǎn)移支付的政策，此時考察的應該是最優(yōu)的財政政策。在Zhao和Gong（2010b）中將關(guān)注的重點放在財政分權(quán)的結(jié)構(gòu)上，得到的最優(yōu)財政政策分為兩類：一類是地方政府的最優(yōu)稅收政策，另一類是中央政府的最優(yōu)稅收和對應性轉(zhuǎn)移支付政策。

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（H）

*本文為國家社科基金重大項目（批準號：15ZDA007）的階段性成果，感謝中央財經(jīng)大學科研創(chuàng)新團隊支持計劃的資助，作者感謝匿名審稿人提出的寶貴意見，文責自負。