陀螺轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角的測(cè)量模型

徐明坤+丁斯昊+尚孟瑤

摘 要：針對(duì)陀螺轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角的測(cè)量，采用降維分析的方法，建立了靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型。首先根據(jù)空間幾何關(guān)系和坐標(biāo)變換原理得出陀螺轉(zhuǎn)子相關(guān)參數(shù)間的關(guān)系式，基于此推導(dǎo)出具有垂直關(guān)系的兩個(gè)低維度偏轉(zhuǎn)角測(cè)量公式，合成偏轉(zhuǎn)角在三維空間中關(guān)于占空比的二元關(guān)系式；并對(duì)線(xiàn)性關(guān)系的條件進(jìn)行了仿真分析，發(fā)現(xiàn)方位角在±30°內(nèi)一元線(xiàn)性關(guān)系良好。此種測(cè)量方法便捷、精確度較高，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：降維分析；靜（動(dòng)）態(tài)模型；線(xiàn)性度；MATLAB仿真；占空比

1 概述

從力學(xué)角度分析，陀螺轉(zhuǎn)子可近似為繞一定支點(diǎn)的做三自由度運(yùn)動(dòng)的剛體，即繞其對(duì)稱(chēng)軸高速旋轉(zhuǎn)的飛輪轉(zhuǎn)子。陀螺轉(zhuǎn)子通常采用同步電機(jī)、磁滯電機(jī)等拖動(dòng)方法來(lái)使其繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)，且轉(zhuǎn)速近似為常值。

當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)子以一定的角速度繞其自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其自轉(zhuǎn)軸在三維空間內(nèi)相對(duì)于原自轉(zhuǎn)軸位置所偏轉(zhuǎn)的角度為偏轉(zhuǎn)角（工程上稱(chēng)為方位角），廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈的離軸發(fā)射和制導(dǎo)、雷達(dá)搜索及隨動(dòng)、飛機(jī)船舶的航向陀螺儀等。因此其測(cè)量精度具有至關(guān)重要的意義。

典型的陀螺轉(zhuǎn)子成球臺(tái)結(jié)構(gòu)，在其表面涂覆有黑、白相間的條紋圖案，一個(gè)黑色條紋和與其相鄰的白色條紋為一組條紋，如圖1所示。工程上常采用光電傳感器測(cè)量陀螺轉(zhuǎn)子的方位角，光電傳感器可以接收到黑、白條紋所反射的光，由于黑白條紋對(duì)信號(hào)光的反射率差異，可以定義光電傳感器接收到白條紋反射光的時(shí)間與接收到該組黑白條紋反射光的時(shí)間之比為占空比k。若陀螺轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)速度恒定，則占空比可以轉(zhuǎn)換為光電傳感器所在的平面與陀螺轉(zhuǎn)子表面相交的交線(xiàn)在白條紋部分的弧長(zhǎng)與在該組黑白條紋部分的弧長(zhǎng)之比。

2 位標(biāo)器的分布及基本模型的搭建

2.1 位標(biāo)器分布模型

考慮到陀螺轉(zhuǎn)子做三自由度的運(yùn)動(dòng)，其自轉(zhuǎn)軸在三維空間的偏轉(zhuǎn)角Φ可降成兩個(gè)維度的分量，那么用一個(gè)位標(biāo)器測(cè)量的占空比k必然不能反映偏轉(zhuǎn)角Φ真實(shí)值作用，因此在每個(gè)獨(dú)立的維度上放置位標(biāo)器。為了防止位標(biāo)器分布造成的微小誤差，每個(gè)維度上兩個(gè)方向各放置一個(gè)位標(biāo)器，位于與陀螺轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸垂直的同心圓上，如圖1所示。

2.2 模型準(zhǔn)備

以陀螺轉(zhuǎn)子的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，自轉(zhuǎn)軸為X軸，建立右手坐標(biāo)系。

假設(shè)在轉(zhuǎn)子表面涂覆的黑、白條紋的數(shù)目均為n，則赤道圓上每個(gè)黑條紋或白條紋所對(duì)應(yīng)的角度α=π/n；陀螺轉(zhuǎn)子上下表面對(duì)應(yīng)的球心角為Φm，如圖2所示（以紅色標(biāo)識(shí)白條紋）?；BI所在大圓可以看作是過(guò)B點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)圓（即弧ABC所在的大圓）以O(shè)B為軸（即Y軸）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角而得到的，弧DEF所在的大圓可以看作是過(guò)B點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)圓繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角而得到的。

當(dāng)轉(zhuǎn)子以一定的角速度繞其自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，自轉(zhuǎn)軸會(huì)隨著外界環(huán)境以球心為定點(diǎn)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。若陀螺轉(zhuǎn)子沒(méi)有發(fā)生偏轉(zhuǎn)，四個(gè)光電傳感器所測(cè)得的占空比是相同的；若自轉(zhuǎn)軸發(fā)生偏轉(zhuǎn)，則四個(gè)傳感器所測(cè)得的占空比也會(huì)發(fā)生變化，根據(jù)光電傳感器測(cè)得的占空比即可計(jì)算出陀螺轉(zhuǎn)子的偏轉(zhuǎn)角度。

3 陀螺轉(zhuǎn)子參數(shù)α、Φm和β之間的關(guān)系

模型準(zhǔn)備里已提到，弧DBI所在的大圓（設(shè)為圓O1）可以看作是過(guò)B點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)圓以O(shè)B為軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角而得到的，弧DEF所在的大圓可以看作是過(guò)B點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)圓繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角而得到的。兩圓交點(diǎn)為D，由幾何關(guān)系：

設(shè)過(guò)D點(diǎn)的緯度圓為圓O2，在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi) ，圓O2的方程為：

圓O1的坐標(biāo)在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi)不易直接求出，可以通過(guò)坐標(biāo)變換的方法求出，設(shè)OXYZ坐標(biāo)系以同樣的方式旋轉(zhuǎn)β角后得到的新坐標(biāo)系為OX1Y1Z1，則在新坐標(biāo)系內(nèi)，圓O1可以表示為：

根據(jù)坐標(biāo)變換原理，從坐標(biāo)OXYZ到OX1Y1Z1的坐標(biāo)變換矩陣可以表示為：

從而：

將式（3）代入式（2）得圓O1在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi)的公式為：

聯(lián)立式（4）與式（1），求得D點(diǎn)坐標(biāo)為：

則有：

4 陀螺轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角測(cè)量模型

4.1 靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型的建立

轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角為Φ，但自轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)的方向不定。將偏轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)自轉(zhuǎn)軸在XOY平面的偏轉(zhuǎn)角為Φ1的運(yùn)動(dòng)與一個(gè)自轉(zhuǎn)軸在XOZ平面的偏轉(zhuǎn)角為Φ2的運(yùn)動(dòng)，Φ1與Φ2所對(duì)應(yīng)的k值由對(duì)應(yīng)的兩個(gè)相鄰的傳感器測(cè)得。

利用幾何關(guān)系得Φ、Φ1與Φ2關(guān)系為：

Φ1與Φ2的求法相同，下面以求Φ1與占空比k1的關(guān)系為例，通過(guò)建立靜態(tài)坐標(biāo)系與動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系求解。

設(shè)轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)軸為X'軸，建立右手坐標(biāo)系O'X'Y'Z'該坐標(biāo)系不隨轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)而變，稱(chēng)為靜態(tài)坐標(biāo)系。然后z軸不動(dòng)，以z軸為軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度Φ1，從而z軸與z′軸仍然重合，x軸與y軸相比于X'軸和Y'軸都偏轉(zhuǎn)Φ1角（∠XOX'=∠YOY'=Φ1），此時(shí)旋轉(zhuǎn)軸為X軸，坐標(biāo)系OXYZ與轉(zhuǎn)子固連，稱(chēng)其為動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系。為圖示方便，把偏轉(zhuǎn)后的陀螺轉(zhuǎn)子擺正，如圖3所示。

陀螺轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)速度恒定，則占空比k1可以轉(zhuǎn)換為傳感器所在的平面（圓O3）與轉(zhuǎn)子表面相交的交線(xiàn)在白條紋部分（弧MP）的弧長(zhǎng)與在該組黑白條紋部分（弧MN）的弧長(zhǎng)之比，而弧MP與弧MN均在圓O3上，故弧長(zhǎng)之比可等價(jià)為弧所對(duì)應(yīng)的圓心角之比。設(shè)弧QP在圓O1上對(duì)應(yīng)的圓心角為γ，則：

γ對(duì)應(yīng)弧QP，由幾何關(guān)系得到，sin？酌=■，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。P點(diǎn)坐標(biāo)可以由弧EPC所對(duì)應(yīng)的圓（設(shè)為圓O4）的方程與圓O3所對(duì)應(yīng)的方程聯(lián)立求得（在同一坐標(biāo)系下）。

在此過(guò)程中，陀螺轉(zhuǎn)子一直以x軸為自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)。聯(lián)立圓O3、圓O4在OXYZ坐標(biāo)系內(nèi)的方程解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

則有：

聯(lián)立式（7），得：

同理可得Φ2的表達(dá)式，聯(lián)立（6）式，得出Φ與占空比k的解析關(guān)系式：

容易知道，偏轉(zhuǎn)角Φ在兩個(gè)維度的分量只需兩個(gè)傳感器測(cè)量即可，對(duì)于其余兩個(gè)傳感器，其測(cè)量結(jié)果是與其在一個(gè)條直線(xiàn)上的另一個(gè)傳感器的測(cè)量值之和是1，因?yàn)檗D(zhuǎn)子關(guān)于赤道對(duì)稱(chēng)，占空比是互補(bǔ)的，另外兩個(gè)傳感器是起檢測(cè)作用。

4.2 對(duì)Φ關(guān)于k是否達(dá)到線(xiàn)性關(guān)系的分析

將式（5）代入式（10），可得：

式中，φm和α為參數(shù)，k1、k2為自變量，Φ為因變量，所得圖形應(yīng)為三維空間中的曲面?，F(xiàn)論證是否可以改變參數(shù)φm和α使Φ關(guān)于k達(dá)到線(xiàn)性關(guān)系，即觀察對(duì)應(yīng)不同的參數(shù)，該曲面是否能變成平面。

先從二維角度分析，即僅考慮Φ1與k1的情況，由式（9）（5）可得：

固定α=■，得出Φ1關(guān)于k1的曲線(xiàn)，如圖4所示。多條曲線(xiàn)中Φ∈[-30°，30°]的部分線(xiàn)性較好，Φm∈（0，30°]時(shí)均有良好的線(xiàn)性。測(cè)量角φm顯然越大越有利于傳感器的測(cè)量，因此盡可能取更大的值30°。固定φm=30°得出Φ關(guān)于k的曲線(xiàn)，可以看出當(dāng)α≤π/16時(shí)曲線(xiàn)基本重合，即此時(shí)α的大小對(duì)線(xiàn)性基本無(wú)影響。但考慮實(shí)際情況，n的數(shù)目應(yīng)該適當(dāng)，且保證傳感器對(duì)稱(chēng)性，取n=16，即α=π/16。

綜上所述，φm=30°，α=π/16可以使Φ關(guān)于k達(dá)到線(xiàn)性關(guān)系?？梢?jiàn)，只有在一個(gè)維度的測(cè)量時(shí)，且Φm∈（0，30°]，偏轉(zhuǎn)角分量與該維度的占空比具有良好的線(xiàn)性關(guān)系。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于光電傳感器的分布測(cè)量，采用降維分析的思想，建立了陀螺轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)下的靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型，給出了陀螺轉(zhuǎn)子相關(guān)參數(shù)之間明確的關(guān)系表達(dá)式及偏轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式。并對(duì)偏轉(zhuǎn)角與兩個(gè)維度的占空比是否成線(xiàn)性關(guān)系及線(xiàn)性關(guān)系成立的條件進(jìn)行了分析，得出當(dāng)Φ∈[-30°，30°]時(shí)，線(xiàn)性關(guān)系良好。相比電磁線(xiàn)圈法，無(wú)論是測(cè)量范圍還是精度，該方法測(cè)量方位角具有較大的優(yōu)勢(shì)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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