石墨烯中的量子輸運(yùn)性能簡析

趙珊

摘 要：石墨烯作為目前發(fā)現(xiàn)的最薄、導(dǎo)電導(dǎo)熱性能最強(qiáng)、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度最大的新型納米材料已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，其中，最有潛力的應(yīng)用則是成為硅的替代品。所以，對(duì)石墨烯中量子輸運(yùn)性能分析與建模已經(jīng)成為當(dāng)今的研究熱點(diǎn)。文章采用從相對(duì)論流體磁動(dòng)流體力學(xué)出發(fā)，結(jié)合Boltzmann方程（BTE）推出石墨烯的流體力學(xué)方程，引入剪切粘度與雷諾數(shù)（Reynolds number）作為石墨烯輸運(yùn)性能分析指標(biāo)，表明了石墨烯作為納米材料的優(yōu)異性能。

關(guān)鍵詞：石墨烯；量子輸運(yùn)；流體力學(xué)方程；剪切粘

石墨烯由于其準(zhǔn)粒子的無質(zhì)量相對(duì)分散特性和高遷移率吸引了各界關(guān)注，并且它還顯示出了一系列優(yōu)異的性質(zhì)，如：超高的導(dǎo)電率[1]；剪切粘度與熵之比超低[2]；不僅有特殊的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，而且結(jié)合了力學(xué)靈活性[3]和光透明度[4]。最近的研究顯示石墨烯提供了一種特有方式，去觀察在適度的高溫下，極端相對(duì)論粒子的等離子體輸運(yùn)特性[5]。如將純石墨烯設(shè)在一個(gè)特定的參數(shù)空間，則其費(fèi)米表面收縮至兩點(diǎn)，且在許多其他方面的表現(xiàn)，也與接近更復(fù)雜量子臨界點(diǎn)的系統(tǒng)非常相似[6]。由于石墨烯的無質(zhì)量狄拉克（Dirac）粒子，其相對(duì)極端夸克-膠子等離子體性質(zhì)也很特別。通過對(duì)這些性質(zhì)的分析和計(jì)算可以推導(dǎo)出其流體力學(xué)方程。

1 性能介紹

剪切粘度η用來測(cè)量流體阻值，從而建立橫向速度梯度，見圖1，粘度越小則其流體力學(xué)越趨于復(fù)雜。類似于導(dǎo)體的電阻率，粘度通過降低速度場中的多相性而引出熵增率。雖然η=0的理想流體不存在，但能找到非常接近于理想流體的完美的流體。

（b）在一個(gè)分源點(diǎn)和漏極點(diǎn)保持在±V/2的四點(diǎn)幾何形中，不均勻電流的預(yù)期分布。當(dāng)沒有粘性和其他非局域效應(yīng)時(shí)，電流將與外加電壓V成比例，與兩點(diǎn)之間的距離L無關(guān)，而粘性效應(yīng)隨著L減小而減小。

粘度的單位為？捩n，其中，n表示密度。為了量化剪切密度的大小，通常將η/？捩與熱激勵(lì)nth比較，nth可以通過熵密度計(jì)算，s～kBnth。受石墨烯在RHIC實(shí)驗(yàn)[7]中優(yōu)異性能的啟發(fā)，Kovtun等人提出廣泛系統(tǒng)中η與s之比的下限[8]：

由于在無碰撞的光學(xué)區(qū)間？捩ω>>kBT[12]內(nèi)，電子間相互作用對(duì)導(dǎo)電性σ（ω，Τ）的影響非常小，而在相反區(qū)間？捩ω<

石墨烯中，當(dāng)能量低于幾個(gè)電子伏，其電子特性則如Hamiltonian所示：

其中，費(fèi)米速度υF≈108cm/s， 為動(dòng)量算子，l=1，…，N為N=4自旋和谷自由度的下標(biāo)，σ（σx，σy）為Pauli矩陣在蜂巢晶格結(jié)構(gòu)兩個(gè)底晶格空間的表示。如果沒有庫倫相互作用，公式（2）則變成自由無質(zhì)量狄拉克粒子的N類Hamiltonian[14]。

2 流體力學(xué)方程推導(dǎo)

接下來討論在存在庫倫相互作用的相對(duì)論流體磁動(dòng)流體力學(xué)，在流體力學(xué)模型中的響應(yīng)函數(shù)適用于在狄拉克點(diǎn)附近的石墨烯[17]。特征速度υF≠c決定了相對(duì)分散，在流體中的（反）粒子的電荷為±e。下面采用υF=e=？捩=1為單位。

由于庫倫作用傳播速度約為光速c>>υF，所以可認(rèn)為它是瞬時(shí)的，則很顯然通過將實(shí)驗(yàn)框架設(shè)為一個(gè)特定的參照系，打破了流體的相對(duì)不變性。

上述表達(dá)式包含了耗散項(xiàng)νμ，？子μν用來計(jì)算熱電流和粘性力，P代表壓強(qiáng)，ρ代表電荷密度。若無粘性項(xiàng)，則在流體元在類空間入口的壓力以及在類時(shí)間入口的能量密度這樣的靜止參考系中，應(yīng)力能量張量為一個(gè)對(duì)角矩陣。坐標(biāo)系中各分量為：

T00=ε，（5）

其中，ε，P，ρ為局域化學(xué)勢(shì)μ（r）的函數(shù)，ε表示能量密度，局域溫度T（r），磁場為B，μ（r）包含了由不均勻的電荷分布而引起的庫倫勢(shì)。

電荷、能量及動(dòng)量守恒如下：

其中，電磁場張量，

包含一個(gè)由于系統(tǒng)本身的不均衡電荷密度而自發(fā)產(chǎn)生的空間變化場：

其中，式（14）中已將統(tǒng)一的本底電荷密度減去。

在坐標(biāo)系中線性守恒定律則明確表示為：

此外，包含了一個(gè)由于微弱雜質(zhì)散射而產(chǎn)生的弛豫時(shí)間τ。電流的本構(gòu)方程如下：

基于上述推導(dǎo)出的流體力學(xué)方程以及石墨烯中電子的量子BTE，分析出了傳輸系數(shù)——流體剪切粘度[18]，也即下述模型中的輸入?yún)?shù)。當(dāng)電子-電子間相互作用主導(dǎo)無彈性散射率時(shí)，即低雜質(zhì)、高溫且穩(wěn)定場情況下，流體力學(xué)方法就能有效應(yīng)用于石墨烯[19]。為了忽略電子-聲子間作用，選擇在100K左右的合適高溫區(qū)間[20]。無磁場時(shí)，即B=0，準(zhǔn)粒子分布函數(shù)為f，由BTE，則：

其中，-Ω[f]表示考慮電子-電子間相互作用的碰撞項(xiàng)，

則式（17）、（18）、（19）、（20）可推導(dǎo)為：

其中，式（23）為電荷守恒，式（24）為能量密度守恒，式（25）為動(dòng)量守恒，ρr≡（ε+P）/υF2。

3 性能分析

對(duì)于純石墨烯（μ=0），電荷密度由于熱能而存在，則可寫成，

然而，當(dāng)石墨烯摻雜時(shí)，雜質(zhì)會(huì)使石墨烯樣品產(chǎn)生電位，此時(shí)，則必須要考慮由于化學(xué)勢(shì)產(chǎn)生的修正，

其中，Φρ為無量綱遞增函數(shù)。

式（25）中的剪切密度η可由下述方程計(jì)算：

其中，Cη～Ο（1）為一個(gè)數(shù)值系數(shù)。熵密度可由Gibbs-Duhem關(guān)系ε+P=Ts計(jì)算，此等式是在|■|<υF的假設(shè)下推導(dǎo)出來的，因此相對(duì)修正項(xiàng)∝？墜P/？墜t可忽略，而恢復(fù)為經(jīng)典的Navier-Stokes方程。所以，盡管電子速度很快，|■|～0.1υF，但由于樣品的納米級(jí)尺寸和石墨烯中電子流的高剪切密度，雷諾數(shù)依然穩(wěn)定。

基于式（25），線性尺寸為L0的石墨烯樣品其動(dòng)態(tài)粘度由式（28）給出，此等式可寫成以下形式：

其中，引入特征頻率ωf=υF/L0，通過解合適的量子BTE，得Cη？勰0.45[21]。式（29）也可以寫成η=Cηqf-2 ？捩/L02，qf≡？捩ωf/（kBT）。由此，為了應(yīng)用經(jīng)典電子流體力學(xué)描述，激勵(lì)能量必須遠(yuǎn)低于熱能，即qf<<1，也是所謂的碰撞主導(dǎo)模式。拿一組特定參數(shù)，υF=106，L0=10-6，T=100K，η/s～0.2？捩/kB，則得到η～10-20。因雷諾數(shù)由流體的動(dòng)力粘度，而非動(dòng)態(tài)粘度所決定，則就不涉及質(zhì)量密度，這有利于估算石墨烯中電子流體的動(dòng)力粘度。

為了達(dá)到這個(gè)目的，鑒于式（25），定義雷諾數(shù)為：

其中，ν0=υFL0。通過將雷諾數(shù)寫成Re=υ0L0/ν，與上述方法類似，可得到：

利用η/s=0.2？捩/kB3，qf？勰0.07，則得到ν？勰10-2。盡管石墨烯動(dòng)態(tài)粘度極低，但石墨烯的動(dòng)力粘度依然大約比水的動(dòng)力粘度大四個(gè)數(shù)量級(jí)。這四個(gè)數(shù)量級(jí)的差距是由于電子的高速而產(chǎn)生的，也即電子的高速是雷諾數(shù)產(chǎn)生高值的最終決定因素。

4 結(jié)束語

在本文中，忽略了電子-雜質(zhì)及電子-聲子的相互作用，僅基于對(duì)石墨烯中的電子流體力學(xué)方程描述，對(duì)其剪切粘度、動(dòng)力粘度、動(dòng)態(tài)粘度及雷諾數(shù)進(jìn)行了探討，表明石墨烯具有低剪切粘度與熵密度之比、高動(dòng)力粘度以及低動(dòng)態(tài)粘度。而通過對(duì)石墨烯動(dòng)力粘度的分析，可以看出，在微米級(jí)的比例下，雷諾數(shù)可以在石墨烯樣品中實(shí)現(xiàn)高值。在后續(xù)的研究工作中，還將對(duì)電子-聲子、電子-雜質(zhì)和聲子-聲子建模及量子輸運(yùn)性能分析。

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