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    論直角坐標(biāo)系的建立

    2017-05-06 20:52:40王少奇
    速讀·下旬 2017年3期
    關(guān)鍵詞:建系能動(dòng)性直角坐標(biāo)

    王少奇

    摘 要:在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中會(huì)有很多問(wèn)題需要建立直角坐標(biāo)系,恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系,會(huì)使運(yùn)算的過(guò)程簡(jiǎn)單,但建系方法是多樣的,絕不是單一的,所以在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該多聽(tīng)取學(xué)生的意見(jiàn),課前必須多方面考慮,給學(xué)生教給靈活多樣的方法。

    關(guān)鍵詞:直角坐標(biāo)系;主觀能動(dòng)性

    在平面幾何問(wèn)題中,常常涉及到建立直角坐標(biāo)系的問(wèn)題,各類(lèi)資料的共同提法就是將圖象集中放在坐標(biāo)原點(diǎn)周?chē)?,若圖象為軸對(duì)稱圖象,盡量把對(duì)稱軸放在坐標(biāo)軸上,若圖象是中心對(duì)稱的,盡量以圖形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),這樣有利于圖形各頂點(diǎn)坐標(biāo)的表示,可減少題中設(shè)入的變量,當(dāng)然也有的提法是將圖形中的頂點(diǎn)盡可能多的放在坐標(biāo)軸上,也是為了便于表示各頂點(diǎn)坐標(biāo),減少設(shè)入的變量,提法有別,目標(biāo)一致,所以在具體應(yīng)用中應(yīng)靈活恰當(dāng)處理,才能達(dá)到理想的效果。

    例如全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修二)第二冊(cè)(下B)人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材第9頁(yè)例2:畫(huà)水平放置的正五邊形的直觀圖。畫(huà)法如下:

    (1)在已知正五邊形ABCDE(圖9-10)中,取中心O為原點(diǎn),對(duì)稱軸FA為y軸,過(guò)點(diǎn)O與y軸垂直的直線為x軸,分別B,E過(guò)作BG//y軸,HE//y軸,與x軸分別交G,H。畫(huà)對(duì)應(yīng)的O'x',O'y'軸,使x'O'y'=45°。

    (2)以O(shè)'點(diǎn)為中心,在x'軸上取G'H'=GH,分別過(guò)G',H',在x'軸的上方,作G'B'//y'軸,H'E'//y'軸,使G'B'=[12]GB,H'E'=[12]HE;在y'軸的點(diǎn)O'上方取O'A'=[12]OA,在點(diǎn)O'下方取O'F'=[12]OF,并且以點(diǎn)F'為中心,畫(huà)C'D'//x'軸,且使C'D'=CD。

    (3)連結(jié)A'B',B'C',C'D'、D'E',E'A',所得五邊形A'B'C'D'E'就是正五邊形ABCDE的直觀圖。

    就此題而言,以上是教材中的畫(huà)法,當(dāng)然也可以如圖(1)、圖(2)建立直角坐標(biāo)系,我個(gè)人認(rèn)為也不失為一種好方法,也是便于操作的,學(xué)生也便于接受,在授課過(guò)程中也有的學(xué)生想到了這種方法,并且這些學(xué)生覺(jué)得自己的方法更便于作圖,教師應(yīng)該給予正面肯定,而不應(yīng)默守陳規(guī),只按教材講解,讓學(xué)生思維受局限,應(yīng)極大程度地拓寬學(xué)生的視野,靈活地應(yīng)用自己所學(xué)知識(shí)多渠道解決問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

    再比如普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)②(必修)人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材第105頁(yè)例4:證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和。

    分析:首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用坐標(biāo)表示有關(guān)量,然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

    證明:如圖3.3-3,以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊所在直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,有A(0,0)。

    設(shè)B(a,0),D(b,c),由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a+b,c),因?yàn)椋?/p>

    [|AB|2=a2],[|CD|2=a2],[|AD|2=a2],[|BC|2=a2]

    [|AC|2=(a+b)2+c2],[|BD|2=(b-a)2+c2]

    所以,

    [|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2)],

    [|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2)]

    所以,[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2]

    以上是教材建系及解析過(guò)程,當(dāng)然我認(rèn)為如圖(3)、圖(4)建立直角坐標(biāo)系,并且在授課時(shí)也有學(xué)生提出這種建系的建議,對(duì)于設(shè)置變量也不復(fù)雜,我們?cè)賹?duì)比運(yùn)算過(guò)程。

    證明:如圖(3)以AB邊所在直線為軸,使D點(diǎn)在y軸上建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A(a,0),B(b,0),D(0,c)則有D(b-a,c)因?yàn)椋?/p>

    [|AB|2=(b-a)2],[|CD|2=(b-a)2],[|AD|2=a2+c2],[|BC|2=a2+c2]

    [|AC|2=(b-2a)2+c2],[|BD|2=b2+c2]

    所以,

    [AB2+CD2+AD2+BC2=4a2+2b2-4ab+2c2,AC2+BD2=4a2+2b2-4ab+2c2]

    所以,[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2]

    我們看到運(yùn)算過(guò)程也是相當(dāng)簡(jiǎn)單的,并且多數(shù)學(xué)生也能接受,提出這種方法的學(xué)生也有成就感,為了讓學(xué)生能主動(dòng)去學(xué),提高學(xué)生主觀能動(dòng)性,我們做教師的何樂(lè)而不為呢?總之在平時(shí)的教學(xué)中要極力挖掘?qū)W生的潛力,盡可能多的找方法,讓同一個(gè)問(wèn)題得到多渠道的解決辦法,給學(xué)生以發(fā)展的空間,教師能夠由原來(lái)的處于中心地位的知識(shí)權(quán)威轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者和合作伙伴、設(shè)計(jì)者、教育的研究者,更多關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā),培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力,培養(yǎng)學(xué)生積極思考的品質(zhì),學(xué)生應(yīng)該被看作為待點(diǎn)燃的火把,學(xué)生地位應(yīng)該由被動(dòng)的知識(shí)容器和知識(shí)受體轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的主宰、學(xué)習(xí)的主體,成為教學(xué)活動(dòng)的積極參與者和知識(shí)的積極建構(gòu)者。

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