怎樣認(rèn)識(shí)“余數(shù)”？

一、“余數(shù)”知多少？

在人教版教材二年級(jí)下冊(cè)“有余數(shù)的除法”單元教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于余數(shù)，已經(jīng)知道了哪些知識(shí)？還想了解哪些知識(shí)？帶著這些問(wèn)題，筆者進(jìn)行了一次課前調(diào)查。調(diào)查形式是對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談和讓學(xué)生做前測(cè)題。前測(cè)題設(shè)計(jì)了三個(gè)部分：“我會(huì)分”“我會(huì)算”和“我會(huì)寫(xiě)”。

（一）問(wèn)題一：你知道余數(shù)嗎？

通過(guò)課前訪談發(fā)現(xiàn)，超過(guò)半數(shù)的學(xué)生都聽(tīng)說(shuō)過(guò)余數(shù)，他們有的是通過(guò)自學(xué)數(shù)學(xué)課本知道的，有的是家長(zhǎng)教的。在訪談中，教師提問(wèn)：“你們已經(jīng)知道了哪些關(guān)于余數(shù)的知識(shí)？”學(xué)生的回答有：“我知道余數(shù)都比除數(shù)小”“余數(shù)表示有剩余”“除數(shù)×商+余數(shù)=被除數(shù)”等。那么，學(xué)生對(duì)余數(shù)知識(shí)了解到什么程度？在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，他們是否真的會(huì)用余數(shù)表示？為了測(cè)試這一點(diǎn)，教師呈現(xiàn)前測(cè)題1“我會(huì)分”（如圖1）。

調(diào)查結(jié)果表明，40名受測(cè)試的學(xué)生中，有36名學(xué)生能夠按照要求圈出結(jié)果，正確率達(dá)到90%。而出錯(cuò)的學(xué)生主要源于沒(méi)有仔細(xì)閱讀題目要求，其中3名學(xué)生分別按照每組2根、4根、5根來(lái)圈選，導(dǎo)致錯(cuò)誤；另外1名學(xué)生在最后一組只圈出了2根小棒。在實(shí)物圖上分一分、圈一圈，學(xué)生基本上沒(méi)有遇到困難。然而，當(dāng)要求他們正確地用算式表示分小棒后的結(jié)果時(shí)，情況就有所不同了。在“列一列”中，有21名學(xué)生使用13÷3=4……1的算式來(lái)解決問(wèn)題，占總?cè)藬?shù)的52.50%，但其中僅1人正確寫(xiě)出了單位名稱(chēng)，還有2人使用了乘減的方法表示分的過(guò)程與結(jié)果（如圖2）。剩下的學(xué)生要么算式列錯(cuò)，要么空著，不知道如何表示剩余的情況。這表明，對(duì)于均分后有余的情況，學(xué)生在用算式表示上存在一定困難。

（二）問(wèn)題二：你會(huì)計(jì)算帶余數(shù)的除法嗎？

學(xué)生會(huì)計(jì)算帶余數(shù)的除法嗎？教師呈現(xiàn)前測(cè)題2“我會(huì)算”（如圖3），讓學(xué)生嘗試進(jìn)行計(jì)算。調(diào)查結(jié)果表明，學(xué)生的計(jì)算正確率達(dá)到55.00%。當(dāng)詢(xún)問(wèn)學(xué)生是怎樣計(jì)算出結(jié)果的，大多數(shù)學(xué)生表示是使用乘法口訣來(lái)計(jì)算的。另外，有17.5%的學(xué)生在個(gè)別題目上出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)誤；有11名學(xué)生基本不會(huì)計(jì)算，占總?cè)藬?shù)的27.50%。由此可見(jiàn)，超過(guò)半數(shù)的學(xué)生在課前已經(jīng)具備了計(jì)算帶余數(shù)除法的能力，擁有一定的計(jì)算基礎(chǔ)。

（三）問(wèn)題三：你對(duì)余數(shù)還想知道什么？

教師呈現(xiàn)前測(cè)題3“我會(huì)寫(xiě)”，并提問(wèn)：“關(guān)于余數(shù)，你還想了解哪些知識(shí)？”學(xué)生有以下回答：“有余數(shù)的除法，是誰(shuí)發(fā)明的？”“為什么除法中會(huì)出現(xiàn)余數(shù)？”“余數(shù)是怎么表示的？”“我想學(xué)有余數(shù)的除法豎式”“余數(shù)會(huì)用在什么地方？”等。通過(guò)課前調(diào)查和訪談，教師清晰地了解了學(xué)生的想法與需求。

通過(guò)這些前測(cè)題，筆者整理出了學(xué)生已經(jīng)知道的知識(shí)和他們還想了解的知識(shí)，為后續(xù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)提供學(xué)情支持。

二、“余數(shù)”如何定位？

對(duì)于“有余數(shù)的除法”單元的教學(xué)，如何結(jié)合學(xué)情合理劃分課時(shí)和精準(zhǔn)定位教學(xué)目標(biāo)呢？

（一）如何劃分課時(shí)？

通過(guò)研讀教材，“有余數(shù)的除法”單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要包括兩大部分共六個(gè)例題：第一部分是有余數(shù)的除法的含義和計(jì)算，第二部分是解決問(wèn)題（如圖4）。通過(guò)前測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)余數(shù)已有初步認(rèn)識(shí)，并能通過(guò)“圈一圈”等操作活動(dòng)解決“均分后有余”的問(wèn)題，但對(duì)于“余數(shù)為什么會(huì)比除數(shù)小”這一問(wèn)題，他們往往無(wú)法清楚地進(jìn)行解釋。基于此，筆者將例1、例2的教學(xué)內(nèi)容整合為“認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法”展開(kāi)教學(xué)。

（二）目標(biāo)如何定位？

基于對(duì)教材內(nèi)容和學(xué)生現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)的分析，筆者將本內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)定位為：（1）通過(guò)操作活動(dòng)，學(xué)生能夠理解余數(shù)的意義，并能正確地列出有余數(shù)的除法算式。（2）學(xué)生能夠在觀察和比較中探索余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，體會(huì)余數(shù)的規(guī)律。（3）學(xué)生能夠初步運(yùn)用有余數(shù)的除法解決日常生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。本內(nèi)容的重點(diǎn)在于理解有余數(shù)的除法及余數(shù)的意義，并發(fā)現(xiàn)余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。

三、“余數(shù)”如何教學(xué)？

在做好課時(shí)劃分和教學(xué)目標(biāo)確立等工作后，擬定了以下教學(xué)環(huán)節(jié)并進(jìn)行了嘗試。

（一）布置任務(wù)，明確要求

1.出示小棒，導(dǎo)入新課

教師呈現(xiàn)用小棒搭成的各種圖形（如圖5），請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)圖形的名稱(chēng)。

2.提出要求，明確任務(wù)

以正方形為例，每4根小棒可以擺出一個(gè)正方形，那么8根小棒可以擺出幾個(gè)這樣的正方形，你能用算式來(lái)表示嗎？

教師布置小組學(xué)習(xí)任務(wù)：試一試，能擺幾個(gè)這樣的正方形？在學(xué)習(xí)單（如表1）上畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)，并記錄下來(lái)（為每組提供8～20根小棒）。

（二）嘗試探究，理解意義

1.小組合作嘗試

學(xué)生以小組為單位合作完成任務(wù)：擺一擺正方形，寫(xiě)一寫(xiě)除法算式。

2.匯報(bào)交流

學(xué)生呈現(xiàn)作品，教師進(jìn)行整理。

（1）交流：請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)在完成任務(wù)的過(guò)程中遇到的困難以及解決方法。

預(yù)設(shè)1：分后有剩余，剩余部分如何用算式表示？

預(yù)設(shè)2：遇到有剩余的情況，沒(méi)有乘法口訣可用。

小結(jié)：像這樣擺正方形出現(xiàn)小棒有剩余的情況，也可以用除法算式表示。多余的幾根就叫余數(shù)，這樣的除法就叫作有余數(shù)的除法。通常這樣表示余數(shù)：9÷4=2……1（板書(shū)）。

說(shuō)一說(shuō)：9、4、2、1各表示什么？（補(bǔ)充單位名稱(chēng)）

（2）學(xué)生分組匯報(bào)，教師整理匯報(bào)內(nèi)容，并用板書(shū)呈現(xiàn)（如表2）。

（3）全班交流，觀察余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察算式與小棒圖之間的關(guān)系，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)發(fā)現(xiàn)了什么。

全班交流：在除法算式中，為什么余數(shù)總是比除數(shù)??？

3.尋找規(guī)律

要求學(xué)生擺一擺其他形狀的圖形，理解余數(shù)的周期性規(guī)律。

（1）請(qǐng)學(xué)生用小棒擺其他形狀的圖形，如正三角形、正五邊形、正八邊形等，觀察余數(shù)，尋找規(guī)律。

（2）交流：擺這些圖形時(shí)，有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？余數(shù)分別是多少？

預(yù)設(shè)：擺正三角形，余數(shù)是1、2；擺正五邊形，余數(shù)是1、2、3、4；擺正八邊形，余數(shù)小于8。

教師追問(wèn)：如果擺一個(gè)正一百邊形，余數(shù)可能是幾？

（3）總結(jié)：通過(guò)擺幾何圖形，發(fā)現(xiàn)隨著小棒總數(shù)的增加，余數(shù)會(huì)呈現(xiàn)規(guī)律性的變化，但余數(shù)都比除數(shù)小。

（三）練習(xí)鞏固，梳理拓展

（1）試一試。

（2）播放微課，梳理溝通。

（3）回顧前測(cè)題，布置新的學(xué)習(xí)任務(wù)。

課堂教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生興趣濃厚，探究熱情高漲?；仡櫋坝杏鄶?shù)的除法”的教學(xué)過(guò)程，可以深入認(rèn)識(shí)如何基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)有效教學(xué)，以激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。整體感知讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)更全面。通過(guò)課堂觀察、訪談和作業(yè)分析，發(fā)現(xiàn)將例1、例2的教學(xué)內(nèi)容整合為“認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法”進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生全面地認(rèn)識(shí)了余數(shù)及其與除數(shù)的關(guān)系。經(jīng)歷操作讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)更深入。通過(guò)擺圖形、畫(huà)圖、寫(xiě)算式等活動(dòng)，學(xué)生感知到余數(shù)的意義。問(wèn)題真實(shí)讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)更生動(dòng)，以前測(cè)題中的真實(shí)問(wèn)題為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)有效的課堂教學(xué)，學(xué)生才有真收獲。

基于學(xué)生的真實(shí)問(wèn)題開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，適度地整合學(xué)習(xí)內(nèi)容，能使學(xué)生在實(shí)踐探究、體驗(yàn)反思和合作交流中，加深對(duì)余數(shù)的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生在課堂上。

（浙江省杭州市求是教育集團(tuán)）